Выбор постоянной времени управляющего двигателя и коэффициента передачи передаточного механизма для обеспечения конкурентоспособности

где ;

w – круговая частота гармонического входного сигнала.

Эти два уравнения соответственно вещественная и мнимая части преобразованного характеристического уравнения. Решаем их относительно t и m с использованием определителей:

;                                     (5)

,                                   (6)

Где

Подставляя численные значения известных параметров имеем:

Равенства (5) и (6) определяют τ и μ как функции от ω. Следовательно, при каждом значении ω=ω_i можно вычислить значения τ_i и μ_i и нанести соответствующую точку на плоскость параметров τ и μ. Геометрическое место этих точек при изменении ω от - до + является кривой D – разбиения плоскости (τ, μ), где τ откладывается по оси абсцисс и μ по оси ординат. Расчет τ(ω) и  μ(ω) при изменении круговой частоты выходного гармонического сигнала ω от 10^-4  до 10⁴ производим на ЭВМ.

 

Студент Kuvshinov,5045/2

Порядок системы 6

Коэффициенты полиномов

       p1           p2           q1           q2           r1           r2

0 -1.49E+0001   0.00E+0000   0.00E+0000   0.00E+0000   0.00E+0000   0.00E+0000

1  0.00E+0000   3.67E+0000   0.00E+0000   0.00E+0000   0.00E+0000   0.00E+0000

2  0.00E+0000   0.00E+0000   0.00E+0000   0.00E+0000   1.17E+0001   0.00E+0000

3  0.00E+0000   0.00E+0000   0.00E+0000  -1.00E+0000   0.00E+0000   2.80E+0001

4  0.00E+0000   0.00E+0000   1.70E-0001   0.00E+0000  -3.73E-0002   0.00E+0000

5  0.00E+0000   0.00E+0000   0.00E+0000   3.20E-0003   0.00E+0000  -4.66E-0005

6  0.00E+0000   0.00E+0000  -4.00E-0006   0.00E+0000   0.00E+0000   0.00E+0000

Коэффициенты полиномов  определителей

степень        D                 D1                     D2

  0       0.000000E+0000    0.000000E+0000    0.000000E+0000 

  1       0.000000E+0000    0.000000E+0000    0.000000E+0000 

  2       0.000000E+0000    0.000000E+0000    0.000000E+0000 

  3      -1.492400E+0001    4.608405E+0002    0.000000E+0000 

  4       0.000000E+0000    0.000000E+0000    0.000000E+0000 

  5       6.722688E-0001   -1.377654E-0001    1.166000E+0001 

  6       0.000000E+0000    0.000000E+0000    0.000000E+0000 

  7      -1.469440E-0005    0.000000E+0000    4.686906E+0000 

  8       0.000000E+0000    0.000000E+0000    0.000000E+0000 

  9       0.000000E+0000    0.000000E+0000   -5.664000E-0007 

  10       0.000000E+0000    0.000000E+0000    0.000000E+0000 

  11       0.000000E+0000    0.000000E+0000    1.865600E-0010 

  12       0.000000E+0000    0.000000E+0000    0.000000E+0000 

Положительные корни  полинома D в заданном диапазоне  частот:

