Переходные процессы

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«Магнитогорский государственный  технический университет

им. Г.И. Носова»

Кафедра электротехники и электротехнических систем

Курсовая работа

по дисциплине «Теоретические основы электротехники»

на тему: «Расчет и анализ переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами»

Вариант №6

Выполнил: студент гр. АП-08

Афанасьев С.С.

Проверил: доцент каф. ЭиЭС

Петухова  О.И.

Магнитогорск 2010 г.

Оглавление

Цели работы 3

Введение 3

1. В цепи осуществляется коммутация выключателем , действует источник постоянной ЭДС . 4

1.1. Определение законов изменения во времени всех токов и напряжений на емкости и индуктивности после коммутации двумя методами. 4

1.1.1. Классический метод. 4

1.1.2. Операторный метод. 8

1.2. Расчет и построение графиков кривых всех токов и напряжений на емкости и индуктивности в интервале времени от до . 14

2. В цепи осуществляется коммутация выключателем , действует источник синусоидальной ЭДС амплитудой , частотой и начальной фазой . 17

2.1. Определение законов изменения во времени всех токов и напряжений на емкости и индуктивности после коммутации. 17

2.1.1. Классическим методом. 17

2.2. Расчет и построение графиков кривых всех токов и напряжений на емкости и индуктивности в интервале времени от до . 22

3. Цепь подключается к источнику, ЭДС которого изменяется по заданному закону в течение времени . 25

3.1. Определение закона изменения во времени тока источника с помощью интеграла Дюамеля. 25

3.2. Расчет и построение кривых ЭДС и тока источника в интервале времени от до . 30

Выводы 31

Список литературы 32

 

Цели работы

1. Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях с

сосредоточенными  параметрами при воздействии постоянной, синусоидальной

и ЭДС произвольной формы.

2. Освоение следующих методов расчета переходных процессов: классический,

операторный, а  также с помощью интеграла Дюамеля.

3. Приобретение навыков анализа характера переходных процессов при различных

коммутациях, понимания физического смысла полученных результатов.

Введение

Переходные процессы возникают  в результате различных коммутаций, приводящих к изменению схемы  или параметров цепи: подключение  и отключение источников питания  и нагрузок, короткие замыкания и  т.п.

Если  в цепи имеются катушки индуктивности  и (или) конденсаторы, то переход от одного установившегося режима (до коммутации) к другому (после коммутации) не может совершаться мгновенно даже при мгновенной коммутации, поскольку не может мгновенно измениться энергия электрического и магнитного полей, связанных с индуктивностями и емкостями.

Для мгновенного или скачкообразного  изменения энергии полей необходима бесконечно большая мощность источников энергии, реальные же источники питания  обладают конечной мощностью.

Таким образом, переход от одного установившегося режима к другому осуществляется в течение некоторого промежутка времени. Практически длительность переходного процесса измеряется долями секунды.

Задача  анализа переходных процессов заключается в общем случае в определении мгновенных значений токов и напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации. Для этого необходимо найти полные решения дифференциальных уравнений цепи.

1. В цепи осуществляется коммутация выключателем , действует источник постоянной ЭДС .
1. Определение законов изменения во времени всех токов и напряжений на емкости и индуктивности после коммутации двумя методами.
1. Классический метод.

При расчете переходного процесса этим методом полное решение дифференциального  уравнения равно сумме принужденного  и свободного решений, а определение  постоянных интегрирования, входящих в выражения для основного  тока (или напряжения), производят путем  решения системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям  корней характеристического уравнения  и известным значениям свободной  составляющей тока (напряжения).

Данные: номер рисунка – 8,

 

 

 

Рисунок 1 – Заданная схема

 

 

1. Составление характеристического  уравнения и определение его  корней.

Входное сопротивление цепи после коммутации равно:

 

 

 

Характеристическое  уравнение имеет следующий вид:

 

 

 

 

Корни характеристического  уравнения:

Согласно законам  коммутации напряжение на емкости и  ток через индуктивность не могут измениться скачком, поэтому расчет проще начать с переходных функций и .

2. Свободные составляющие переходных функций полностью определяются

параметрами пассивных  элементов, а также структурой цепи после коммутации.

 

 

3. Принужденные составляющие переходных функций определяются значением

исследуемой переменной в установившемся режиме после коммутации:

 

 

 

 

4. Переходные функции в общем  виде:

 

 

5. Независимые начальные условия находим на основании

законов коммутации:

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени :

 

 

 

 

Итак, начальные  условия:

 

 

 

 

 

6. Определение постоянных интегрирования с помощью начальных условий.

Сначала найдем и :

 

 

 

 

 

Теперь  найдем и :

 

 

 

 

 

7. Переходные функции имеют  вид

 

 

 

 

 

 

 

Ток равен току по первому закону Кирхгофа для узлов b и c :

 

2. Операторный метод.

