Использование формализма матриц Берремана для расчета характеристик оптических систем

Использование формализма матриц Берремана  для расчета характеристик          оптических систем

Ярким примером использования матричного формализма расчета оптических характеристик  сложных анизотропных систем является использование комплексных матриц 4x4 для вычисления пропускания и отражения света ориентированным слоем жидкого кристалла. Жидкие кристаллы обладают уникальными оптическими свойствами, особенно холестерическая фазы ЖК, которая была обнаружена Леманом в ранних работах (до 1900 г.). Когда белый свет падает на образец с планарной структурой (его оптическая ось перпендикулярна поверхностям стекол), происходит селективное отражение света, причем максимум длины волны отражения изменяется в зависимости от угла падения по закону Брэгга. При нормальном падении отраженный свет в значительной степени поляризован по кругу. Одна поляризованная по кругу компонента почти полностью отражается в некотором спектральном интервале, тогда как другая проходит практически без изменений. Более того, в отличие от обычных случаев, отраженная волна имеет тот же знак круговой поляризации, что и падающая. В направлении вдоль оптической оси среда обладает очень большим оптическим вращением, обычно порядка нескольких тысяч градусов на миллиметр. Вблизи области отражения дисперсия оптического вращения аномальна, и знаки вращения по разные стороны от полосы отражения противоположны. Такое поведение сходно с поведением оптически активной молекулы в окрестности полосы поглощения.   

       Для описания оптических свойств ЖК рассмотрим сначала его модельное представление. Холестерические жидкие кристаллы (ХЖК) образованы оптически активными молекулами (до недавнего времени почти исключительно эфирами холестерина) и отличаются тем, что направление длинных осей молекул в каждом последующем слое, состоящем из параллельно ориентированных и свободно перемещающихся в двух направлениях молекул, составляет с направлением осей молекул предыдущего слоя некоторый угол. При этом образуется спираль, шаг которой р зависит от природы молекул и внешних воздействий. Шагу р соответствует поворот оси ориентации молекул (директора) на угол 2 л, хотя период изменения оптических свойств равен p/2, вследствие не полярности молекул образующих структуру ХЖК). В качестве примера ХЖК, бесцветного в кристаллическом и жидком изотропном состоянии и меняющего окраску (селективное отражение) по мере изменения температуры в ЖК- состоянии, можно привести холестерилэрукат. К ХЖК относятся также так называемые «хиральные» (chiral) нематики обладают оптической активностью.   

       При таком рассмотрении ХЖК, для света падающего на него нормально (вдоль оси ХЖК), характеризуется следующей дифференциальной матрицей распространения  :

       где   +   = ne ,   -   = no , no, ne - показатели преломления ЖК перпендикулярно и вдоль оптической оси ХЖК соответственно,   = 2 /р, р - шаг спирали ХЖК. Длина волны max максимума полосы селективного отражения ХЖК удовлетворяет следующему равенству:

Задание  

       1. Разработать алгоритм и вычислительную программу для расчета отражения и пропускания слоем холестерического ЖК световой волны. При разработке алгоритма и программы необходимо использовать выражения (18), (19), (25)-(26), (35)-(41). В качестве входных параметров использовать следующие величины: показатели преломления ЖК no = 1.5, ne = 1.7; шаг спирали р = 0.34 мкм; толщина слоя ЖК 15 мкм; слой ЖК помещен между двумя стеклянными подложками с показателями преломления n = 1.5. Считать, что свет на ЖК падает нормально ( o=0 ).  
        2. Исследовать зависимость пропускания и отражения света слоем ЖК в зависимости от длины волны падающего на него света. Убедиться, что величина длины волны максимума селективного отражения  max подчиняется уравнению (42). Убедится, что в этом случае свет отраженный и пропущенный слоем ХЖК является поляризованным по кругу. 

       3. Изменяя шаг спирали ХЖК и оставляя постоянными показатели преломления ЖК noи ne и его толщину, проследите как изменяется  max. Шаг спирали ХЖК при этом изменяйте в пределах от 0.3 мкм до 0.4 мкм.  
        Результаты исследований представить в графическом и табличном виде 

1.  

L (h) = е-iwhD = [I - iwhD - (wh)2D2 /2! - i(wh)3D3 +...)

L(h) = YK(h)Y-1,

y(z+d) = L(z,d)y(z),

L(z,d) = L(z+d-hm,hm)...L(z+h1+h2,h2)L(z+h1,h1),

d = h1+h2+...+hm

N2 sinj2 = N0 sinj0  
 
 

Tpp=[(l21cosj0 + l22N0) +  Rpp(-l21cosj0 + l22N0) + Rsp(l23 - l24N0cosj0)]/N2

Tps=[(l23 + l24N0cosj0) +  Rps(-l21 cosj0 + l22N0) + Rss(l23 - l24N0cosj0)]/N2

Tsp=(l31cosj0 + l32N0) + Rpp(-l31cosj0 + l32N0) + Rsp(l33 -l34N0cosj0)

Tss=(l33 + l34N0cosj0) +  Rps(-l31cosj0 + l32N0) + Rss(l33 - l34N0cosj0)