Автор работы: Пользователь скрыл имя, 11 Декабря 2013 в 16:54, шпаргалка
1. Понятие случайности, изучаемое теорией вероятностей. Частотное определение вероятности.
2. Основные понятия теории вероятностей на основе аксиоматического подхода: пространство элементарных исходов, алгебра случайных событий, вероятность и аксиомы, которым она подчиняется.
3. Простейшие свойства вероятности: монотонность, формула сложения, вероятность разности событий.
4. Классическая схема. Вычисление вероятностей исходов в трех комбинаторных моделях.
32. Некоррелированность и линейная зависимость двух случайных величин и их связь со свойствами ковариации и коэффициента корреляции.
Даная формула вытекает из свойств условной вероятности. Рассмотрим пример: После осмотра больного врач считает, что равновозможно одно из двух заболеваний С или D. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании C в 30% случаев, а при заболевании D – 20% случаев. Анализ дал положительную реакцию. Какое заболевание становится более вероятным? Решение: Событие А заключается в том, что анализ дал положительную реакцию. Гипотезы H1 и Н2 заключаются в том, что пациент болен заболеванием C или D соответственно. P(H1) = P(H2) = 0,5. P(A|H1) = 0,3; P(A|H2) = 0,2. Найдем полную вероятность.
Р(H1|A)=0,15/0,25=0,6; P(H2|A)=0,1/0,25=0,4. Более вероятно заболевание C.
11. Случайные величины. Закон распределения случайной величины. Дискретные случайные величины: ряд распределения и его свойства. Непрерывные случайные величины: функция плотности и ее свойства. Вероятность попадания случайной величины в множество.
Случайной величиной (СВ) Х(w) называется функция элементарного события w такая, что событие {w: X(w) £ x} принадлежит s-алгебре F при любом действительном x. Значения x функции Х(w) называются реализациями СВ Х(w). Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всех возможных событий, связанных с СВ. СВ называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Простейшей формой закона распределения дискретной СВ с конечным множеством значений является ряд распределения pk = (по определению) P{X = xk}, k=0,n, который задается аналитически или таблицей. В полученном ряду распределения сумма всех вероятностей равна единице. СВ Х с непрерывной функцией распределения Fx(x) называется непрерывной. Плотностью распределения (плотностью вероятности) СВ Х называется неотрицательная кусочно-непрерывная функция fx(x), для которой при любом x Î R1 выполняется соотношение:
Свойства fx(x):
- f(x) ³ 0 для всех x Î R1, т.е. выполняется условие неотрицательности плотности.
- (Условие нормировки плотности).
-
- F`(x)=f(x) в точках непрерывности плотности f(x).
12. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Вероятность попадания случайной величины в промежуток. Связь функции распределения с плотностью вероятности (в непрерывном случае).
Функция распределения F(x) является одной из форм закона распределения для СВ всех типов и однозначно определяет СВ.
Свойства F(x):
- F(x) определена для всех x Î R1.
- 0 £ F(x) £ 1 для всех x Î R1.
- F(-µ) = 0; F(µ) = 1.
- F(х2) – F(х1) = Р{х1 < Х £ х2}, если х2 > х1.
- F(x) не убывает.
- Если F(x) непрерывна, то F(х2) – F(х1) = Р{х1 £ Х £ х2}.
- F`(x)=f(x) в точках непрерывности плотности f(x).
13. Квантиль и медиана случайной величины. Медиана симметричного распределения. Пример нахождения квантили нормальной случайной величины.
