Физика и музыкальное искусство

Резонанс. В предыдущей главе мы приводили доказательство того, что звук может производить работу. Но как получается, что рояль воспроизводит тот же самый тон, который вы напевали? Причина в том, что тон вашего голоса совпадает с частотой, которая свойственна струне рояля. Это интересное явление называется резонансом. Для его иллюстрации воспользуемся двумя камертонами одинаковой частоты (рис.5).

(рис.5 Явление резонанса) (рис.6 Демонстрация  резонанса при помощи сонометра)                                   Когда камертон A начинает колебаться, он посылает в воздух чередующиеся сгущения и разрежения. Первое сгущение, достигающее камертона. В, создает небольшое давление на ножки камертона и слегка смещает их. Наступающее следом разрежение позволяет ножкам вернуться в исходное положение. Поскольку В имеет ту же самую собственную частоту, что и -4, каждое последующее сгущение и разрежение от А способствует увеличению амплитуды колебаний В. Таким образом, В вскоре начинает издавать слышимый звук. Такие колебания называются «ответными», или резонансными, колебаниями. Они возникают благодаря явлению резонанса (т. е. «ответа на звук»).                                                                                                       Резонансные колебания можно продемонстрировать также при помощи сонометра (рис. 6), на который натянуты две струны так, что частоты их одинаковы. Если возбудить щипком струну A, то рейтер па струне В подскакивает. Почему? Почему иногда во время грозы дрожат стекла в окнах?                                Вы могли заметить, что между дощечками ксилофона подвешены пустые цилиндры, и, наверное, не могли догадаться, зачем они там. Цилиндры имеют различную длину, возрастающую от высоких тонов к низким. Простой опыт позволит нам понять роль этих резонаторов.                                                                   Поднесем вибрирующий камертон к высокому стеклянному цилиндрическому сосуду (рис.7). Будем теперь понемногу наливать воду в сосуд; через некоторое время мы услышим сильный звук. Если продолжать наливать воду, то звук прекратится.

(рис.7 Резонанс в открытой  трубе)                                                                                  Повторим опыт, применив камертон более высокого тона. Теперь оказывается необходимым налить больше воды, чем прежде, для того чтобы получить резонанс. Иначе говоря, необходимо уменьшить столб воздуха над водой для того, чтобы он стал колебаться созвучно с камертоном. Как это объяснить?                  Пусть а, и Ь — крайние положения колеблющейся ножки камертона. Когда ножка переходит из положения Ь в положение а, то она посылает сгущение в цилиндр. Если мы хотим, чтобы звучание камертона усилилось, то это сгущение должно отражаться водой обратно, к ножке как раз вовремя, чтобы соединиться со сгущением, образовавшимся над ножкой при ее колебании обратно в направлении к Ъ. Так как движение ножки от Ъ к а составляет половину полного колебания, то расстояние вдоль цилиндра вниз и обратно должно составлять половину длины волны возбуждаемого зпука. Таким образом, длина воздушного столба должна составлять четверть длины волны. Диаметр цилиндра также влияет на длину необходимого столба воздуха. Для получения длины, равной четверти длины волны (I) звука, необходимо добавить две пятых диаметра (и) цилиндра к длине (Г) столба воздуха.                                                                                                         

Что такое биения и как они возникают? Выше уже указывалось что звуковые волны могут испытывать интерференцию и если они имеют одинаковую длину волны, то могут усиливать или уничтожать друг друга в зависимости от того, встречаются ли они в одинаковых или противоположных фазах. Но что получается, если два камертона различных частот звучат рядом?                                                                                             На рис. 29.8, а мы видим, что два таких камертона посылают волны различной длины. Волны камертона В короче волн камертона А. На рис. 29.8, Ь приведен график результирующей волны. Эти волны попеременно испытывают интерференционное усиление и ослабление, в результате чего. получаются попеременно области более интенсивного звука и тишины или почти тишины.

(рис.8 Попеременное усиление  и ослабление звука создает  биение)

Таким образом, кажется, что звук появляется в виде отдельных импульсов, или биений. Биения получаются в результате интерференции звуковых волн неодинаковой частоты.

Для демонстрации биений можно воспользоваться двумя камертонами одинаковой частоты. Ножка одного из камертонов должна быть слегка нагружена, в результате чего частота этого камертона окажется несколько меньшей, чем частота другого. Если заставить оба камертона звучать вместе, то будут слышны биения. В чем состоит закон биений? Повторим описанный выше эксперимент, но увеличим нагрузку уже нагруженного камертона. Теперь биения окажутся более частыми, чем ранее. Очевидно, чем больше разность частот между камертонами, тем быстрее происходят биения. Число биений, слышимых за секунду (короче, частота биений), равно разности между частотами колебаний звучащих тел. Это и есть закон биений ).

