Динамические эконометрические модели

Содержание

Введение 2

1 Динамические эконометрические  модели 3

1.1   Модели с  распределенным лагом 4

1.2  Основные случаи  структуры лага 6

2  Метод лагов  Алмон 8

3  Метод Койка 10

4  Оценка параметров  авторегрессии 12

5  Модели адаптивных  ожиданий 14

Заключение 24

Список использованных источников 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

 В эконометрическом анализе исследуются воздействия  ряда экономических факторов на результативную переменную, осуществляющих как мгновенно, так и с некоторым запаздыванием. 
      В качестве причин запаздывания рассматриваются следующие: 
          ‒ Психологические факторы, выражающиеся в инертности поведения людей; 
          ‒ Технологические факторы; 
          ‒ Институциональные факторы; 
          ‒ Механизмы формирования экономических показателей. 
      Эконометрическую модель называют динамической, если эта модель отражает динамику последующих переменных в каждый момент времени, т.е. если в данный момент времени t она учитывает значения входящих в нее переменных, относящихся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени. 
      Динамические модели используются при изучении зависимостей между показателями, для анализа развития во времени которых, в качестве объясняющих переменных используются как текущие значения переменных, так и предыдущие во времени, а также само время t.

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Динамические эконометрические  модели

 

Динамические эконометрические модели – это модели, которые  в данный момент времени учитывают  значения входящих в неё переменных, относящихся к текущему и предыдущему  моментам времени.

Все ДЭМ условно разделяются  на 2 вида:

1. Модели, в которых лаговые значения переменных непосредственно включены в модель;
2. Модели, в которых включены переменные, характеризующие желаемый или ожидаемый уровень результативного признака или одного из факторов в момент t.

Модели, в которых лаговые  значения переменных непосредственно  включены в модель делятся на 2 вида:

1. Модели с распределенным лагом – это модели, в которых наряду с текущими значениями факторных переменных содержатся их лаговые значения:

y_t = a₀ + b₀ * x_t +b₁ * x_t-1 + … + b_e * x_t-e +E_t,

где величину е – характеризующую  запаздывание в воздействии фактора  на результат называют лагом.

 

2. Авторегрессионные модели – модели, в которых лаговые значения результата (эндогенные переменные) входят в модель в качестве факторных переменных.

y_t = a + b₀ * x_t + b₁ * y_t-1 + … + b_e * y_t-e + E_t,

 

Временная лаговая переменная возникает вследствие действия многих факторов, которые формируют изменения  результативного признака в прошлые  моменты времени. Например, на выручку от реализации текущего периода оказывают влияние расходы на рекламу в предыдущие моменты времени.

Модели, в которые включены переменные, характеризующие ожидаемый  или желаемый уровень результативного  признака или одного из факторов в  момент времени t.

Этот уровень считается  неизвестным и определяется с  учетом информации, которой располагают  в предыдущий момент времени (t-1).

Данные модели делятся  на 2 вида:

 

1.  Модели адаптивных ожиданий – модели, в которых учитывается ожидаемое значение факторного признака x_t+1. Например, ожидаемое в период (t+1) значение ЗП влияет на уровень безработицы в текущий период t.

 

2. Модели неполной корректировки – это модели, в которых учитывается ожидаемое значение результативного признака y_t. Например, фактический объем прибыли x_t влияет на величину желаемого объема дивидендов y_t.

 

Особенности построения ДЭМ  заключаются:

1. В выборе определения структуры временного лага;
2. В использовании специальных методов параметризации вследствие нарушения предпосылок МНК;
3. В наличии взаимосвязей между двумя динамическими моделями. И в некоторых случаях нужно осуществить переход от типа модели к другому.

 

 

 

1.1 Модели с распределенным лагом

 

                             y_t = a + b₀ * x_t + b₁ * x_t-1 +…+ b_e * x_t-e + E_t                            (1)

 

где  b₀ – краткосрочный мультипликатор, он характеризует среднее абсолютное изменение y_t при изменении x₁  на 1 единицу в момент t без учета лаговых переменных.

В момент (t+1) совокупное воздействие переменной x_t на результативный показатель  y_t составит: (b₀+b₁). В момент  (t+2) соответственно (b₀+b₁+b₂) и т.д.

, (R<b) – промежуточный мультипликатор

b= – долгосрочный мультипликатор, который характеризует изменение д воздействием единичного изменения х в каждом периоде i=0.

 Относительными коэффициентами модели с распределенным лагом называются величины

                                                             β_i = , i=0,e                                                     (2)

Если b_i имеют одинаковые знаки, то β_i >0 и =>

Таким образом, β_i  является весом для соответствующих значений b_i и β_i измеряют долю общего изменения результативного признака в момент (t+i).        Средним лагом называется лаг, который находится как средняя арифметическая взвешенная:

                                                         e =                                                         (3)

Средний лаг представляет собой средний период, в течение  которого изменяется эндогенная переменная под воздействием экзогенной переменной в данный момент времени t. Чем выше величина среднего лага, тем более длительный период необходим для эндогенного фактора на изменение экзогенного фактора.

Медианный лаг – это лаг, для которого выполняется условие:

                                           _{приблизительно 0,5}                                   (4)

        Медианное значение лага предполагает расчет периода, в течении которого будет реализовано половина общего воздействия экзогенной переменной на эндогенную (х на у).