Квантилью уровня p функции распределения F(x) СВ Х называется минимальное значение xp, при котором функция распределения F(x) не меньше значения p, где p Î (0,1). Если функция распределения строго монотонна и непрерывна, то квантиль является единственным решением уравнения F(xp) = p. Квантиль уровня p = ½ называется медианой. Если плотность распределения существует, симметрична относительно оси Оу и строго положительна на связном множестве (отрезке или оси Ох), то хр = -х1-р. Пример нахождения квантили нормальной СВ: Для нормальной случайной величины функция распределения F(X) = Ф((x-m)/s) = ½ + Ф0((x-m)/s). Для функции Ф0 (функции Лапласа) имеется таблица значений. Найдем квантиль уровня ¾. Для этого найдем решение уравнения F(xp) = ¾. Ф0((x-m)/s) = ¼. Воспользовавшись таблицей значений функции Лапласа получаем, что ((x-m)/s) » 0,675. Для стандартной нормальной СВ, у которой m=0 и s2=1 полученное значение 0,675 является квантилью уровня ¾.
Квантили стандартного нормального распределения:
р |
Квантиль уровня р | |
0,01 |
-2,326348 | |
0,025 |
-1,959964 | |
0,05 |
-1,644854 | |
0,1 |
-1,281552 | |
0,3 |
-0,524401 | |
0,4 |
-0,253347 | |
0,5 |
0 | |
0,6 |
0,253347 | |
0,7 |
0,524401 | |
0,8 |
0,841621 | |
0,9 |
1,281552 | |
0,95 |
1,644854 | |
0,975 |
1,959964 | |
0,99 |
2,326348 |
14. Этапы определения математического ожидания. Вычисление математического ожидания в непрерывном и дискретном случаях.
Пусть плотность f(x) непрерывной СВ Х такая, что сходится интеграл
Тогда число mx = (по определению) M[X] = (по определению) будем называть математическим ожиданием (МО) непрерывной СВ Х. Для дискретной СВ Х с конечным числом значений математическое ожидание определяется следующим образом:
, где pk = (по определению) P{X = xk}. Аналогично определяется МО дискретной СВ со счетным числом значений.
Пусть СВ Х непрерывна, а j(x) – некоторая скалярная функция скалярного аргумента. Тогда для СВ Y = (по определению) j(Х) МО СВ Y вычисляется следующим образом:
Если интеграл абсолютно сходится.
Если X – дискретная СВ с конечным множеством значений, то
15. Вычисление математического ожидания в непрерывном и дискретном случаях. Примеры.
Для непрерывной СВ Х:
Для дискретной СВ Х с конечным числом значений:
Примеры: Найти математическое ожидание СВ Y = Х2-3X+2 с учетом, что плотность вероятности СВ X на отрезке [-1;1] задана функцией f(x)=(3/2)x2 и равна нулю за пределами этого отрезка. Решение: Найдем математическое ожидание сразу по формуле.
Найти математическое ожидание дискретной СВ Х, ряд распределения которой имеет вид:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
Р |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
Решение: Найдем математическое ожидание сразу по формуле.
16. Свойства математического ожидания: математическое ожидание константы, линейность, монотонность.
- M[C]=C. Действительно, пусть Х – дискретная СВ, принимающая с вероятностью 1 значение C. Тогда M[X] = (по определению) =CP{X=C}=C.
- M[CX]=CM[X], если C – константа.
Действительно, пусть,
- М[X+C]=M[X]+C, если С –
константа. Очевидно, что, например,
для непрерывной СВ можно
- Монотонность заключается в том, что в случае X £Y MX£MY.
17. Свойства математического ожидания неотрицательной случайной величины: неравенство Маркова, невырожденность.
Невырожденность математического ожидания заключается в том, что в случае, если M[|X|]=0, P(X=0)=1. Событие Х=0 можно представить как событие, что |X|<1/n при любом n > 0. Обратное же событие заключается в том, что существует такое n, при котором |X|³1/n.
По свойству вероятности:
Произведя необходимые замены получим следующее неравенство, называемое неравенством Маркова.
Данное неравенство
18. Формула умножения для математического ожидания. Математическое ожидание функции случайной величины.
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин есть произведение математических ожиданий каждой из СВ. В В общем случае M[XY] = M[X]M[Y] + cov(X,Y). Для независимых СВ ковариация равна нулю.
