Теоретико-групповой анализ колебательных и магнитных представлений HoFe3(BО3)4

                                             

                                                  (1.1.15)                 

где

               

                            (1.1.15a)              

и непосредственно вытекает из теоремы ортогональности.

Для того, чтобы правильно осуществить  произвольно е разложение пространства , преобразующегося по приводимому представлению , то пространства , преобразующегося по приводимому представлению , то

1. Нужно выяснить, сколько раз входит в представление каждое неприводимое представление группы ; полученные числа дают нам размерности подпространства ;
2. Найти с помощью оператора проектирования все подпространства , имеющие положительную размерность ;
3. В каждом из подпространств выбрать совершенно произвольным образом ортогональный базис

                                       

;                                       (1.1.16)          

4. Применяя формулу поочередно к каждому из векторов построить неприводимые подпространства, содержащие эти векторы; полученные таким образом подпространства взаимно ортогональны и преобразуются по представлению , в совокупности они дают полное разложение пространства .[4]

Постановка задачи

 

Целью данной работы является исследование кристалла HoFe₃(BО₃)₄ методами теоретико-группового анализа.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Освоить проведение  теоретико-группового анализа, как  для механических, так и для  магнитных представлений.

2. Провести теоретико-групповой анализ колебательных (механических) представлений HoFe₃(BО₃)₄ в высокотемпературной фазе .

3. Провести теоретико-групповой  анализ магнитных представлений  HoFe₃(BО₃)₄ в высокотемпературной фазе .

4. Провести теоретико-групповой  анализ колебательных (механических) представлений HoFe₃(BО₃)₄ в низкотемпературной фазе.

5. Провести теоретико-групповой  анализ магнитных представлений  HoFe₃(Bo₃)₄ в низкотемпературной фазе.

6. Проанализировать полученные  результаты, сравнить с экспериментальными  данными, определить неприводимые  представления, по которым происходит  структурный фазовый переход,  появление спонтанной поляризации, появление магнитного порядка.

 

2. МЕТОДИКА РАСЧЕТА. Сведения о кристалле HoFe₃(BО₃)₄

2.1 Теоретико-групповой анализ колебательных представлений

 

Для каждой точечной группы существует свой набор неприводимых представлений, любое приводимое представление может быть разложено по ним. Для каждого элемента симметрии представление строится по правилу[4]:

                      

                  (2.1.1)

- символ Кронекера

, - координаты атомов

-  элемент симметрии

- волновой вектор

Приведение этого представления  производится стандартными методами:

Определяется характер:

                                                                                           (2.1.2)

                                                                                 (2.1.3)          

Число раз, которое неприводимое представление встречается в приводимом определяется как:

                                           

                               (2.1.4)

Где  - порядок группы.

Формы собственных векторов получаем через оператор проектирования, определяемый по правилу:

                                                                       (2.1.5)          

Где - размерность неприводимого представления

 

2.2 Теоретико-групповой анализ магнитных структур

 

Для успешного применения теории групп в описании магнитной  структуры необходимо принять во внимание две особенности отличных от предыдущей части, во-первых, проводим анализ только для магнитных атомов, во-вторых, магнитный момент это аксиальный вектор, т.е. его знак не будет меняться при инверсии, следовательно, представление (2.1.1) помножаем на [5]

                                   (2.2.1)              

Где =1 если и =-1

Приведение представлений  аналогично с приведением для  механических колебаний.

Определяется характер:

                                                 

                                         (2.2.2)

                                                                               (2.2.3)              

Число раз, которое неприводимое представление встречается в  приводимом определяется как:

                                                                           (2.2.4)              

где  - порядок группы.

