Электрическая цепь переменного тока

Вычислим шаг:

Функция, учитывающая переключение ключа 

Зададим начальные условия:

Итерационные формулы:

Метод Рунге-Кутта.

Графики зависимости I(t) и U(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модифицированный  метод Эйлера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График I(t)

График U(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнение графиков, полученных двумя методами:

красный - метод Рунге-Кутта, синий - модифицированный метод Эйлера

График I(t)

График U(t)

 

Решение задачи аппроксимации зависимости  I(t) на интервале T1<=t<=T2

 

3.1) Используем возможности пакета Excel и его возможности.

(поиск  решений, мастер диаграмм)

t – 1-й столбец, I(t) – 2-й столбец, U(t) – 3-й столбец.

 

 

    

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод:

 

Численное решение системы дифференциальных уравнений в среде MathCad было реализовано с помощью метода Рунге-Кутта и модифицированного метода Эйлера. В методе Рунге-Кутта использовалась встроенная функция rkfixed(). Были получены графики зависимости силы тока и напряжения от времени согласно системе уравнений. Графики, полученные разными методами, совпали, следовательно расчеты проведены верно.

 

 

3.2.  В пакете MathCad, используя алгоритм метода наименьших квадратов

 

Решение задачи апроксимиации I(t)

1 участок апроксимации:

1 участок  апроксимации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет  количества теплоты, выделившегося  на резисторе R4.

Задаем подынтегральную  функцию:

Задаем промежуток интегрирования:

Точное значение интеграла:

Количество теплоты:

Число отрезков:

Шаг интегрирования:

Диапазон индекса точек:

Значение времени t для  этих точек:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Метод трапеции.

Количество теплоты:

2) Метод левых прямоугольников.

Количество теплоты:

3) Метод правых прямоугольников.

Количество теплоты:

4) Метод Симпсона.

Диапазон нечетных точек

Диапазон четных точек

Количество теплоты:

5) Метод центральных прямоугольников.

Количество теплоты:

Вычисление  ошибок:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод:

Численное интегрирование было реализовано в среде MathCad. Разные методы, дают ответы, близкие к точному  значению, что видно по рассчитанным ошибкам. По результатам видно, что наибольшую точность имеет решение, полученное методом Симпсона.

 

 

 

 

Заключение

 

В проделанной мной курсовой работе была проанализирована электрическая  цепь переменного тока. Все расчеты  были проведены с помощью численных  методов решения математических задач. Данные методы довольно точны, поэтому  результаты дали малое отклонение от ответа. Графики, приведенные выше, наглядно показывают зависимость силы тока I и напряжения U от времени t.

Небольшое выделение тепла на резисторе R4 было получено из-за малого промежутка времени, рассмотренного нами.

В данной курсовой работе я вывел  дифференциальные уравнения зависимости  тока от времени, а также напряжения от времени, рассчитал их, используя 3-ю модификацию метода Эйлера (наиболее точная) и метод Рунге-Кутта, составил графики данных зависимостей. Была решена задача аппроксимации; в пакете MathCAD, используя алгоритм метода наименьших квадратов, была получена аналитическая формула для величины I(t). Из сравнения результатов, полученных в Excel и MathCAD видно, что результаты по точности практически сопоставимы между собой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

 

1. Численное моделирование и анализ переходных процессов в электрической цепи. Метод. разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов технических специальностей дневной формы обучения/НГТУ; Сост. С.Н.Митяков, Т.В.Моругина, М.Н.Потапова, Т.А.Факеева. Н.Новгород, 2004. – 12 с.

2. Численные методы анализа. Приближение функции, дифференциальные и интегральные уравнения/Б.П.Демидович, И.А.Марон, Э.З.Шувалова. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 655 с.

3. Самоучитель MathCAD 11./Кирьянов Д.В. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 560 с. ил.

4.Информатика и информационные технологии. Учебное пособие/И.Г.Лесничая, И.В.Миссинг. 2-е изд. – М.:Изд-во Эксмо, 2008. – 544 с. (Высшее экономическое образование)