root[0]= 4.71277369996924E+0000

root[1]= 2.13840570902964E+0002

     W            T               M               D

--------------------------------------------------------

1.0E-0004  -3.087915E+0001  -7.812919E-0009  -1.492400E-0011

5.0E-0001  -3.122867E+0001  -2.174953E-0001  -1.845590E+0000

1.0E+0000  -3.232636E+0001  -1.147317E+0000  -1.425589E+0001

1.5E+0000  -3.433907E+0001  -3.726141E+0000  -4.527208E+0001

2.0E+0000  -3.762104E+0001  -9.942886E+0000  -9.789381E+0001

2.5E+0000  -4.289829E+0001  -2.387418E+0001  -1.675601E+0002

3.0E+0000  -5.178966E+0001  -5.461083E+0001  -2.396319E+0002

3.5E+0000  -6.862817E+0001  -1.264866E+0002  -2.868773E+0002

4.0E+0000  -1.099603E+0002  -3.324288E+0002  -2.669591E+0002

 5.2E+0000   1.371545E+0002   1.133462E+0003   4.720685E+0002

5.7E+0000   6.518863E+0001   7.674612E+0002   1.305155E+0003

6.2E+0000   4.140097E+0001   6.755431E+0002   2.638496E+0003

6.7E+0000   2.963805E+0001   6.546657E+0002   4.639989E+0003

7.2E+0000   2.267187E+0001   6.642376E+0002   7.508669E+0003

7.7E+0000   1.809483E+0001   6.907408E+0002   1.147718E+0004

8.2E+0000   1.487634E+0001   7.283906E+0002   1.681425E+0004

8.7E+0000   1.250198E+0001   7.743014E+0002   2.382713E+0004

9.2E+0000   1.068659E+0001   8.268758E+0002   3.286406E+0004

9.7E+0000   9.259537E+0000   8.851595E+0002   4.431669E+0004

1.0E+0001   8.112606E+0000   9.485490E+0002   5.862251E+0004

 4.6E+0002   5.448317E-0002   1.140940E+0006  5.344611E+0013

7.1E+0002   2.008067E-0002   3.950640E+0006  1.263304E+0015

9.6E+0002   1.057653E-0002   1.182224E+0007  1.079584E+0016

1.2E+0003   6.552041E-0003   2.871596E+0007  5.528213E+0016

1.5E+0003   4.463699E-0003   5.980971E+0007  2.071265E+0017

1.7E+0003   3.238697E-0003   1.114759E+0008  6.282422E+0017

2.0E+0003   2.457999E-0003   1.912783E+0008  1.635735E+0018

2.2E+0003   1.929622E-0003   3.079713E+0008  3.794052E+0018

2.5E+0003   1.555282E-0003   4.714996E+0008  8.038123E+0018

2.7E+0003   1.280350E-0003   6.929985E+0008  1.583201E+0019

3.0E+0003   1.072460E-0003   9.847933E+0008  2.936757E+0019

3.2E+0003   9.114376E-0004   1.360400E+0009  5.180769E+0019

3.5E+0003   7.841707E-0004   1.834524E+0009  8.757859E+0019

3.7E+0003   6.818352E-0004   2.423061E+0009  1.427157E+0020

4.0E+0003   5.983151E-0004   3.143099E+0009  2.252676E+0020

4.2E+0003   5.292620E-0004   4.012914E+0009  3.457627E+0020

4.5E+0003   4.715159E-0004   5.051972E+0009  5.177431E+0020

4.7E+0003   4.227351E-0004   6.280932E+0009  7.583697E+0020

5.0E+0003   3.811543E-0004   7.721640E+0009  1.089104E+0021

5.2E+0003   3.454228E-0004   9.397134E+0009  1.536472E+0021

5.5E+0003   3.144921E-0004   1.133164E+0010  2.132907E+0021

5.7E+0003   2.875389E-0004   1.355058E+0010  2.917694E+0021

6.0E+0003   2.639092E-0004   1.608057E+0010  3.937994E+0021

6.2E+0003   2.430779E-0004   1.894939E+0010  5.249981E+0021

6.5E+0003   2.246198E-0004   2.218604E+0010  6.920070E+0021

6.7E+0003   2.081877E-0004   2.582069E+0010  9.026264E+0021

7.0E+0003   1.934954E-0004   2.988473E+0010  1.165960E+0022

7.2E+0003   1.803056E-0004   3.441070E+0010  1.492573E+0022

7.5E+0003   1.684203E-0004   3.943236E+0010  1.894661E+0022

7.7E+0003   1.576728E-0004   4.498464E+0010  2.386231E+0022

8.0E+0003   1.479223E-0004   5.110369E+0010  2.983296E+0022

8.2E+0003   1.390493E-0004   5.782681E+0010  3.704087E+0022

8.5E+0003   1.309515E-0004   6.519252E+0010  4.569269E+0022

8.7E+0003   1.235412E-0004   7.324052E+0010  5.602184E+0022

9.0E+0003   1.167426E-0004   8.201170E+0010  6.829098E+0022

9.2E+0003   1.104903E-0004   9.154814E+0010  8.279471E+0022

9.5E+0003   1.047271E-0004   1.018931E+0011  9.986237E+0022

 9.7E+0003   9.940349E-0005   1.130911E+0011  1.198610E+0023

1.0E+0004   9.447575E-0005   1.251877E+0011  1.431987E+0023

 

По полученным значениям строим кривую D – разбиения в плоскости параметров τ и μ (рис. 4).