Формы собственных векторов получаем через оператор проектирования, определяемый по правилу:

                                                                       (2.2.5)              

Где - размерность неприводимого представления

 

 

2.3 Структура кристалла

 

Кристалл HoFe₃(BО₃)₄ при температуре 420 К испытывает структурный фазовый переход из высокотемпературной фазы R32 в низкотемпературную . Позиции атомов высокотемпературной и низкотемпературной фаз приведены в таблице 1 и 2, соответственно. В группе R32 и , имеются 6 элементов симметрии, которые приведены в таблице 3 [8].

С помощью упругого рассеяния  нейтронов была изучена магнитная структура кристалла HoFe₃(BО₃)₄ и обнаружена антиферромагнитная структура с волновым вектором k = [0, 0, 1/2], возникающая при температурах Нееля 38 К [10]. Сложная магнитная структура ферробората гольмия HoFe₃(BО₃)₄ обусловлена конкуренцией анизотропных вкладов магнитных подсистем железа и гольмия. Ниже T_N магнитная структура (рис. 1а) является легкоплоскостной, но третья часть ионов Fe имеет ненулевые компоненты магнитных моментов вдоль оси с (красные стрелки).

 

Таблица 1.

  Позиции атомов HoFe₃(BО₃)₄   в высокотемпературной фазе R32 (при 520 К)

 

Атом	Позиция	Ho
		X	Y	Z
RE	(3a)	0	0	0
Fe	(9d)	0.5492	0	0
	(9e)	0.8554	0	1/2
	(9e)	0.5926	0	1/2
	(18f)	0.0247	0.2111	0.1825
	(3b)	0	0	1/2
	(9e)	0.4481	0	1/2

Таблица 2. 

Позиции атомов HoFe₃(BО₃)₄ в низкотемпературной фазе

(при 2 и 50 К).

Атом	Позиция	Ho
		2K				50K
		X		Y	Z	X	Y	Z
RE	(3a)	0.6644		0.6644	0	0.6657	0.6657	0
	(3а)	0.1162		0.1162	0	0.1154	0.1154	0
	(6с)	0.7873		0.4496	0.3453	0.7883	0.4510	0.3448
	(3b)	0		0.925	0	0	0.9225	0
	(6c)	0.419		0.722	0.1250	0.4171	0.7206	0.1243
	(6c)	0.873		0.694	0.823	0.8763	0.6949	0.8231
	(6c)	0.857		0.639	0.189	0.8549	0.6388	0.1854
	(6c)	0.475		0.144	0.841	0.4768	0.1454	0.8421
	(3b)	0.184		0	0	0.1851	0	0
	(6c)	0.4752		0.464	0.816	0.4770	0.4659	0.8128
	(3b)	0.329		0	0	0.3318	0	0
	(6c)	0.549	0.8774		0.149	0.5517	0.8763	0.1504
	(3b)	0	0.779		0	0	0.7795	0

 

При этом магнитные моменты ионов Ho (желтые стрелки), упорядоченных за счет обменного взаимодействия с ионами железа, также лежат в базисной плоскости. Конкуренция анизотропных вкладов магнитных подсистем приводит к спонтанной спиновой переориентации при Т_SR ≈ 5К [6]. Ниже этой температуры магнитные моменты всех ионов железа (красные стрелки на рис. 1б) выстраиваются вдоль оси с, при этом магнитные моменты ионов гольмия (черные стрелки) преимущественно также ориентированы вдоль этой оси, обнаружено, что магнитное поле, приложенное как вдоль ромбоэдрической оси, так и в базисной плоскости, снижает температуру ориентационного перехода.[7]

Таблица 3.

 

Набор элементов симметрии  в группе R32 и

Элемент	Описание	Трансляции
		R32
		X	Y	Z	X	Y	Z
	Единичный элемент	-	-	-	0	0	0
	Поворот по z	-	-	-	0	0	4/3
	Поворот по z	-	-	-	0	0	2/3
	Поворот по y	-	-	-	0	0	0
	Поворот по x	-	-	-	0	0	4/3
	Поворот вокруг оси (110) на	-	-	-	0	0	2/3