Идея этого метода заключается  в том, что с помощью преобразования Лапласа решение из области функций  действительного переменного переносится  в область функций комплексного переменного p, где операции принимают более простой вид, а именно: дифференцирование и интегрирование заменяются на умножение и деление. Вместо исходных дифференциальных уравнений получаются алгебраические уравнения; затем полученный решением алгебраических уравнений результат «интерпретируется», т.е. осуществляется обратный переход от изображения функции к ее оригиналу с помощью обратного преобразования Лапласа.

Преимуществом этого метода является то, что заданные начальные условия включаются в исходные уравнения при прямом преобразовании Лапласа и для нахождения исходных функций не требуется дополнительно определять постоянные интегрирования. Это облегчает решение Д.У.

1. Определение независимых Н.У. – см. действие 5 в классическом методе.

 

 

2. Составление операторной  схемы.

Поскольку ток  через индуктивность и напряжение на емкости в нулевой момент времени  отличны от нуля, то в операторную  схему будут введены  две добавочные ЭДС: и .

 

Рисунок 2 – Операторная схема

3. Определим операторное изображение напряжения :

 

 

 

 

 

 

 

                           

 

 

Корни и совпадают с корнями характеристического уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем оригинал изображения с помощью теоремы  разложения:

 

 

Теперь  найдем операторное изображение  тока :

 

 

   — как и при нахождении

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходим от изображения  к оригиналу:

 

 

Найдем изображение тока через индуктивность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем от изображения к оригиналу функции времени:

 

 

Найдем  :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оригинал функции:

 

 

Найдем изображение  тока через емкость:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Итак, переходные функции  имеют вид:

 

 

 

 

 

Очевидно, что  результаты расчетов классическим и  операторным методами совпадают.

 

2. Расчет  и построение графиков кривых всех токов и напряжений на емкости  и индуктивности в интервале  времени от до .

Найдем  время протекания переходного процесса:

 

Построим кривые зависимостей напряжений на индуктивности  и емкости от времени:

Рисунок 3 – Построение зависимостей

 

Построим кривые зависимостей токов от времени:

Рисунок 4 – Построение зависимостей

Рисунок 5 - Построение зависимостей

Проанализируем полученные графики.

Из  графиков видно, что в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости и ток через индуктивность равны соответствующим величинам до переключения выключателя вследствие 2-го закона коммутации. Ток также не может измениться скачкообразно из-за того, что .

При размыкании ветви, содержащей ток  ток становится равным нулю, увеличивается ток через индуктивность (), который изменяется от 0,446 А до 1,852 А.

При росте тока увеличивается падение напряжения на резисторе равное напряжению В течение переходного процесса ток через емкость сначала нарастает, а затем спадает до нуля, потому что при постоянном токе сопротивление емкости бесконечно велико.

Напряжение  на индуктивности изменяется скачком  в нулевой момент времени (момент коммутации), а затем уменьшается  до нуля, т.к. при постоянном токе сопротивление  катушки индуктивности равно  нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. В цепи осуществляется коммутация выключателем , действует источник синусоидальной ЭДС амплитудой , частотой и начальной фазой .
1. Определение законов изменения во времени всех токов и напряжений на емкости и индуктивности после коммутации.
1. Классическим методом.

Данные: номер рисунка – 8,

 

 

Рисунок 6 – Заданная схема

1. Входное сопротивление цепи, характеристическое уравнение и его корни не

изменятся:

 

 

Найдем параметры  :

 

 

 

 

 

 

2. Определение свободных составляющих переходных функций:

 

 

3. Для определения принужденных составляющих переходных функций

воспользуемся символическим методом.

Сначала найдем входное сопротивление цепи после коммутации:

 

 

 

 

 

Теперь  рассчитываем принужденные составляющие:

 

 

 

 

 

 

 

4. Переходные функции в общем  виде:

 

 

5. Нахождение независимых  начальных условий .

Сначала определим  входное сопротивление цепи до коммутации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 по 2му закону комм.

 

 

 

 по 2му закону коммутации.

 

 

Для определения зависимых начальных  условий составим систему уравнений

для мгновенных значений токов и напряжений для момента времени :

 

 

 

 

Итак, начальные условия:

 

 

 

 

 

6. Определение постоянных интегрирования. Сначала найдем и :

 

 

 

 

 

 

Теперь  найдем и :

 

 

 

 

 

 

7. Переходные функции имеют  вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Расчет  и построение графиков кривых всех токов и напряжений на емкости  и индуктивности в интервале  времени от до .

 

Построим  графики зависимостей напряжений на индуктивности и емкости от времени:

Рисунок 7 - Построение зависимостей

Рисунок 8 – Построение зависимостей в увеличенном масштабе