Теоретико-групповой анализ колебательных и магнитных представлений HoFe3(BО3)4

 

                            а                                                                б

 

Рис. 1. Магнитная структура HoFe₃(BO₃)₄ до (a) и после (б) спинпереориентационого перехода.

3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. Теоретико-групповой анализ колебательных и магнитных представлений кристалла HoFe₃(BО₃)₄

3.1 Анализ колебательного представления

 

Для колебательных представлений вычислено разложение приводимых представлений по неприводимым представлениям. Проведен анализ возможных колебательных представлений для =0

Получено разложение по неприводимым представлениям для  группы R32;

 

Для каждого неприводимого представления были определены смещения атомов (Рис. 3.1.1, 3.1.2.)

Для неприводимого представления вектора смещений атомов соответствующие:

• атомы Re, B в позиции 3b – не смещаются;
• направления смещений атомов кислорода и бора в позиции (9e) и атомов железа в позиции (9d) представлено на рисунках 3.1.1, 3.1.2.
• направления смещений атомов кислорода в позиции 18(f) представлены в таблице 4.

Рис. 3.1.1. Направления смещения атомов железа, соответствующих неприводимому представлению 

.

 

Рис. 3.1.2.  Направления смещения атомов кислорода, соответствующих неприводимому представлению 

.

Таблица 4.

Направления смещения атомов кислорода в позиции 18(f)

Атом	Тип смещения
A1	X1	Y1	Z3
A2	-X2	Y1 – Y2	Z3
A3	-X1 – X2	-Y1	Z3
A4	X2	Y1	-Z3
A5	X1 – X2	Y2	-Z3
A6	-X1	-Y1 – Y2	-Z3

 

Для неприводимого представления вектора смещений атомов соответствующие:

• смещения атомов Re в позиции 3b: (-x -y z); B в позиции 3b: (-x -y z);
• направления смещений атомов кислорода и бора в позиции (9e) и атомов железа в позиции (9d) представлено на рисунке 3.1.3.
• направления смещений атомов кислорода в позиции 18(f) представлены в таблице 4.

 

Рис. 3.1.3. Неприводимое представление

.

 

Для неприводимого представления вектора смещений атомов соответствующие:

• атомы Re, B – не смещаются,
• смещения атомов кислорода, железа, бора в позициях (9e), (9d) представлены в таблице 5.

Таблица 5.

Тип смещения атомов железа, бора и кислорода

Атом	Тип смещения
Fe1, B1, O1	xCos(2π/3)	0	0
Fe2, B2, O2	0	yCos(2π/3)	0
Fe3, B3, O3	xCos(-2π/3)	yCos(-2π/3)	0
O4	xCos(2π/3)	0	0
O5	0	yCos(2π/3)	0
O6	xCos(-2π/3)	yCos(-2π/3)	0

 

Получено разложение по неприводимым представлениям для  группы ;

 

 

Для каждого неприводимого  представления  были определены  смещения атомов (Рис. 3.1.4, 3.1.5).

Для неприводимого представления вектора смещений атомов соответствующие:

• направления смещений атомов в позиции (3а) и (3b) представлено на рисунке 3.1.4, 3.1.5.
• направления смещения атомов Fe, O, B в позиции (6с) представлены в таблице 6.

 

Рис. 3.1.4. Направления смещения атомов железа, соответствующих неприводимому представлению

.

 

 

 

Рис. 3.1.5. Направления смещения атомов кислорода, железа, бора в позиции 6(с) соответствующих неприводимому представлению 

.

 

Таблица 6.

Направления смещения атомов кислорода в позиции 6(с)

Атом	Тип смещения
A1	X1	Y1	Z3
A2	-X2	Y1 – Y2	Z3
A3	-X1 – X2	-Y1	Z3
A4	X2	Y1	-Z3
A5	X1 – X2	Y2	-Z3
A6	-X1	-Y1 – Y2	-Z3

 

 

Для неприводимого представления вектора смещений атомов соответствующие:

• смещения атомов Re в позиции 3b: (-x -y z); B в позиции 3b: (-x -y z);
• направления смещений атомов кислорода и бора в позиции (9e) и атомов железа в позиции (9d) представлено на рисунке 3.1.6.

 

Рис. 3.1.6.  Неприводимое представление

.

Для неприводимого представления вектора смещений атомов соответствующие:

• атомы  Re, B – не смещаются,
• направления смещения атомов Fe, O, B представлены в таблице 7.

 

Таблица 7.

