Шпаргалка по "Теории вероятности и математической статистике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 11 Декабря 2013 в 16:54, шпаргалка

Описание работы

1. Понятие случайности, изучаемое теорией вероятностей. Частотное определение вероятности.
2. Основные понятия теории вероятностей на основе аксиоматического подхода: пространство элементарных исходов, алгебра случайных событий, вероятность и аксиомы, которым она подчиняется.
3. Простейшие свойства вероятности: монотонность, формула сложения, вероятность разности событий.
4. Классическая схема. Вычисление вероятностей исходов в трех комбинаторных моделях.
32. Некоррелированность и линейная зависимость двух случайных величин и их связь со свойствами ковариации и коэффициента корреляции.

Файлы: 1 файл

Понятие случайности.docx

— 99.82 Кб (Скачать файл)

Даная формула вытекает из свойств условной вероятности. Рассмотрим пример: После осмотра больного врач считает, что равновозможно одно из двух заболеваний С или D. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании C в 30% случаев, а при заболевании D – 20% случаев. Анализ дал положительную реакцию. Какое заболевание становится более вероятным? Решение: Событие А заключается в том, что анализ дал положительную реакцию. Гипотезы H1 и Н2 заключаются в том, что пациент болен заболеванием C или D соответственно. P(H1) = P(H2) = 0,5. P(A|H1) = 0,3; P(A|H2) = 0,2. Найдем полную вероятность.

Р(H1|A)=0,15/0,25=0,6; P(H2|A)=0,1/0,25=0,4. Более вероятно заболевание C.

 

11. Случайные величины. Закон распределения случайной величины. Дискретные случайные величины: ряд распределения и его свойства. Непрерывные случайные величины: функция плотности и ее свойства. Вероятность попадания случайной величины в множество.

Случайной величиной (СВ) Х(w) называется функция элементарного события w такая, что событие {w: X(w) £ x} принадлежит s-алгебре F при любом действительном x. Значения x функции Х(w) называются реализациями СВ Х(w). Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всех возможных событий, связанных с СВ. СВ называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Простейшей формой закона распределения дискретной СВ с конечным множеством значений является ряд распределения pk = (по определению) P{X = xk}, k=0,n, который задается аналитически или таблицей.  В полученном ряду распределения сумма всех вероятностей равна единице. СВ Х с непрерывной функцией распределения Fx(x) называется непрерывной. Плотностью распределения (плотностью вероятности) СВ Х называется неотрицательная кусочно-непрерывная функция fx(x), для которой при любом x Î R1 выполняется соотношение:

Свойства fx(x):

- f(x) ³ 0 для всех x Î R1, т.е. выполняется условие неотрицательности плотности.

- (Условие нормировки плотности).

-

- F`(x)=f(x) в точках непрерывности  плотности f(x).

 

 

12. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Вероятность попадания случайной величины в промежуток. Связь функции распределения с плотностью вероятности (в непрерывном случае).

Функция распределения F(x) является одной из форм закона распределения  для СВ всех типов и однозначно определяет СВ.

Свойства F(x):

- F(x) определена для всех x Î R1.

- 0 £ F(x) £ 1 для всех x Î R1.

- F(-µ) = 0; F(µ) = 1.

- F(х2) – F(х1) = Р{х1 < Х £ х2}, если х2 > х1.

- F(x) не убывает.

- Если F(x) непрерывна, то  F(х2) – F(х1) = Р{х1 £ Х £ х2}.

- F`(x)=f(x) в точках непрерывности  плотности f(x).

 

 

13. Квантиль и медиана случайной величины. Медиана симметричного распределения. Пример нахождения квантили нормальной случайной величины.

