Шпаргалка по "Теории вероятности и математической статистике"

 

М[X] = (a+b)/2; D[X] = (b-a)²/12; M[X²] = (b²+ba+a²)/3.

 

Игла Бюффона. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии h. На плоскость наудачу бросается игла длиной l (l < h). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-либо прямую. Решение: Рассмотрим середину иглы. Расстояние от нее до ближайшей прямой обозначим за А. А распределена равномерно на [0;h/2]. Угол между иглой и прямой обозначим за a. a распределена равномерно на [0;p/2]. Тогда условие пересечения иглой прямой запишется в виде А £ (l/2)×sina. Площадь под графиком равна l/2. Искомая вероятность равна (по классической формуле) отношению площади под графиком к площади прямоугольника [0;p/2]x[0;h/2]. P=2l/ph.

 

24. Экспоненциальное распределение. Пример: распределение времени безотказной работы сложной технической системы.

СВ Х имеет экспоненциальное (показательное) распределение с  параметром l > 0, т. е. X ~ E(l), если плотность вероятности имеет вид f(x) =  lexp(-lx) при x > 0 и f(x) = 0 при x £ 0. Функция распределения СВ  X ~ E(l) F(x) = 0 при x £ 0 и F(x) = 1 – exp[-lx] при x > 0.

M[X] = 1/l, D[X] = 1/l², M[X²] = 2/l².

 

Пример: Время X безотказной работы станка имеет экспоненциальное распределение. Вероятность того, что станок откажет за 5 часов работы равна 0,39347. Найти М[X], D[X], M[X²]. Решение: Найдем параметр распределения l. Для этого решим уравнение:

1 – exp[-5l] = 0,39347. exp[-5l] = 0,60653. -5l = ln(0,60653) = -0,5.

l = 0,1. Теперь найдем необходимые моментные характеристики.

M[X] = 1/l = 10,

D[X] = 1/l² = 100,

M[X²] = (M[X])² + D[X] = 200.

 

 

25. Стандартное нормальное (гауссовское) распределение: теорема Муавра-Лапласа, функция Лапласа и ее свойства, «закон трех сигм» для стандартной нормальной величины.

Пусть X ~ Bi(n,p). Тогда при n ® ¥ Р((Х_n – np)/(npq)^½ £ с) ® Ф(c), где Ф(с) – функция Лапласа.

В справочниках часто встречается  также функция Лапласа Ф₀(x).

Ф(x) = ½ + Ф₀(x). Рассмотрим некоторые свойства функции Ф₀(x):

- Ф₀(-x) = -Ф₀(x).

- Ф₀(x) принимает значения от -½ до ½. Функция Ф(x) обладает всеми свойствами функции распределения, так как является функцией распределения стандартной нормальной случайной величины. Производная функции Ф((х-m)/s) является функцией плотности вероятности нормальной СВ.

. Для стандартной нормальной  СВ m = 0, s = 1.

Параметр m равен МО нормальной СВ, а параметр s есть квадратный корень из значения дисперсии нормальной СВ.

Нормально распределенная СВ с большей вероятностью принимает  значения, близкие  к своему МО, что  описывает «закон трех сигм». Неравенство  Чебышева:

 

26. Нормальное (гауссовское) распределение. Функция Лапласа (интеграл вероятностей) и ее свойства. Плотность и функция распределения нормального распределения.

СВ X имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами m и  s² > 0, т.е. X ~ N(m, s²), если

 

Функция Ф(x) называется функцией Лапласа.

В справочниках часто встречается  также функция Лапласа Ф₀(x).

 

Ф(x) = ½ + Ф₀(x). Рассмотрим некоторые свойства функции Ф₀(x):

- Ф₀(-x) = -Ф₀(x).

- Ф₀(x) принимает значения от -½ до ½. Функция Ф(x) обладает всеми свойствами функции распределения.

Параметр m равен МО нормальной СВ, а параметр s есть квадратный корень из значения дисперсии нормальной СВ.

 

 

27. Случайные векторы. Закон распределения случайного вектора. Функция совместного распределения двух случайных величин. Таблица распределения. Плотность распределения. Связь функции распределения случайного вектора с его плотностью.

Двумерным случайным вектором (или двумерной СВ) Z = (по определению) col(X,Y) называется вектор, компонентами которого являются СВ X = X(w) и Y = Y(w), определенные на одном и том же пространстве W элементарных событий w. Функция F(x,y) = (по определению) Р({w: Х(w) £ х}{w: Y(w) £ у}) = (по определению) P{X £ x, Y £ y}, называется функцией распределения двумерной СВ Z = col(x,y). Двумерная СВ Z = col(x,y) называется дискретной, если СВ Х и Y дискретны. Простейшим способом задания закона распределения дискретной двумерной СВ является таблица распределения. Функция распределения имеет вид:

 

Где l – функция Хевисайда.

Неотрицательная кусочно-непрерывная  функция f(x,y) называется плотностью распределения (плотностью вероятности) двумерной  СВ Z = col(X,Y), если:

 

где используется символическая  запись для двойного интеграла по области D = (по определению) {t £ x, t £ y}. Такая двумерная СВ называется непрерывной.

