Выборочное наблюдение

                                                       w=                                                

Например, если их 200 деталей выборки (n=200) 150 деталей оказались стандартными (m=150), то выборочная доля w= 150/200=0,75

            _{Механическая. Отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной, разбитой по нейтральному признаку на равные интервалы (группы), производится таким образом, что из каждой такой группы в выборку отбирается лишь одна единица. Что бы избежать систематической ошибки, отбираться должна единица, которая находится в середине каждой группы.}

  _{При организации механического отбора единицы совокупности предварительно располагают (обычно в списке) в определенном порядке (например, по алфавиту, местоположению, в порядке возрастания или убывания какого-либо показателя, не связанного с изучаемым свойством и так далее), после чего отбирают заданное число единиц  механически, через определенный интервал. При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратному значению доли выборки. Так при 2%-ной выборке отбирается и проверяется каждая 50-я единица (1:0,02), при 5%-ной выборке – каждая 20-я единица (1:0,05).}

           

          _{Типическая. Для отбора из неоднородной совокупности применяется  типическая выборка, которая используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько однородных, однотипных групп по признакам, влияющим на изучаемые показатели.} 

           _{При обследовании предприятий такими группами могут быть, например, отрасль и подотрасль, формы собственности. Затем из каждой типической группы собственно-случайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.}

  _{Обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей (например, при выборочном обследовании семейных бюджетов рабочих и служащих в отдельных отраслях экономики, производительности труда рабочих предприятия, представленных отдельными группами по квалификации).}

_{Типическая выборка  дает более точные результаты по сравнению  с другими способами  отбора единиц в выборочную совокупность. Типизация  генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представительство  в ней каждой типологической группы, что позволяет  исключить влияние  межгрупповой дисперсии  на среднюю ошибку выборки.}

_{Серийная  выборка предполагает случайный отбор из генеральной совокупности не отдельных единиц, а их равновеликих групп (гнезд, серий) с тем, чтобы в таких группах подвергать наблюдению все без исключения единицы.}

             _{Применение серийной выборки обусловлено тем, что многие товары для их транспортировки, хранения  и продажи упаковываются в пачки, ящики и тому подобное. Поэтому при контроле качества упакованного товара рациональнее проверить несколько упаковок (серий), чем из всех упаковок отбирать необходимое количество товара.}

_{Конечной целью  выборочного наблюдения является характеристика генеральной совокупности на основе выборочных результатов.}

_{В зависимости  от цели исследования применяются различные  способы получения  характеристик генеральной  совокупности по показателям  выборки.}

_{Основными методами распространения  выборочного наблюдения на генеральную совокупность являются прямой пересчет и способ коэффициентов.}

_{Прямой  пересчет есть произведение среднего значения признака на объем генеральной совокупности. Однако большое число факторов не позволяет в полной мере использовать точечную оценку прямого пересчета при распространении результатов выборки на генеральную совокупность. На практике чаще пользуются интервальной оценкой, которая дает возможность учитывать размер предельной ошибки выборки, которая рассчитана для средней или для доли признака.}

_{Способ  коэффициентов используется в тех случаях, когда выборочное наблюдение проводится для проверки и уточнения данных сплошного наблюдения. При этом рекомендуется использовать формулу:}

                                                                                                       

_{где Y1 - численность  совокупности с поправкой  на недоучет; Y0 - численность  совокупности без  этой поправки; y0 - численность  совокупности в контрольных  точках по первоначальным данным; y1 - численность совокупности в тех же точках по данным контрольных мероприятий.}

 

_{1.3 Ошибки при выборочном наблюдении.}

Для характеристики надежности выборочных показателей  различают среднюю  и предельную ошибки выборки.

В статистике приняты следующие условные обозначения:

N - объем генеральной совокупности;

n - объем выборочной совокупности;

- средняя в генеральной совокупности;

- средняя в выборочной совокупности;

р - доля единиц в генеральной совокупности;

w - доля единиц в выборочной  совокупности;

- генеральная дисперсия;

S² - выборочная дисперсия;

- среднее квадратическое отклонение  признака в генеральной совокупности;

S - среднее  квадратическое отклонение

При соблюдении принципа случайного отбора средняя ошибка выборки определяется, прежде всего, объемом выборки: чем  больше численность при прочих равных условиях, тем меньше величина средней  ошибки выборки. Охватывая выборочным обследованием все большее количество единиц генеральной совокупности, все  более точно характеризуем все  генеральную совокупность.

Средняя ошибка выборки также зависит  от степени варьирования изучаемого признака. Степень варьирования характеризуется  дисперсией δ или w(1-w) – для альтернативного признака. Чем меньше вариация признака, тем меньше средняя ошибка выборки, и наоборот. При нулевой дисперсии (признак не варьирует) средняя ошибка выборки равна нулю, так как любая единица генеральной совокупности будет совершенно точно характеризовать всю совокупность по этому признаку.