Пусть СВ Х непрерывна, а j(x) – некоторая скалярная функция скалярного аргумента. Тогда для СВ Y = (по определению) j(Х) МО СВ Y вычисляется следующим образом:
Если интеграл абсолютно сходится.
Если X – дискретная СВ с конечным множеством значений, то
19. Моментные характеристики случайных величин: второй начальный момент, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Свойства дисперсии: неотрицательность, случай нулевой дисперсии, вычисление дисперсии через второй начальный момент, неравенство Ляпунова.
Второй начальный момент M[X2] вычисляется подобно первому начальному моменту. Для его вычисления просто воспользоваться свойством МО функции СВ. Пусть СВ Х непрерывна, а j(x) – некоторая скалярная функция скалярного аргумента. Тогда для СВ Y = (по определению) j(Х) МО СВ Y вычисляется следующим образом:
Если интеграл абсолютно сходится. В нашем случае j(x) = Х2.
Если X – дискретная СВ с конечным множеством значений, то
Дисперсия СВ есть разность второго момента и квадрата математического ожидания. Дисперсия характеризует среднее отклонение СВ от МО. Среднеквадратическое отклонение есть квадратный корень из дисперсии СВ. Свойства дисперсии:
- D[C] = 0;
- D[CX] = C2DX;
- D[CX+B]= C2DX.
В случае, если D[X]=0, P(X=MX)=1. Доказывается по неравенству Чебышева.
Неравенство Ляпунова:
D[X] = M[X2] – (M[X])2 ³ 0.
20. Свойства дисперсии: вычисление дисперсии для линейной функции случайной величины, неравенство Чебышева, «закон трех сигм».
Способ вычисления дисперсии для линейной функции случайной величины вытекает из свойств дисперсии.
D[kX+b] = D[kX] + D[b] + 2cov(kX,b) = kD[X].
Неравенство Чебышева:
Пусть C = k(D[X])½. Тогда:
Для k = 3 это неравенство имеет название «закона трёх сигм», и заключается в том, что вероятность того, что случайная величина отклонится от математического ожидания больше чем на три величины среднеквадратического отклонения, равна 1/9.
21. Стандартные дискретные распределения: Бернулли, биномиальное, геометрическое.
Биномиальное распределение:
Дискретная СВ Х с реализациями xk = k, k=0,n, имеет биномиальное распределение с параметрами n и р Î (0,1), если вероятность события Х = хk определяется формулой Бернулли:
g(t) = ||бином Ньютона|| = (q+peit)n.
X ~ Bi(n,p). MX = np, DX = npq.
Распределение Бернулли:
Распределение Бернулли есть частный случай биномиального распределения при n = 1.
Y ~ Be(p). MY = p, DY = pq.
Геометрическое распределение:
Геометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей — это распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».
Пусть Х1,…,Xn – конечная последовательность
случайных величин с
Y ~ Geom(p). М[Y]=р/(1-qеt). D[Y]=q/р2
22. Пуассоновское распределение: теорема Пуассона.
Теорема Пуассона: Между биномиальным распределением и распределением Пуассона имеется следующая связь: Пусть n ® µ, p ® 0 и при этом np º a = const. Тогда:
Где .
Доказывается эта теорема с использованием второго замечательного предела (1-a/n)n ® e-a при n ® µ.
Дискретная СВ Х с реализациями xk = k, k = 0, 1, …, имеет распределение Пуассона с параметром a > 0, что символически записывается как Х ~ П(а), если
M[X] = D[X] = a.
23. Равномерное распределение. Пример: игла Бюффона.
СВ Х распределена равномерно на отрезке [a,b] (Х ~ R(a,b)), если плотность вероятности имеет вид 1/(b-a) при х Î [a,b] и 0 при х Ï [a,b]. Функция распределения имеет вид:
Информация о работе Шпаргалка по "Теории вероятности и математической статистике"