Тип смещения атомов железа, бора и кислорода

 

Атом	Тип смещения
Fe1, B1, O1	xCos(2π/3)	0	0
Fe2, B2, O2	0	yCos(2π/3)	0
Fe3, B3, O3	xCos(-2π/3)	yCos(-2π/3)	0
O4	xCos(2π/3)	0	0
O5	0	yCos(2π/3)	0
O6	xCos(-2π/3)	yCos(-2π/3)	0

 

Из имеющихся экспериментальных  данных при температуре 520 К и 50 К  были определены смещения атомов при структурном фазовом переходе, наиболее сильно смещаются атомы кислорода и бора, гольмий и железо смещаются мало, кроме того часть групп BO поворачивается. По результатам расчета видно, что в колебаниях соответствующих представлениям и атомы гольмия не смещаются, следовательно, структурный фазовый переход не может происходить по этим представлениям. Тип смещений атомов при структурном фазовом переходе соответствует представлению . Смещения атомов кислорода, связанные с возникновением поляризации (из данных при 50К и 2К) [9] приведены в таблице 8. Как видно из таблиц 6 и 8 и рис. 3.1.4. тип смещения атомов при возникновении поляризации соответствует неприводимому представлению с .

 

Таблица 8.

Смещение атомов кислорода, приводящие к возникновению спонтанной поляризации

Атом	Позиция	(2К - 50К)
		∆X	∆Y	∆Z
	(3b)	0.0025	0.0025	0
		-0.0025	0	0
		0	-0.0025	0
	(6c)	0.0019	0.0014	0.0007
		-0.0014	0.0005	0.0004
		-0.0005	-0.0019	0.001
		0.0014	0.0019	-0.0007
		0.0005	-0.0014	0
		-0.0019	-0.0005	0
	(6c)	-0.0033	-0.0009	-0.0001
		0.0009	-0.0024	0
		0.0024	0.0033	-0.0001
		-0.0009	-0.0033	0.0001
		-0.0024	0.0009	0.0001
		0.0033	0.0024	0.0001
	(6c)	0.0021	0.0002	0.0036
		-0.0002	0.0019	0.0036
		-0.0019	-0.0021	0.0036
		0.0002	0.0021	-0.0036
		0.0019	-0.0002	-0.0036
		-0.0021	-0.0019	-0.0036
	(6c)	-0.0018	-0.0014	-0.0011
		0.0014	-0.0004	-0.001
		0.0004	0.0018	-0.0011
		-0.0014	-0.0018	0.0011
		-0.0004	0.0014	0.0011
		0.0018	0.0004	0.0011
	(3b)	0.00011	0.0011	0
		-0.0011	0	0
		0	-0.0011	0
	(6c)	-0.0018	-0.0019	0.0032
		0.0019	0.0001	-0.0008
		-0.0001	0.0018	-0.0008
		-0.0019	-0.0018	-0.0032
		0.0001	0.0019	-0.0031
		0.0018	-0.0001	-0.0031

3.2 Анализ магнитных структур

 

Для магнитных представлений вычислено разложение приводимых представлений по неприводимым представлениям. Проведен анализ возможных магнитных представлений для =0

Получено разложение по неприводимым представлениям для группы R32;

              

 и для группы ;

 

Для каждого неприводимого  представления  для обеих групп были определены  смещения атомов Re, Fe₁.

Направления магнитных  моментов атомов Re и Fe₁ соответствуют направлениям смещений в колебательном представлении, которые представлены на рисунке 3.1.7, как видно из рисунка магнитные моменты лежат в плоскости а, b.

У атомов Fe₂ направления магнитных моментов не лежат в плоскости а, b (таблица 6).

Рис. 3.1.7.  Направления смещения атомов железа, соответствующих неприводимому представлению 

.

 

В работе [10] была исследована магнитная структура HoFe₃(BО₃)₄ и установлено, что при температуре Нееля Т_N= 38 К происходит переход в антиферромагнитную фазу, кроме того в исследуемом соединении при температуре 5 К происходит спонтанная спиновая переориентация. Ниже 25 К в антиферромагнитной фазе, существует спонтанная поляризация, однако после спинпереориентационного перехода при 5 К эта поляризация исчезает. Направления магнитных моментов на ионах, Но и Fе, в антиферромагнитной фазе соответствующей области температур 5 – 38 К соответствуют неприводимому представлению , в низкотемпературной  антиферромагнитной фазе направления магнитных моментов соответствуют неприводимому представлению . Смещения атомов в области, где существует спонтанная поляризация, также соответствует неприводимому представлению . Исходя из полученных результатов можно сделать вывод, что поляризация и магнитный порядок взаимосвязаны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВЫВОДЫ

 

В рамках теоретико-группового анализа получено разложение для центра зоны Бриллуэна колебательного и магнитного представления для высокотемпературных и низкотемпературных фаз HoFe₃(BО₃)₄

Для каждого неприводимого представления принадлежащего к центру зоны Бриллуэна построен оператор проектирования и определены направления колебаний атомов (для колебательного представления) и направления магнитных моментов (для магнитного представления).

Проанализированы изменения структуры под действие температуры, из экспериментальных данных вычислены изменения координат атомов при структурном  и магнитном фазовом переходах. Установлено соответствие с полученными в результате теоретико-группового анализа смещениями атомов.