Что называется гармонией? Если продолжать описанный эксперимент достаточно далеко, то можно получить столь быстрые биения, что они станут неразличимыми для уха. Можно услышать раздельно и сосчитать не более 4—6 биений в секунду. Когда частота биений достигает 16—20 в секунду, то они уже перестают быть слышимыми как отдельные импульсы. Ухо воспринимает их как новый тон, и если этот топ слышен наряду с двумя исходными, то он становится очень неприятным и раздражающим. Это явление низы пустея диссонансом.

Однако если число биений и секунду увеличить настолько, что отношения частот звучащих тел приблизятся к отношению частот у мажорной гамме, то получающийся в результате звук будет приятным, или гармоничным. Это явление называется консонансом, или гармонией. Можно представить себе те осложнения, которые получились бы, если бы мы попытались вообразить себе биения и комбинации биений, возникающие в результате всех возможных музыкальных аккордов. Пифагор в VI веке до нашей эры сделал первую попытку классифицировать гармоничные сочетания и показать, почему они оказываются консонантными или диссонантпыми. Однако консонанс для одного лица может оказаться диссонансом для другого.

Каковы законы колебании струн или проволок? Некоторые из вас знакомы с теми факторами, которые определяют частоты колебаний струн, применяемых в струпных инструментах. Мы знаем, что скрипач нажимает пальцем па струпу далеко от верхнего порожка для того, чтобы сыграть высокую ноту; мы знаем, что увеличение натяжения струны повышает ее тон и что длинные толстые струны издают низкие топы. Эти наблюдения показывают, что частота струны зависит от се длины, натяжения и диаметра. Она также зависит от материала струны, т. е. от ее плотности или массы на единицу длины. Эксперименты показывают, что

частота колебаний струн или проволок: а) обратно пропорциональна их длине, б) прямо пропорциональна квадратному корню из натяжения струны, в) обратно пропорциональна диаметру н г) обратно пропорциональна квадратному корню из плотности.

Каким образом столбы воздуха возбуждают тоны? Если представится возможность, посмотрите внутрь большого органа, вы увидите там много интересного и поучительного. Трубы органа различны по длине — от 5 см до 6 м и более. Некоторые трубы сделаны из дерева, а другие из металла; некоторые имеют квадратное сечение, другие — круглое. Колебания столбов воздуха для возбуждения тонов происходят и в других музыкальных инструментах, но изучение органных труб поможет нам понять принципы возбуждения тонов всех духовых инструментов.

На рис. 29.10, а показано поперечное сечение открытой трубы, на рис. 29.10, с — закрытой трубы. В каждом случае столб воздуха приводится в колебание путем вдувания воздуха сквозь щель 8 через ребро тонкого деревянного или металлического язычка L.

Это заставляет воздух колебаться туда и обратно через язычок и вызывать сгущения и разрежения, быстро распространяющиеся в'трубе туда и обратно — так же, как это происходило в нашем опыте, демонстрировавшем резонанс.

В открытой трубе воздух может свободно колебаться на противоположном конце а. Области максимальных колебаний называются пучностями; они соответствуют гребням или впадинам поперечных волн (рис. 29.10, Ь). Сгущения отражаются от открытых концов трубы в виде разрежении, а разрежения отражаются в виде сгущений. Отраженные волны встречаются в середине трубы так, что образуется некоторая точка п, по обе стороны от которой колебательные движения воздуха имеют противоположное направление. Таким образом, в этой точке, называемой узлом, нет никаких колебаний.

Изучение рис. 29.10, Ъ показывает, что длина волны равна четырехкратному расстоянию от пучности до узла. Сплошной линией на рисунке показана часть волны (апа), образующаяся в открытой трубе. Таким образом, длина открытой трубы равна половине длины волны возбуждаемого звука.