Подставляя в характеристическое уравнение S = jw,  мы подразумевали, что это соответствует границе колебательной устойчивости, т.е. при выборе параметров, значения которых лежат на это кривой, будут наблюдаться незатухающие колебания выходных величин. Чтобы выделить область устойчивости в плоскости t – m, штрихуют кривую Д–разбиения. Для этого на кривой указывают направление возрастания частоты w. При движении в этом направлении при D(w) > 0 кривая штрихуется двойной штриховкой слева, а при D(w) < 0 кривая штрихуется двойной штриховкой справа  (см. рис.4).

Нахождение  особых прямых

При некоторой частоте w получаем или . Тогда система уравнений вырождается в одно уравнение особой прямой. Также эти особые прямые можно найти, приравняв коэффициент a_n к нулю (a_n = 0) и свободный член характеристического уравнения a₀ (a₀ = 0).

Приравнивая a_n к нулю, получаем: - откуда следует, что является особой прямой

Приравнивая свободный член характеристического  уравнения a₀ к нулю, получаем: - откуда следует, что и является особой прямой

Рис. 4. Кривая D – разбиения в плоскости параметров τ и μ

Из области подозрительной на устойчивость для дальнейшего рассмотрения выбираем точку с координатами:

 

5. Определение качественных показателей  системы.

1. Определение запасов устойчивости системы по амплитуде и фазе с помощью  простого критерия устойчивости Найквиста.

Качество работы любой системы  регулирования, определяется быстродействием, запасами по амплитуде и фазе и  величиной установившейся ошибки, равной разности между требуемым значением  регулируемой величины, определяемым входным управляющим сигналом и  ее действительным значением.

Знание мгновенного значения ошибки в течение всего времени работы регулируемого объекта позволяет  наиболее полно судить о свойствах  системы регулирования. Однако в  действительности, вследствие случайности  задающего и возмущающего воздействия, такой подход сложно реализовать. Поэтому  приходится оценивать качество  системы регулирования по некоторым  ее свойствам, проявляющимся при  различных типовых воздействиях. Для определения качественных показателей  системы регулирования  в этом случае используются так называемые критерии качества.

В данной главе осуществлена оценка качества проектируемой системы  управления, а именно: по простому и  логарифмическому критериям устойчивости Найквиста произведена оценка запасов  устойчивости системы по амплитуде  и фазе; в результате анализа переходной характеристики системы (ее реакция  на единичный ступенчатый сигнал), найдены показатели быстродействия системы управления: время переходного  процесса, величина перерегулирования, показатель колебательности; по коэффициентам ошибок произведена оценка точности проектируемой САУ.

Устойчивость выходных параметров необходимое, но не достаточное условие. Мы выбираем точку из области, подозрительной на устойчивость (см. п.4) исходя из обеспечения  устойчивости, но, чтобы система была конкурентоспособной, необходимо обеспечить запасы по устойчивости, время переходного процесса (быстродействие), величину перерегулирования, показатели колебательности.

По определенным ранее данным рассчитываются амплитудно-фазовая и логарифмические  амплитудная и фазовая частотные  характеристики разомкнутой системы, а также вещественная частотная  характеристика замкнутой системы.

Для расчета на ЭВМ представим частотную  передаточную функцию разомкнутой  системы W(jw) в виде

,                                                    (7)

,где A(w), B(w), C(w), D(w) – соответствующие полиномы с числовыми коэффициентами при w.

Приведя к требуемому виду, найдем необходимые  для расчета коэффициенты. Подставляя в выражения для A,B,C,D значения параметров из задания, получаем:

 

 

Необходимо  определить запасы устойчивости по амплитуде  и фазе, по критерию Найквиста, найти  переходную характеристику по вещественной – частотной характеристике замкнутой  системы. Для этого необходимо по исходным данным, вводимым в ЭВМ  выразить вещественную частотную характеристику разомкнутой системы, МЧХ разомкнутой  системы, амплитудную логарифмическую  характеристику разомкнутой системы, ФЧХ разомкнутой системы через  исходные данные А(w), В(w), С(w), D(w).

Использование ЭВМ облегчает задачу представления  передаточной функции в виде и вычисления вещественной частотной характеристики замкнутой системы .

В результате расчета на ЭВМ выдаются: таблица значений вещественной U(w) и мнимой V(w) частотных характеристик разомкнутой системы; – амплитудная логарифмическая характеристика разомкнутой системы; j (w) – фазовая характеристика разомкнутой системы; lg w; Р (w) – вещественная частотная характеристика замкнутой системы.

Выразим , , , j(w) и Р(w) через введенные коэффициенты A(w), B(w), C(w), D(w). Для этого избавляемся от мнимого слагаемого в числителе, домножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число :

Далее выделяем мнимую и вещественную части в полученном выражении:

Из  этого выражения получаем, что

  ,

  ,

причем  , а .