        Пример: по результатам изучения зависимости объема продаж за месяц от расходов на рекламу была получена следующая модель с распределенным лагом:

y_t = 0,67+4,5x_t+3x_t-1+1,5x_t-2+0,5x_t-3

         b₀  = 4,5  - краткосрочный мультипликатор  - он показывает, что увеличение расходов на рекламу на 1 млн.р. приведет к увеличению объемов продаж на 4,5 млн.р.

          b  = =4,5 +3+1,5+0,5=9,5 – долгосрочный мультипликатор, который показывает, что в долгосрочной перспективе (через 3 месяца) увеличение расходов на рекламу на 1 млн.р. в настоящий момент времени приведет к общему росту объем продаж на 9,5 млн.

         Относительные коэффициенты регрессии:

β₀ = 4,5/9,5 = 0,4737    β₁ = 3/9,5 = 0,3158    β₂ = 1,5/9,5 = 0,1579    β₀ = 0,5/9,5 = 0,052

         Следовательно: 47,37 % общего увеличения объема продаж, вызванного ростом затрат на рекламу, происходит в текущий момент времени:

31,58% - в момент (t+1)

15,79% - в момент (t+2)

5,2% - в момент (t+1)

е=0,047+1*0,31+2*0,157+3*0,052=0,7876

         Небольшая величина е<1 говорит о том, что большая часть эффекта роста затрат на рекламу проявляется сразу же.

         Сила воздействия лаговых и текущих значений экзогенного признака – различна. С помощью коэффициентов регрессии количественно измеряют силу связи между эндогенной и экзогенными переменными, которые относятся к разным моментам времени. Если построить график зависимости этих коэффициентов от величины лага и получить графическое изображение структуры лага или распределение во времени воздействия факторной переменной на результат.

1.2  Основные случаи  структуры лага

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1 – Графики основных случаев структуры лага

 

Применение обычного МНК  к таким моделям в большинстве  случаев затруднено по следующим  причинам:

1) Текущие лаговые значения независимой переменной, как привило, тесно связаны (мультиколлинеарность).

2) При большой величине лага снижается число наблюдений, по которым строится модель и увеличивается число ее факторных признаков, что ведет к потере степеней свободы в модели.

3) В моделях с распределенным лагом часто возникает проблема автокорреляции остатков.

Все это приводит к тому, что получаются неустойчивые и неэффективные  оценки параметров, поэтому в большинстве  случаев предположение о структуре  лага основано на рассуждениях экономического характера и проведенных ранее  экономических исследованиях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Метод лагов Алмон

Лаги Алмон – лаги, которые имеют структуру, описываемую с помощью полиномов различных порядков (степень полинома R меньше максимальной величины лага e)

В этом случае зависимость  b_i от величины лага в форме полинома R можно записать:

b_i = c₀ + c₁*i + c₂*i²+…+c_R*i^R                                (5)                                    

Тогда коэффициенты модели (1) b_i можно записать :

b₀ = c₀

b₁ = c₀+c₁+c₂+…+c_R

b₂ = c₀+2c₁+4c₂+…+2^Rc_R

……………………

b_e = c₀+e*c₁+e²*c₂+…+e^R*c_R

Подставим (6) в (1)

y_t = a + с₀ * x_t + (c₀+c₁+c₂+…+c_R) * x_t-1 + (c₀+2c₁+4c₂+…+2^Rc_R)+ b_e * x_t-2+…+ (c₀+e*c₁+e²*c₂+…+e^R*c_R) *x_t-e + E_t        

y_t = a + с₀ (x_t+x_t-1+…+x_t-e)+c₁(x_t-1+x_t-2+…+x_t-e)+c₂(x_t-1+2x_t-2+…+2x_t-e)+…+c₂(x_t-1+2x_t-2+…+e*x_t-e)+E_t 

z_i – коэффициенты при c₁ ;  z₀ = ; z₁ = ; z_R =

Таким образом, модель примет вид:

y_t = a+c₀*z₀+c₁*z₁+…+c_R*z_R+E_R (7)

 

Алгоритмы применения метода Алмон:

1. Определение максимальной величины лага е
2. Определение степени полинома R, описывающий структуру лага (R<е)
3. По соотношениям рассчитать  значения z₀, z₁,….,z_R.
4. Определение параметров уровня линейной регрессии (7) с помощью обычного МНК. (необходима проверка z_i на мультиколлинеарность)

С помощью соотношения (6) рассчитываем параметры модели.

• Для определения максимальной  величины лага е можно использовать:
• Измерение тесноты связи между результатом и лаговыми значениями;
• Построение нескольких уровней регрессии при разных е и выбор лучшего;
• Априорную информацию о величине лага.

Для определения степени  полинома R можно использовать следующие рекомендации:

Полином n-ой степени должен быть на единицу больше числа экстремумов в структура лага, если эмпирических данных о структуре лага нет, то степень полинома R определяется по наилучшей модели сравнительной оценкой уровней, построенных для различных значений n. На практике обычно ограничиваются полиномами 2-3-го порядков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3  Метод Койка

 

Допустим для описания некоторого процесса используется модель  с бесконечным лагом:

(8)

 

Параметры данной модели обычным  МНК или с помощью иных стандартных  математических методов определить нельзя поскольку модель включает бесконечное число факторных переменных. Поэтому нужны допущения относительно структуры модели.

Рассмотрим случай, когда  воздействие лаговых переменных уменьшается с увеличением лага в геометрической прогрессии.

Пусть лаговые воздействия  описываются соотношением:

 

 

 

1)

2) означает, что с увеличением лага значения параметров модели убывают в геометрической прогрессии. Чем ближе к 0 тем выше темп снижения воздействия.