(рис.10 a) открытая труба, b) часть волны  в открытой трубе, c) закрытая труба, d) часть волны в закрытой трубе)                                                                                                                           В закрытой трубе воздух не может свободно колебаться у закрытого конца. Поэтому здесь образуется узел, а у открытого конца получается пучность. На рис. 10, с и а показано, что длина, закрытой трубы равна четверти длины волны возбуждаемого звука. Поскольку частота обратно пропорциональна длине волны, высота тона закрытой трубы на октаву ниже тона открытой трубы той же длины. Заметим, что длина волны закрытой трубы (рис. 10, с1) вдвое больше длины волны открытой трубы. Применяя трубы различной длины, мы находим, что, чем короче труба, тем выше частота, и обратно.                                                                    Что такое обертоны? При рассмотрении струн и столбов воздуха мы считали, что они колеблются как целое. Однако на самом деле их колебания значительно сложнее, чем это кажется на первый взгляд. Легко показать, что они могут колебаться частями или отрезками.                                                               Воспользуемся сонометром с двумя струнами одинаковых размеров, из одинакового материала, одинаковой длины и натянутых до одинаковой частоты (рис. 11, а). Поместим подставку под середину струны Л, так что каждая половина струны будет издавать тон на октаву выше, чем тон струны В. Поместим теперь три бумажных рейтера на струну В в положения а, Ь, с и возбудим струну А щипком в середине одной из половин. Тот факт, что при этом соскочат рейтеры а и с, а рейтер Ь останется неподвижным, показывает, что две половины струны Вколеблются таким же образом, как две половины струны Л. Поэтому каждый участок струны В звучит в том же тоне, что и возбужденный щипком участок струны Л.                                                    На рис. 29Л1, Ь показано, как можно привести струну В в колебание с тремя пучностями, расположив подставку на расстоянии в одну треть расстояния между концами струны Л. При этом рейтеры а, с и е соскочат, а рейтеры Ь и а останутся неподвижными. Колебаний нет в узлах; колебания происходят с максимальной амплитудой в пучностях. Какова будет в последнем случае частота колебания каждого участка струны В по сравнению с частотой колебаний струны в целом?                                                                   При колебаниях в целом струна создает самый низкий возможный для нее тон, называемый основным. Тоны, получающиеся при колебании струны с образованием узлов, называютсяобертонами.

(рис. 11 сонометры) (рис. 12 колебательные  движения струн при воспроизведение  основного тона)         Можно показать, что частоты обертонов струны являются целыми кратными ее основной частоты. Обертоны называются также гармониками.                                                                                                                                  На рис. 29.12 показано, как колеблется струна, когда она издает основной тон и первый, второй, третий, четвертый и пятый обертоны. Узловые точки получаются в тех местах, где отраженные волны встречаются с прямыми в противоположных фазах колебаний и, таким образом, уничтожают друг друга. Получающиеся в результате волны называются стоячими Волны в органных трубах — стоячие волны.                          

Колебания столба воздуха с образованием обертонов можно продемонстрировать при помощи прибора, подобного изображенному на рис. 13.

(рис. 13 Столб воздуха, совершающий  колебания с обертонами)

Поместим на одном конце стеклянной трубки свисток и рассыплем равномерно внутри трубки порошок ликоподия (споры растения). При вдувании воздуха в свисток порошок разбивается на кучки, как это показано на рисунке. Если дуть сильнее или слабее, то можно изменять число и расположение кучек, а также и высоту слышимого тона. Вершины кучек соответствуют узлам, а промежутки между кучками — пучностям. Обратите внимание, что на концах, где воздух может свободно колебаться, образуются пучности.

На рис. 14 показано, как получаются в открытой трубе основной топ и первые три обертона. Для основного тона длина  трубы L равна половине длины волны l получающегося звука, для первого обертона L=1l, для второго обертона L=1,5l, для третьего L=2l и. т. д. Каковы частоты обертонов, если основная частота составляет 100 колебаний в секунду? Каковы отношения обертонов к основному топу в открытых трубах и у струн?

                                                                                                                                                                   Рис. 29.14. Обертоны и открытых трубах. Каковы частоты этих обертонов, если основная частота 100 кол/сек?

Рис. 29.15. Обертоны в закрытых трубах. Каковы частоты первых трех обертонов?

Для закрытых труб дело обстоит иначе.  На закрытом конце образуется узел, на открытом — пучность. Таким образом, возможны только такие обертоны, частоты которых представляют нечетные кратные основном частоты. Можете ли вы объяснить это?

Чем определяется качество звука? Из нашего рассуждения Рис. следует, что струпа или столб воздуха могут колебаться как целое и в то же время как бы отдельными участками (рис.16). Таким образом, издаваемые ими звуки могут представлять сочетания основных тонов и обертонов. До сих пор мы говорили, что звуки могут различаться в двух отношениях: по интенсивности, или громкости, и по частоте, или высоте тона.