Зависимость средней ошибки выборки  от ее объема и степени варьирования признаки отражена в формулах, с  помощью которых можно рассчитать среднюю ошибку выборки в условиях выборочного наблюдения, когда генеральные  характеристики ( ) неизвестны.

При случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по следующим формулам

• Для средней количественного признака

μ

• Для доли (альтернативного признака)

Поскольку практически дисперсия  признака в генеральной совокупности точно неизвестна, на  практике  пользуются значением дисперсии S , рассчитанным для выборочной совокупности на основании закона больших чисел, согласно которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

 

 

Таким образом, расчетные формулы  средней ошибки выборки при случайном  повторном отборе будут следующие:

• Для средней количественного признака:

 

 

• Для доли:                                                                                       

 

 

Однако дисперсия выборочной совокупности не равна дисперсии генеральной  совокупности, и, следовательно, средние ошибки выборки , рассчитанные по формулам будут приближенными. Но в теории вероятностей доказано, что генеральная дисперсия выражается через выборную следующим соотношением:

 

Так как n/(n-1) при достаточно больших n  - величина, близкая к единице, то можно принять, что , а, следовательно, в практических расчетах средних ошибок выборки можно использовать формулы, указанные для расчёта средней количественного признака и доли. И только в случаях малой выборки (когда объем выборки не превышает 30) необходимо учитывать коэффициент n/(n-1) и исчислять среднюю ошибку малой выборки по формуле:

При случайном бесповторном отборе  в приведенные выше формулы расчета  средних ошибок выборки необходимо  подкоренное выражение умножить на , поскольку в процессе бесповторной выборки сокращается численность единиц генеральной совокупности. Следовательно, для бесповторной выборки расчетные формулы средней ошибки выборки примут следующий вид:

• Для средней количественного признака:

 

• Для доли (альтернативного признака):

 

Так как n всегда меньше N, то дополнительный множитель всегда будет меньше единицы.  Отсюда следует, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном . В то же время при сравнительно небольшом проценте выборки этот множитель близок к единице (например, при 5%-ной выборке он равен 0,95; при 2%-ной – 0,98 и так далее). Поэтому иногда в практике пользуются для определения средней ошибки выборки формулами без указанного множителя, хотя выборку и организуют как бесповторную.

 

Это имеет место в тех случаях, когда число единиц генеральной  совокупности N неизвестно или безгранично или когда n очень мало по сравнению с N и, по существу, введение дополнительно множителя, близкого по значению к единицы, практически не повлияет  на значение средней ошибки выборки.

Предельную ошибку выборки для  средней ( ) при повторном отборе можно рассчитать по формуле:

,

где t – нормированное отклонение – «коэффициент доверия», зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки;

        - средняя ошибка выборки.

Аналогичным образом может быть записана формула предельной ошибки выборки для доли  при повторном  отборе:

Предельную ошибку выборки для  средней ( ) при бесповторном отборе рассчитывают по формуле:

 

 

Предельная ошибка для доли при  бесповторном отборе  рассчитывается по формуле:

         Формула предельной ошибки выборки вытекает из основных положений теории выборочного метода, сформулированных в ряде теорем теории вероятностей, отражающих закон больших чисел. На основании теоремы П.Л. Чебышева (с уточнениями А.М. Ляпунова) с вероятностью сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной генеральной дисперсии выборочные обобщающие показатели (средняя, доля) будут сколь угодно мало отличаться от соответствующих генеральных показателей.

Величина предельной ошибки выборки  может быть установлена с определенной вероятностью. Коэффициент t  определяется в зависимости от того, с какой доверительной вероятностью P(t)  надо гарантировать результаты выборочного наблюдения. На практике используют готовые таблицы:

Коэффициент доверия t	Вероятность P
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0	0,000 0,383 0,683 0,866 0,954 0,997

 

          При достаточно большой совокупности механический отбор по точности результата близок к собственно-случайному. Поэтому для определения средней ошибки механической выборки используют формулы собственно-случайной бесповторной выборки.

При определении средней ошибки типической выборки в качестве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых  дисперсий.

         Среднюю ошибку выборки находят по формулам:

•       Для средней количественного признака

(повторный  отбор)                                                        

 

          (бесповторный  отбор)                                       

 

•        Для  доли (альтернативного признака):

 

(повторный  отбор)                                             

 

(бесповторный  отбор)      ,                      

 

 

где - средняя из внутригрупповых дисперсий по выборочной совокупности;

- средняя из внутригрупповых  дисперсий доли (альтернативного  признака) по выборочной совокупности.

 

Для типической выборки величина стандартной ошибки зависит от точности определения групповых средних. Так, в формуле предельной ошибки типической выборки учитывается средняя из групповых дисперсий при повторном отборе, то есть:                                                                                                                                      

 

При типическом бесповторном  отборе:

 

, 
где - средняя из межгрупповых дисперсий по каждой группе

При пропорциональном отборе из групп  генеральной совокупности средняя  из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:

,