Квантилью уровня p функции  распределения F(x) СВ Х называется минимальное  значение xp, при котором функция распределения F(x) не меньше значения p, где p Î (0,1). Если функция распределения строго монотонна и непрерывна, то квантиль является единственным решением уравнения F(xp) = p. Квантиль уровня p = ½ называется медианой. Если плотность распределения существует, симметрична относительно оси Оу и строго положительна на связном множестве (отрезке или оси Ох), то хр = -х1-р. Пример нахождения квантили нормальной СВ: Для нормальной случайной величины функция распределения F(X) = Ф((x-m)/s) = ½ + Ф0((x-m)/s). Для функции Ф0 (функции Лапласа) имеется таблица значений. Найдем квантиль уровня ¾. Для этого найдем решение уравнения F(xp) = ¾. Ф0((x-m)/s) = ¼. Воспользовавшись таблицей значений функции Лапласа получаем, что ((x-m)/s) » 0,675. Для стандартной нормальной СВ, у которой m=0 и s2=1 полученное значение 0,675 является квантилью уровня ¾.

 

Квантили стандартного нормального  распределения:

р

Квантиль уровня р

0,01

-2,326348

0,025

-1,959964

0,05

-1,644854

0,1

-1,281552

0,3

-0,524401

0,4

-0,253347

0,5

0

0,6

0,253347

0,7

0,524401

0,8

0,841621

0,9

1,281552

0,95

1,644854

0,975

1,959964

0,99

2,326348


 

 

14. Этапы определения математического ожидания. Вычисление математического ожидания в непрерывном и дискретном случаях.

Пусть плотность f(x) непрерывной  СВ Х такая, что сходится интеграл

Тогда число mx = (по определению) M[X] = (по определению) будем называть математическим ожиданием (МО) непрерывной СВ Х. Для дискретной СВ Х с конечным числом значений математическое ожидание определяется следующим образом:

, где pk = (по определению) P{X = xk}. Аналогично определяется МО дискретной СВ со счетным числом значений.

Пусть СВ Х непрерывна, а  j(x) – некоторая скалярная функция скалярного аргумента. Тогда для СВ Y = (по определению) j(Х) МО СВ Y вычисляется следующим образом:

 

Если интеграл абсолютно  сходится.

Если X – дискретная СВ с  конечным множеством значений, то

 

15. Вычисление математического ожидания в непрерывном и дискретном случаях. Примеры.

Для непрерывной СВ Х:

Для дискретной СВ Х с  конечным числом значений:

Примеры: Найти математическое ожидание СВ Y = Х2-3X+2 с учетом, что плотность вероятности СВ X на отрезке [-1;1] задана функцией f(x)=(3/2)x2 и равна нулю за пределами этого отрезка. Решение: Найдем математическое ожидание сразу по формуле.

 

 Найти математическое  ожидание дискретной СВ Х, ряд  распределения которой имеет  вид:

Х

0

1

2

3

Р

0,1

0,2

0,3

0,4


Решение: Найдем математическое ожидание сразу по формуле.

 

16. Свойства математического ожидания: математическое ожидание константы, линейность, монотонность.

- M[C]=C. Действительно, пусть  Х – дискретная СВ, принимающая  с вероятностью 1 значение C. Тогда  M[X] = (по определению) =CP{X=C}=C.

- M[CX]=CM[X], если C – константа.  Действительно, пусть, например, Х – непрерывная СВ. Тогда

- М[X+C]=M[X]+C, если С –  константа. Очевидно, что, например, для непрерывной СВ можно получить:

- Монотонность заключается  в том, что в случае X £Y MX£MY.

 

17. Свойства математического ожидания неотрицательной случайной величины: неравенство Маркова, невырожденность.

Невырожденность математического  ожидания заключается в том, что  в случае, если M[|X|]=0, P(X=0)=1. Событие  Х=0 можно представить как событие, что |X|<1/n при любом n > 0. Обратное же событие заключается в том, что существует такое n, при котором |X|³1/n.

 

По свойству вероятности:

Произведя необходимые замены получим следующее неравенство, называемое неравенством Маркова.

Данное неравенство выполняется  для всех Х ³ 0. В общем случае константа 1/n имеет смысл любого положительного числа.

 

18. Формула умножения для математического ожидания. Математическое ожидание функции случайной величины.

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных  величин есть произведение математических ожиданий каждой из СВ. В В общем  случае M[XY] = M[X]M[Y] + cov(X,Y). Для независимых  СВ ковариация равна нулю.

