Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

Индексами сезонности являются процентные отношения фактических (эмпирических) внутригрупповых уровней к теоретическим (расчетным) уровням, выступающим в качестве базы сравнения.

Для того чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года, индексы сезонности вычисляют по данным за несколько лет (не менее трех), распределенным по месяцам.

Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания.

Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за три года ( ), затем вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда После чего определяется показатель сезонной волны — индекс сезонности I_s как процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, %:

 

                                        I_s = 100%.            

где — средний уровень для каждого месяца (минимум за три года);

     ~ среднемесячный уровень для всего ряда.

Для наглядного представления  сезонной волны исчисленные индексы сезонности изображают в виде графика.

 

Когда уровень проявляет  тенденцию к росту или снижению, то отклонения от постоянного среднего уровня могут исказить сезонные колебания. В таких случаях фактические данные сопоставляются с выравненными, т. е. полученными аналитическим выравниванием.

Формулу для расчета индекса сезонности, %, в этом случае можно записать так:

 

                               

 

где u - фактические и расчетные (выравненные) уровни одноимённых внутригодовых периодов (соответственно); п — число лет.

Экстраполяция в рядах динамики и прогнозирование

Необходимым условием регулирования  рыночных отношений является составление надежных прогнозов развития социально-экономических явлений.

Выявление и характеристика трендов и моделей взаимосвязи  создают базу для прогнозирования, т. е. для определения ориентировочных размеров явлений в будущем. Для этого используют метод экстраполяции.

Экстраполяция это нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т. е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом (перспективная экстраполяция). Поскольку в действительности тенденция развития не остается неизменной, то данные, получаемые путем экстраполяции ряда, следует рассматривать как вероятностные оценки.

Экстраполяцию рядов  динамики осуществляют различными способами, например, экстраполируют ряды динамики выравниванием по аналитическим формулам. Зная уравнение для теоретических уровней и подставляя в него значения t за пределами исследованного ряда, рассчитывают для t вероятностные .

На практике результат  экстраполяции прогнозируемых явлений обычно получают не точечными (дискретными), а интервальными оценками.

Для определения границ интервалов используют формулу:

 

                                        

 

t_α— коэффициент доверия по распределению Стьюдента;

 

- остаточное среднее квадратическое отклонение от тренда, скорректированное по числу степеней свободы (п - т);

п — число уровней ряда динамики;

т — число параметров адекватной модели тренда (для уравнения

прямой т = 2). Вероятностные границы интервала прогнозируемого явления:

           

 

Нужно иметь в виду, что экстраполяция в рядах динамики носит не только приближенный, но и условный характер.

 

 

Число степеней свободы — число элементов статистической совокупности, вариация которых свободна (неограничена).

Стьюдент — псевдоним английского математика и статистика Уильяма С. Госсета, разработавшего метод статистических оценок и проверки гипотез t-распределения, не являющегося нормальным.

 

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ СВЯЗНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ

Многомерные временные  ряды, показывающие зависимость результативного  признака от одного или нескольких факторных, называют связными рядами динамики. Применение методов наименьших квадратов для обработки рядов динамики не требует предположений о законах распределения исходных данных. Но при использовании метода наименьших квадратов для обработки связных рядов надо учитывать наличие автокорреляции (авторегрессии), которая не учитывалась при обработке одномерных рядов динамики, поскольку ее наличие способствовало более плотному и четкому выявлению тенденции развития рассматриваемого социально-экономического явления во времени.

В значительной части  рядов динамики экономических процессов между уровнями существует взаимосвязь. Ее можно представить в виде корреляционной зависимости между рядами у₁, у₂, у_3,…у_n и этим же рядом сдвинутым относительно первоначального положения на h моментов времени y _{1+ h}, y _2+h, y_3+h …y _n+h. Временное смещение L называется сдвигом, а само явление взаимосвязи - автокорреляцией.

Автокорреляционная зависимость  существенна между последующими и предшествующими уровнями ряда динамики.

При анализе нескольких взаимосвязанных рядов динамики важно установить наличие и степень их автокорреляции(поскольку классические методы математической статистики применимы лишь в случае независимости отдельных членов ряда между собой).

Различаются два вида автокорреляции:

1) автокорреляция в наблюдениях за одной или более переменными;

2) автокорреляция ошибок или автокорреляция в отклонениях от тренда.

Наличие последней приводит к искажению величин средних  квадратических ошибок коэффициентов регрессии, что затрудняет построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, а также проверку их значимости.

Автокорреляцию измеряют при помощи нециклического коэффициента автокорреляции, который рассчитывается не только между соседними уровнями, т. е. сдвинутыми на один период, но и между сдвинутыми на любое число единиц времени (L). Этот сдвиг, именуемый временным лагом, определяет и порядок коэффициентов автокорреляции: первого порядка (при L = 1), второго порядка (при L = 2) и т.д.

Формулу коэффициента автокорреляции можно записать следующим образом:

       

где , - среднее квадратическое отклонение рядов у_t и у_t+1 соответственно.

