Синтез комбинированной системы управления

Рис. 3. Номограмма для определения  параметров передаточных функций

 

По номограмме (рис.3.) можно найти  Т^’_а1, Т^’_а2 по известным и . По известному значению находим значение , после чего определяем , и, следовательно:

Подставляем рассчитанные значения в формулу (1.4):

Далее с помощью ППП «MATLAB» на ЭВМ строим переходные процессы полученных функций, рис 4.

Вычислим погрешности аппроксимации  полученных передаточных функций по интегральному критерию по формуле:

 

где:

- аппроксимирующая переходная характеристика;

- заданная переходная характеристика.

 

 

Выбираем передаточную функцию, имеющую  наименьшую погрешность аппроксимации:

 

                                                 (1.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4 Переходные характеристики моделей объекта управления по управляющему каналу и заданная экспериментально переходная характеристика по управляющему  каналу.

 

1 -

2 -

    3 -

            4 - заданная экспериментально переходная характеристика по управляющему             каналу

1.2. Аппроксимация переходной характеристики  объекта по возмущающему каналу

 

Исследуемый объект по возмущающему каналу также является объектом с самовыравниванием (рис.5.). Поэтому аппроксимирующая передаточная функция примет форму оператора (1.1).

Рис. 5. Переходная характеристика по возмущающему каналу

 

 Проведём касательную  к экспериментальной переходной  характеристике в точке перегиба с координатами (t_п; h(t_п)). Определим параметры передаточной функции:

К_об = h_уст = 0,32; t_о = 3,3 с; Т_о = 6,1 с; h(t_п) = 0,08; t_п = 4,85 с

Аппроксимация переходной характеристики объекта по возмущающему каналу, как и в предыдущем случае, будет осуществляться с помощью 4,5,6 моделей.

1. Для получения четвертой модели воспользуемся выражением (1.2).

Параметры модели определяем по методу Лукаса[1]:

где, ;

Таким образом, получили четвертую математическую модель:

                                      

2. Воспользовавшись выражением (1.3)  аналогично найдем пятую модель:

t₁=7,8с = 1,2 с

t₂= t₁ - = 7,8 – 1,2 = 6,6 c     T_a2 = 0,64*t₂= 0,64*6,6 = 4,224 c

T_a1 =0,5 * T_a2 =0,5*4,224 = 2,112 c   = =1,2 c

Подставляя полученные параметры в (1.3) получим:

Модель 5 считается наилучшей  если h(0,5*t₂) ≥ 0,3*k_об   (*)

где,     h(0,5*t₂) = 0,025           0,3*k_об = 0,096

следовательно  h(0,5*t₂) ≤ 0,3*k_об  - условие не выполняется.

3. Так как (*) не выполняется, воспользуемся выражением (1.4) для получения 6 модели.

Аналогично по номограмме (рис.3.)  находим Т^’_а1, Т^’_а2 по известным и .По известному значению находим значение , после чего определяем , и, следовательно:

Подставляем рассчитанные значения в  формулу (1.4):

 

Далее с помощью ППП  «MATLAB» на ЭВМ строим переходные процессы полученных функций (рис.6).

Вычислим погрешности аппроксимации  полученных передаточных функций по интегральному критерию по формуле:

 

где:

- аппроксимирующая переходная  характеристика;

- заданная переходная характеристика.

 

Выбираем передаточную функцию, имеющую  наименьшую погрешность аппроксимации:

 

                                                 (1.6)

 

Рис. 6 Переходные характеристики моделей объекта управления по возмущающему каналу и заданная экспериментально переходная характеристика по возмущающему  каналу.

 

1 -

2 -

    3 -

4 - заданная экспериментально переходная характеристика по управляющему          каналу

2. Выбор ПИ-алгоритма управления

В качестве показателя оптимальности  АСР принимается минимум интеграла  от квадрата ошибки системы при действии на объект наиболее тяжелого ступенчатого возмущения по регулирующему каналу (интегральный квадратичный критерий) с учетом добавочного ограничения на запас устойчивости системы, т.е.

.     (2.1)

Такой критерий допускает значительное перерегулирование  и увеличивает время регулирования, но он обеспечивает наименьшее максимальное динамическое  отклонение регулируемой величины.

При практических расчётах запас устойчивости удобно характеризовать показателем  колебательность системы М, значение которого в САУ, имеющих интеграл в алгоритме управления, совпадает с максимумом  амплитудно-частотной характеристики системы:

      (2.2)

где:

w_р - резонансная частота, на которой А_з(w) имеет максимум.

Чтобы максимум не превышал некоторой  заданной величины М, амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой системы W_раз(jw) не должна заходить внутрь «запретной» области ограниченной окружностью, центр u_o и радиус R_o которой определяется через М формулами (2.3) и (2.4), (рис.7):

 

      (2.3)

.      (2.4)

Рис.7. Определение центра и радиуса окружности, соответствующей заданному показателю колебательности М

 

Если же W_раз(jw) касается указанной окружности, то это означает, что САУ находится на границе заданного запаса устойчивости.