Пусть СВ Х непрерывна, а  j(x) – некоторая скалярная функция скалярного аргумента. Тогда для СВ Y = (по определению) j(Х) МО СВ Y вычисляется следующим образом:

 

Если интеграл абсолютно  сходится.

Если X – дискретная СВ с конечным множеством значений, то

 

19. Моментные характеристики случайных величин: второй начальный момент, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Свойства дисперсии: неотрицательность, случай нулевой дисперсии, вычисление дисперсии через второй начальный момент, неравенство Ляпунова.

Второй начальный момент M[X2] вычисляется подобно первому начальному моменту. Для его вычисления просто воспользоваться свойством МО функции СВ. Пусть СВ Х непрерывна, а j(x) – некоторая скалярная функция скалярного аргумента. Тогда для СВ Y = (по определению) j(Х) МО СВ Y вычисляется следующим образом:

 

Если интеграл абсолютно  сходится. В нашем случае  j(x) = Х2.

Если X – дискретная СВ с  конечным множеством значений, то

Дисперсия СВ есть разность второго момента и квадрата математического  ожидания. Дисперсия характеризует  среднее отклонение СВ от МО. Среднеквадратическое отклонение есть квадратный корень из дисперсии СВ. Свойства дисперсии:

- D[C] = 0;

- D[CX] = C2DX;

- D[CX+B]= C2DX.

В случае, если D[X]=0, P(X=MX)=1. Доказывается по неравенству Чебышева.

Неравенство Ляпунова:

D[X] = M[X2] – (M[X])2  ³ 0.

 

 

20. Свойства дисперсии: вычисление дисперсии для линейной функции случайной величины, неравенство Чебышева, «закон трех сигм».

Способ вычисления дисперсии  для линейной функции случайной  величины вытекает из свойств дисперсии.

D[kX+b] = D[kX] + D[b] + 2cov(kX,b) = kD[X].

Неравенство Чебышева:

Пусть C = k(D[X])½. Тогда:

Для k = 3 это неравенство  имеет название «закона трёх сигм», и заключается в том, что вероятность  того, что случайная величина отклонится от математического ожидания больше чем на три величины среднеквадратического  отклонения, равна 1/9.

 

 

21. Стандартные дискретные распределения: Бернулли, биномиальное, геометрическое.

Биномиальное распределение:

Дискретная СВ Х с реализациями xk = k, k=0,n, имеет биномиальное распределение с параметрами n и р Î (0,1), если вероятность события Х = хk определяется формулой Бернулли:

g(t) = ||бином Ньютона|| = (q+peit)n.

X ~ Bi(n,p). MX = np, DX = npq.

Распределение Бернулли:

Распределение Бернулли есть частный случай биномиального распределения  при n = 1.

Y ~ Be(p). MY = p, DY = pq.

Геометрическое распределение:

Геометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей — это распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Пусть Х1,…,Xn – конечная последовательность случайных величин с распределением Бернулли. Построим случайную величину Y = min{i | Xi=1} – 1 (Количество «неудач» до первого «успеха»). Распределение случайной величины Y называется геометрическим с вероятностью «успеха» p.

Y ~ Geom(p). М[Y]=р/(1-qеt). D[Y]=q/р2

 

 

 

22. Пуассоновское распределение: теорема Пуассона.

Теорема Пуассона: Между  биномиальным распределением и распределением Пуассона имеется следующая связь: Пусть n ® µ, p ® 0 и при этом np º a = const. Тогда:

Где .

Доказывается эта теорема  с использованием второго замечательного предела (1-a/n)n ® e-a при n ® µ.

Дискретная СВ Х с реализациями xk = k, k = 0, 1, …, имеет распределение  Пуассона с параметром a > 0, что  символически записывается как Х ~ П(а), если

M[X] = D[X] = a.

 

 

23. Равномерное распределение. Пример: игла Бюффона.

СВ Х распределена равномерно на отрезке [a,b] (Х ~ R(a,b)), если плотность  вероятности имеет вид 1/(b-a) при  х Î [a,b] и 0 при х Ï [a,b]. Функция распределения имеет вид:

Информация о работе Шпаргалка по "Теории вероятности и математической статистике"