 

 

 

28. Определение частных законов распределения по совместному (в общем, дискретном и непрерывном случаях). Пример для дискретного случая.

Рассмотрим общий случай:

Пусть F(x,y) – функция распределения  случайного вектора Z = col(X,Y). В таком  случае F_X=F(x,+¥); F_Y=F(+¥,y). В дискретном случае задача упрощается:

 

Решение находится по заданной таблице распределения. В непрерывном  случае функция плотности распределения  вероятности для СВ, составляющих вектор, находится следующим образом:

 

Пример: Предприятие имеет две поточные линии по сборке некоторой продукции. Технологические процессы на линиях связаны между собой. Пусть Х – количество единиц продукции, собранной за день первой линией, а Y – второй. Совместное распределение этих величин задано таблицей. Найти частные распределения СВ X и Y. Решение:

Y\X	0	1
0	1/8	0
1	1/4	1/8
2	1/8	3/8

Найдем частные законы распределения. Для этого просуммируем соответствующие значения по столбцам или строкам. Получим:

Для Х:

X	0	1
0	1/2	1/2

Для Y:

Y	0	1	2
0	1/8	3/8	1/2

 

 

29. Условия независимости случайных величин (в общем, дискретном и непрерывном случаях). Пример: независимость компонент случайного вектора, равномерно распределенного на прямоугольнике. 

СВ X и Y называются независимыми, если F(x,y) = F_X(x)F_Y(y). Пусть Z – случайный двумерный дискретный вектор. Дискретные СВ X и Y, составляющие вектор Z, независимы тогда и только тогда, когда для всех i=0,n; j=0,m P{X = x_i, Y = y_i} = P{X = x_i}P{Y = y_i}. Для независимости непрерывных СВ Х и Y достаточно, чтобы выполнялось равенство f(x,y) = f_X(x)f_Y(y).

 

Пример: Случайный вектор Z распределен равномерно на прямоугольнике [1,1]x[2,3] и имеет функцию распределения  ½(xy-x-y+1) на площади прямоугольника. Независимы ли его компоненты? Решение: Вектор по условию составлен из двух равномерно распределенных случайных  величин X и Y. X ~ R(1,2); Y ~ R(1,3). f_X(x) = 1/(2-1) = 1 при X Î [1,2]. f_Y(y) = ½ при Y Î [1,3]. Если компоненты X и Y независимы, то f(x,y) = f_X(x)f_Y(y). Получаем следующее:

 

 

 

 

 

Теперь найдем функцию  распределения, проинтегрировав f(x,y) по области прямоугольника.

 

 

 

 

 

 

 

 

При Х, Y Î [1,1]x[2,3]. При X > 2, Y > 3 F(x,y) = 1. При X < 1, Y < 1 F(x,y) = 0. Полученная функция совпадает с заданной в условии. Компоненты независимы.

 

30. Моментные характеристики пары случайных величин: смешанный второй начальный момент, ковариация, коэффициент корреляции, ковариационная матрица. Свойства ковариации: вычисление ковариации через смешанный второй начальный момент, симметричность, линейность.

Смешанный второй начальный  момент есть математическое ожидание произведения компонент вектора, т.е. n_XY = M[XY]. Если произвести преобразование по формуле для зависимых СВ, то M[XY] = (по определению) k_XY + M[X]M[Y], где k_XY – ковариация. Ковариацией (корреляционным моментом) k_XY СВ X и Y называется второй центральный смешанный момент. k_XY = (по определению) M[(X-M[X])(Y-M[Y])]. Ковариация непрерывных СВ X и Y равна:

 

 

 

 

 

 

 

Ковариация нормированных  СВ называется коэффициентом корреляции. r_XY=k_XY/s_Xs_Y.

Ковариационная матрица:

 

Свойства ковариации:

• cov(Ax,By)=ABcov(x,y).

cov(x,y) = cov(y,x).

 

31. Формула дисперсии суммы (разности) двух величин. Неравенство Коши-Шварца для ковариации.

Пусть MX=MY=0. M[X±Y] = 0.

Неравенство Коши-Шварца:

 

 

 

32. Некоррелированность и линейная зависимость двух случайных величин и их связь со свойствами ковариации и коэффициента корреляции.

СВ X и Y называются некоррелированными, если cov(X,Y)=0. Из независимости СВ следует  их некоррелированность, однако обратное утверждение в общем случае ложно. Как пример можно разобрать функциональную зависимость Y = X², где X ~ R(-a,a). Тогда ковариация между X и Y равна:

 

 

Величины не коррелированны, но связаны функциональной зависимостью. Коэффициент корреляции:

Заметим, что |r_XY| £ 1 (следует из неравенства Коши-Шварца).

Если |r_XY| = 1, то случайные величины X, Y линейно зависимы, т.е.

$ с₁, с₂ Î R, с₁²+с₂² > 0: с₁X + с₂Y = 0.

Линейная зависимость  случайных величин X и Y или, что то же самое, их коллинеарность являются частным случаем их функциональной зависимости.