Если значение последнего уровня (у_n) ряда мало отличается от первого (у₁), то сдвинутый ряд не укорачивается, его можно условно дополнить, принимая у_n = у₁. Тогда у_t = у_t+1 и = , поскольку рассчитываются они для одного и того же ряда. При такой замене, т. е. если _{t t+1} и ,формула коэффициента автокорреляции примет вид:

                       

Если ряд динамики состоит из уровней, среднее значение вторых равно нулю ( = 0), то выражение yпрощается:

 

             .

Для суждения о наличии  или отсутствии автокорреляции в  исследуемом ряду фактическое значение коэффициентов автокорреляции сопоставляется с табличным (критическим) для 5%-ного или 1%-ного уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда).

(Одна из специальных  таблиц, в которой определена  критическая область проверяемой гипотезы (об отсутствии автокорреляции), составленная Р. Андерсеном в 1942 г., приведена в приложении 12.)

Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Когда же фактическое значение больше табличного, можно сделать вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.

Для уменьшения автокорреляции применяют различные методы. Bсе они преследуют цель исключения основной тенденции (тренда) из первоначальных данных.

Самым распространенным примером выявления наличия автокорреляции в отклонениях от тренда или от регрессионной модели является использование критерия Дарбина - Уотсона, который рассчитывается по формуле

где е_t ⁼ у_t - .

Теоретическое основание  применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке.

При условии, что отклонения уровней от тенденции (так называемые остатки) случайны, значения D, лежащие в интервале 0 - 4, всегда будут находиться ближе к 2. Если автокорреляция положительная, то D < 2; отрицательная - 2< = D < = 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Их значения для трех уровней значимости (α = 0,01, α= 0,025 и α = 0,05) с учетом числа наблюдений даны в специальных таблицах.

Существует ряд способов исключения или уменьшения автокорреляции (авторегрессии) в рядах динамики:

а) метод включения времени в качестве дополнительного фактора;

          б) метод последовательных разностей;

в) метод авторегрессионных  преобразований.

Рассмотрим эти способы  исключения автокорреляции (авторегрессии).

В соответствии с теоремой, доказанной Фришем и Boy, время вводится в систему связных динамических рядов в явной форме в качестве дополнительного фактора. Уровни исходных динамических рядов могут быть представлены показателями в любой форме, в том числе логарифмической, а время всегда вводится в линейной форме. Считается, что введение фактора времени исключает основную тенденцию развития всех явлений, представленных исследуемыми рядами динамики. Доказано, что введение времени аналогично использованию отклонения фактических данных от трендов.

Применение метода наименьших квадратов к обработке многомерных временных рядов не отличается от методологии применения его к обычным статистическим рядам. В рассматриваемом случае минимизируется следующее выражение:

S =

min.

При исключении автокорреляции методом последовательных разностей

 обработке методом  наименьших квадратов подвергаются не сами уровни исходных рядов у_t , y_t+1, ..., У_t+n, и х_t, х_t+1, ..., x_t+n, а последовательные разности между ними:

Δy₁=y_t-y_t-1;                       Δx_t=x_t-x_t-1;

Δy₂=y_t-1-y_t-2; Δx₂=x_t-1-x_t-2;

…………… …………….

…………… …………….

Δy_k=y_t-k-y_t-k-1; Δx_k=x_t-k-x_t-k-1.

При использовании этого  метода исходят из того , что все  разности между уровнями динамических рядов, начиная с первой, будут  содержать только случайную компоненту. Причем первые разности содержат случайную компоненту в линейной форме, вторые - описываемую параболой второго порядка, третьи - показательной функцией.

Метод авторегрессионных  преобразований заключается в том, что определяют уравнение связи  между отклонениями от тенденций двух связных рядов динамики:

    

  

…………. ………….

………… ………….

                                                                     

В этом случае также получают уравнения регрессии, не искаженные влиянием автокорреляции.

Введение времени в  качестве дополнительной переменной является наиболее действенным способом обработки связных рядов динамики. При линейной связи между исследуемыми рядами этот способ более точен, чем использование последовательных разностей или отклонений от трендов.

При обработке методом  наименьших квадратов последовательных разностей или отклонений от трендов обрабатываются чисто случайные величины.

КОРРЕЛЯЦИЯ  РЯДОВ ДИНАМИКИ

При изучении развития явления  во времени возникает необходимость  оценить степень взаимосвязи  в изменениях уровней двух или более рядов динамики различного содержания, но связанных между собой. Эта задача решается методами коррелирования:

1. уровней ряда динамики;

2) отклонений фактических уровней от тренда;

3) последовательных разностей, т. е. путем исчисления парного коэффициента корреляции.

Коррелирование  уровней ряда динамики правильно показывает тесноту связи между рядами динамики лишь в том случае, если в каждом из них отсутствует автокорреляция.

В этом случае величину коэффициента корреляции находят по формуле

где х_i - уровни факторного ряда динамики;

               у_i - уровни результативного ряда динамики.

Следовательно, прежде чем  коррелировать ряды динамики (по уровням), необходимо проверить каждый из рядов  на наличие или отсутствие в них  автокорреляции (при помощи коэффициента автокорреляции). В случае наличия автокорреляции между уровнями ряда последняя должна быть устранена.