На практике чаще всего принимают  . При этом в САУ перерегулирование g £ 40%, максимальное отклонение регулируемого параметра при внутренних возмущениях (возмущениях по регулирующему воздействию) не превышает 10%.

3.Расчет параметров ПИ-регулятора  по параметрам объекта по регулирующему  каналу графоаналитическим методом

Рассчитаем ПИ-алгоритм управления, передаточная функция которого имеет вид:

,     (3.1)

а параметрами, подлежащими  определению, являются коэффициент усиления К_р и постоянная интегрирования Т_и, для этого используем графоаналитический метод.[3]

С помощью программы «СС» строим АФХ объекта по передаточной функции (1.5) (приложение 1)

1. По АФХ объекта  W_об^u-y (jω) строим семейство характеристик разомкнутой системы W_раз(jω) для К_р = 1 и нескольких фиксированных значений постоянной интегрирования Т_и.

Для этого сначала  строим несколько векторов характеристики объекта W_об^u-y (jω), например, векторы для частоты ω₁, для ω₂ и т.д. (приложение 1).

 

•  для  = 0,452р/c,  мм
• для =0,598р/c, мм
• для =0,755р/с, мм
• для =1,21р/с, мм
• для =1,64р/с, мм

 

 

 К их концам надо пристроить  векторы  , ,…, , повернутые по отношению к векторам , ,…, на угол 90°. Длина векторов , ,…, выбирается из соотношения (где в числителе - длина вектора АФХ объекта для определённого значения частоты w_i, которую можно измерить непосредственно в миллиметрах; в знаменателе – произведение указанной частоты на фиксированное значение Т_и). Результаты расчёта представлены в таблице 2.

 

                                                                                                               Таблица 2

 

			Tu1=2,4	Tu2=2,6	Tu3=2,8
i
1	78	0,452	71,9026549	66,3716814	61,630847
2	61	0,598	42,5027871	39,2333419	36,4309603
3	47	0,755	25,9381898	23,9429445	22,2327342
4	24	1,21	8,26446281	7,6287349	7,08382527
5	14	1,64	3,55691057	3,28330206	3,04878049

 

 Через полученные точки С₁, С₂,…, С_n проводим плавную кривую, которая является характеристикой W_раз1(jω) для выбранного значения Т_и. Аналогичные построения проводим для других значений Т_и. В итоге получаем семейство характеристик W_раз (jω) для различных значений Т_и.

2. Из начала координат  проводим прямую ОЕ под углом b, характеризующим запас устойчивости по фазе и определяемым как:

.   (3.2)

3. С помощью циркуля  вычерчиваем окружности с центром  на отрицательной вещественной полуоси, каждая из которых касается одновременно как прямой ОЕ, так и одной из характеристик W_раз1(jω) (центр каждой окружности и ее радиус находим подбором).

4. Отношение требуемого радиуса  R₀, определяемого по формуле (2.3), к полученному в каждом отдельном случае значению r_i показывает, во сколько раз нужно изменить единичный коэффициент передачи регулятора (К_р=1), чтобы каждая характеристика W_раз1(jω) касалась окружности с заданным М, т.е.

.    (3.3)

Для вычисления К_{р. пред} использована формула:

,     (3.4)

где:

R_о – радиус, определяемый по формуле (2.3);

r – радиус окружности, находящийся  методом подбора;

m_A – масштабный коэффициент, из приложения 1, равный m_A = 0,005;

Все результаты вычислений представлены в таблице 3:

                                                           Таблица 3  

 

№ кривой	Tu	r	Kp
1	2,4	31,5	6,514285714
2	2,6	26	7,892307692
3	2,8	24,5	8,375510204

 

 

№ кривой	Tu	r	kp
1	5	68,5	1,542
2	5,4	66	1,603
3	5,5	63,5	1,615
4	5,58	57,5	1,784
5	5,8	56	1,8
6	6	54	1,832

 

5. В результате в плоскости варьируемых параметров алгоритма К_р и Т_и строится граница области заданного запаса устойчивости (приложение 1).

                Рис.8  График зависимости постоянной интегрирования от коэффициента усиления

 

Максимум отношения К_р/Т_и, определяющего оптимальную настройку регулятора при низкочастотных возмущениях, соответствует точке пересечения касательной с границей заданного запаса устойчивости, проведённой через начало координат.

Передаточная функция  регулятора, после определения координат точки А (К_р.опт = 8,2 и Т_{и опт} = 2,7)(приложение 1), имеет вид:

Следует отметить, что  найденные таким образом параметры  являются оптимальными только при низкочастотном характере возмущений. По мере расширения полосы частот возмущений точка оптимума в плоскости параметров (приложение 1) смещается вправо от точки А, причём сначала это смещение идёт вдоль границы заданного запаса устойчивости, а затем, при достаточно высокочастотных воздействиях, она уходит вглубь области. Это означает, что с ростом частоты воздействий ПИ-алгоритм должен всё более приближаться к П-алгоритму, К_р которого также снижается. Это сопровождается ухудшением эффективности управления.