Двойственные оценки и их влияние на функционал

5Х1 +3Х2 = 25 000    

Х1 + Х2 =  6000 

     5Х1 +3Х2 = 25 000      

Х1 = 6000 – Х2

     30000 – 5Х2 + 3Х2 = 25000

Х1 = 6000 – Х2

  Х2 = 2500       

  Х1 = 6000 – Х2

  Х2 = 2500

  Х1 = 3500

5. Подставляем найденные значения в линейную функцию

Значение целевой функции  в  точке С (3500; 2500) равно:

max f(x) = 1,1 * 3500 + 0,9 * 2500 = 3850 + 2250 = 6100.

6. Нахождение значения целевой функции в точке С посредством решение задач в Microsoft Excel

• Заносим исходные данные: стоимость акций и прибыль, которую сможем получить при покупке определенного количества акций

Рис. 2 Исходные данные

• Заносим целевую функцию Меню-Вставка-Функции-СУММПРОИЗВ

Рис.3 Целевая функция

• Заполняем поле ограничения (левая часть):

- для ячейки D10 с помощью Меню-Вставка-Функции-СУММПРОИЗВ

Рис. 4 Заполнение поля ограничение для ячейки D10

 

 

 

- для ячейки D11

Рис. 5 Заполнение поля ограничение  для ячейки D11

- для ячейки D12

Рис. 6 Заполнение поля ограничение для ячейки D12

 

- для ячейки D13

 

 

Рис. 7 Заполнение поля ограничение  для ячейки D13

 

 

 

 

 

• С помощью «Поиска решений» (Меню-Сервис) находим значения для Дикси-Е и для Дикси-В и прибыль, которую мы получим в результате покупки двух видов акций

Рис.8 Поиск решения

 

• В итоге мы получаем значения для Дикси-Е и для Дикси-В

Рис.9 Значение для переменных Дикси-Е и для Дикси-В

 

Ответ: чтобы обеспечить оптимальную прибыль от инвестиций необходимо купить: акций Дикси-Е - 3500 шт. и акций Дикси-В - 2500 шт., при этом прибыль от двух видов купленных акций составит – 6100 долл.; Если решать задачу на min то надо двигаться по линии вектора-градиента в обратном направлении линии уровня и min f(x) = 0 достигается при, Х1 =0; Х2 = 0.

 

 

 

 

2.2. Решение задачи на основе анализа  временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице:

                                                                                          Таблица 2

Номер Варианта	Номер наблюдения (t=1,2,…,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
6	12	15	16	19	17	20	24	25	28

 

Требуется:

1) проверить наличие аномальных наблюдений.

2) построить линейную модель Ŷ(t) = , параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) - расчетные, смоделированные значения временного ряда);

3) оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 - 3,7);

4) оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;

5) по построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза считать при доверительной вероятности р = 70%);

6) фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления  провести с одним знаком в дробной  части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

 

Решение:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

 Для выявления аномальных уровней временного ряда используем метод Ирвина, который предполагает использование следующей формулы:

 

, где

 

s_у - среднеквадратическое отклонение рассчитывается с использованием формул:

 

Находим:

 

= = = = 5,2

λ₂ = = 0,57

λ₃ = = 0,19

λ₄ = = 0,57

λ₅ = = 0,38

λ₆ = = 0,57

λ₇ = = 0,77

λ₈ = = 0,19

λ₉ = = 0,57

Расчетные значения λ_2, λ_3, и т.д. сравниваются с табличным значением критерия Ирвина λ_α, и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение уt уровня ряда считается аномальным. Значение критерия Ирвина для уровня значимости α = 0,05, то есть с 5%-ной ошибкой,

λ_табл=1,5.

В результате получаем следующую  таблицу:

 
 
 
Рис. 10 Нахождение аномальных наблюдений

 

Аномальных наблюдений во временном ряду нет, так как  расчетные значения λ _t меньше табличного λ_табл= 1,5 .

 

2. Построить линейную модель Y(t) = , параметры которой оценить МНК (Y(t) - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

а) Построим линейную модель вида Y(t) = a₀ + a₁t по методу наименьших квадратов. Коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели найдем из решения нормальной системы уравнений:

Известно, что 

где:

 

Находим: 

 

 

 

 

Находим:

 

 

 

Коэффициент а₁=1,85 уравнения показывает, что в течение 9 последовательных недель спрос на кредитные ресурсы финансовой компании увеличивается в среднем на 1,85 млн. рублей.

Таким образом, получаем следующие данные:

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 11 Построение линейной модели с помощью МНК

 

 

б) Оценим параметры модели (с помощью Анализ данных)

Построим линейную модель вида Y(t) = a₀ + a₁t с помощью однопараметрической модели регрессии Y(t). Для проведения регрессионного анализа выполняем следующие действия:

• Выбрать команду Сервис →Анализ данных;
• В диалоговом окне выбрать инструмент Регрессия (Рис.4), затем ОК;
• В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y вводится адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал X вводится адрес диапазона, который содержит значения независимой переменной t (Рис. 5);
• Т.к. заголовки столбцов выделены тоже, то устанавливается флажок Метки;
• Выбрать параметры вывода;
• В поле График подбора поставить флажок;
• В поле Остатки поставить необходимые флажки и нажать кнопку ОК.

                                 Рис. 12 Анализ данных

                     Рис. 13 Регрессия

Используя пункт «Анализ  данных» Регрессия получим коэффициенты уравнения регрессии согласно расчетам следующие: a₀ = 10,3 a₁ = 1,85_.

 Уравнение регрессии зависимости у_t (спроса на кредитные ресурсы финансовой компании) от времени t имеет вид:

Y(t) = 10,3 + 1,85t.

Рис. 14 Результат регрессионного анализа

 

б) Построим график эмпирического  и смоделированного рядов:

 

Рис. 15 График эмпирического и смоделированного рядов

 

 

 

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 - 3,7).

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

• Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.

В моем случае = 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

 

Рис. 7 Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков

• При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, например, с помощью d-критерия Дарбина—Уотсона по формуле. Численное значение коэффициента равно   

d`= 4 – d

 

где:

1. = 0,99-(-0,16)=
2. = 0,14-0,99=
3. = 1,29-0,14=
4. = -2,56-1,29=
5. = -1,41-(-2,56)=
6. = 0,74-(-1,41)=
7. = -0,11-0,74=
8. = 1,04-(-0,11)=

 

          d`= 4 – 2,03=1,97

 
Рис. 8 Проверка независимости

 

Если d  попадает в интервал от d₂ до 2 (для линейной модели при 10 наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины d₁ = 1,08, d₂ = 1,36),  это говорит об отсутствии в модели автокорреляции  и модель адекватна по данному признаку.

 

 

• Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек:

_{Критерий  случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 имеет вид:}

_{6 > 2}

Число поворотных точек = 6;

6>2 – неравенство  выполняется, следовательно, свойство  случайности выполняется.

Рис. 9 Проверка случайности уровней ряда остатков

 

 

 

 

 

 

• Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия:

 (для N=10 и 5%-го уровня значимости границы критерия (2,7 – 3,7)), 3,03 попадает в указанный интервал, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

Вывод: модель статистически адекватна (выполняются все условия из четырех).

4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации

Средняя относительная  ошибка: