Экономико-математические методы

Вариант № 5

 

1. Составить математическую модель  задачи.

В мастерской освоили производство столов и тумбочек. На их изготовление имеется два вида древесины: I типа – 72 м3, и II типа – 56 м3. На каждое изделие требуется того и другого вида древесины в м3:

	I	II
Стол	0,18	0,08
Тумбочка	0,09	0,28

От производства одного стола получается чистого дохода 11000 руб., а одной тумбочки – 7000 руб. Сколько столов и тумбочек можно произвести из имеющегося материала, чтобы получить наибольшую прибыль?

 

Решение

Пусть будет производиться столов и тумбочек. Тогда расход древесины 1 типа на производство всех изделий составит , что по условию не должно превышать 72 м3, т.е. . Для древесины 2 типа можем записать: . Чистый доход от производства всех изделий составит . Тогда математическая модель задачи:

 

 

 

2.  Решить графически задачу: найти максимум и минимум функции , если , .

 

Построим на плоскости область допустимых планов и линию уровня, соответствующую целевой функции (она изображена пунктиром):

 

Будем передвигать линию уровня до пересечения с крайней точкой области допустимых планов OABCD в направлении вектора нормали (для точки максимума) – показано стрелкой, или в противоположном направлении – для точки минимума. Таким образом, максимальное значение целевая функция будет иметь в точке С(6;2), оно равно . Минимальное значение функция будет иметь в точке О(0;0), оно равно 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Решите задачу линейного программирования 

Решение

 

Шаг 0
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
x4	3	1	3	-1	1	0	0
x5	4	-2	1	1	0	1	0
x6	3	5	3	-1	0	0	1
ИС	0	2	-1	-2	0	0	0
Шаг 1
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
x4	7	-1	4	0	1	1	0
x3	4	-2	1	1	0	1	0
x6	7	3	4	0	0	1	1
ИС	8	-2	1	0	0	2	0
Шаг 2
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
x4	28/3	0	16/3	0	1	4/3	1/3
x3	26/3	0	11/3	1	0	5/3	2/3
x1	7/3	1	4/3	0	0	1/3	1/3
ИС	38/3	0	11/3	0	0	8/3	2/3

 

 

Таким образом, оптимальное решение задачи: .

 

 

 

4. Решить методом потенциалов транспортную задачу, где – цена перевозки единицы груза из пункта в пункт .

Решение

Составим начальный опорный план методом наимеьшей стоимости и проверим его на оптимальность с помощью метода потенциалов:

 

Рассчитаем оценки незаполненных ячеек:

Полученный опорный план не оптимален, т.к. среди оценок незаполненых ячеек есть отрицательные значения. Построим цикл перераспределения поставок для ячейки с отрицательной оценкой – (32), и вновь проведем расчет оценок незаполненных ячеек:

 

Полученный план поставок оптимальный, т.к. среди оценок незаполненных ячеек нет отрицательных значений. Минимальная сумма транспортных затрат при этом плане составит 371 ден. ед.