Численные значения Re(W(iw)) и Im(W(iw)) при изменении ω от 10^-4 до 10⁴ определяем с помощью ЭВМ.

 

 

 

 

 

 

Студент Kuvshinov,5045/2

Порядок системы 6

Коэффициент астатизма  системы 0

n        A                B                C                D

---------------------------------------------------------------------

  0  1.492000E+0002   0.000000E+0000   0.000000E+0000   0.000000E+0000

  1   0.000000E+0000  2.985000E+0001   0.000000E+0000  6.888000E+0000

  2   0.000000E+0000   0.000000E+0000  -1.166000E+0001   0.000000E+0000

  3   0.000000E+0000   0.000000E+0000   0.000000E+0000  -1.992000E+0000

  4   0.000000E+0000   0.000000E+0000  4.051000E-0002   0.000000E+0000

  5   0.000000E+0000   0.000000E+0000   0.000000E+0000  7.864000E-0005

  6   0.000000E+0000   0.000000E+0000  -4.000000E-0008   0.000000E+0000

***** Re(w)=R/Z    Im(w)=I/Z *****

n        R                  Z                 I

-----------------------------------------------------

0    0.000000E+0000    0.000000E+0000    0.000000E+0000

1    0.000000E+0000    0.000000E+0000   -4.212000E+0001

2   -5.991840E+0001    2.190240E+0001    0.000000E+0000

3    0.000000E+0000    0.000000E+0000    8.856000E+0000

4   -3.513780E+0000    3.440376E+0001    0.000000E+0000

5    0.000000E+0000    0.000000E+0000    4.743000E-0002

6    1.226259E-0004    5.002767E+0000    0.000000E+0000

7    0.000000E+0000    0.000000E+0000   -8.893800E-0008

8    0.000000E+0000    5.281455E-0004    0.000000E+0000

9    0.000000E+0000    0.000000E+0000    0.000000E+0000

10    0.000000E+0000    2.514940E-0009    0.000000E+0000

11    0.000000E+0000    0.000000E+0000    0.000000E+0000

12    0.000000E+0000    3.014010E-0015    0.000000E+0000

   W           Lg(w)                 Re(w)                 Im(w)

               L(w)                  F(w)*57.3             P(w)

----------------------------------------------------------------------------

1.0E-0004  -3.99999999999E+0000  -2.73570015587E+0000  -1.92307688884E+0004

             8.56799330605E+0001   8.99984782331E+0001   1.00000000469E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.3E-0004  -3.87500000000E+0000  -2.73570012368E+0000  -1.44210420305E+0004

             8.31799330084E+0001   8.99957596024E+0001   1.00000000835E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.8E-0004  -3.75000000000E+0000  -2.73570006642E+0000  -1.08142556446E+0004

             8.06799329160E+0001   8.99921342503E+0001   1.00000001484E+0000

----------------------------------------------------------------------------

2.4E-0004  -3.62499999999E+0000  -2.73569996461E+0000  -8.10954733068E+0003

             7.81799327515E+0001   8.99872997655E+0001   1.00000002639E+0000

----------------------------------------------------------------------------

3.2E-0004  -3.50000000000E+0000  -2.73569978356E+0000  -6.08130210956E+0003

             7.56799324592E+0001   8.99808528768E+0001   1.00000004693E+0000

----------------------------------------------------------------------------

4.2E-0004  -3.37500000000E+0000  -2.73569946161E+0000  -4.56033260503E+0003

             7.31799319392E+0001   8.99722558132E+0001   1.00000008346E+0000

----------------------------------------------------------------------------

5.6E-0004  -3.25000000000E+0000  -2.73569888909E+0000  -3.41976617019E+0003

             7.06799310145E+0001   8.99607914460E+0001   1.00000014842E+0000

----------------------------------------------------------------------------

7.5E-0004  -3.12500000000E+0000  -2.73569787098E+0000  -2.56446172420E+0003

             6.81799293702E+0001   8.99455034703E+0001   1.00000026393E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.0E-0003  -3.00000000000E+0000  -2.73569606050E+0000  -1.92307349803E+0003

             6.56799264462E+0001   8.99251166353E+0001   1.00000046933E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.3E-0003  -2.87500000000E+0000  -2.73569284097E+0000  -1.44209968134E+0003

             6.31799212465E+0001   8.98979303738E+0001   1.00000083461E+0000