Шпаргалка по "Статистике"

Средняя арифметическая простая и взвешенная.

Средняя арифметическая простая равна частному от деления суммы индивидуальных значений признака на их количество.

Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда каждое индивидуальное значение признака встречается один (или одинаковое число) раз. Другими словами, средняя арифметическая простая рассчитывается по группировочным единицам совокупности.

Но чаще бывает так, что  отдельные значения исследуемой  совокупности встречаются не один, а много, причем не одинаковое число  раз, т.е. представляют собой ряд  распределения.

В эти случаях рассчитывают среднюю арифметическую взвешенную.

Средняя арифметическая взвешенная равна сумме произведений вариант (x) на их частоты или веса (f), поделенной на сумму частот.

 

3. Свойства  средней арифметической величины.

1. Если из всех вариантов  ряда вычесть или ко всем  вариантам добавить постоянное  число, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это число.

2. Если все варианты  ряда умножить или разделить  на постоянное число, то средняя  арифметическая соответственно  увеличится или уменьшится в это число раз.

3. Если все частоты  увеличить или уменьшить в  постоянное число раз, то средняя от этого не изменится.

4. Сумма отклонений всех  вариантов ряда от средней арифметической равна 0.

5. Общая средняя совокупности равна средней арифметической из частных средне взвешенных по объемам частных совокупностей.

6. Сумма квадратов отклонений  всех вариантов ряда от средней  арифметической меньше суммы  квадратов их отклонений от  любого другого постоянного числа.

7. Средний квадрат отклонений вариантов ряда от произвольного числа А равен дисперсии плюс квадрат разности между средней и этим числом А. 
Данное свойство положено в основу метода наименьших квадратов, который широко применяется в исследовании статистических взаимосвязей.

 

 

 

19. Структурные средние: мода  и медиана, квартили и децили. Взаимосвязь метода средних и метода группировок.

Мода  — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

,          (n-это h)

где:

  — значение моды

  — нижняя граница модального интервала

  — величина интервала

  — частота модального интервала

  — частота интервала, предшествующего модальному

  — частота интервала, следующего за модальным

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала  вычисляют полусумму частот  , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

Ме = (n(число признаков в совокупности) + 1)/2,

в случае четного числа признаков  медиана будет равна средней  из двух признаков находящихся в  середине ряда).

При вычислении медианы для интервального  вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем —  значение медианы по формуле:

 где:

  — искомая медиана

  — нижняя граница интервала, который содержит медиану

  — величина интервала

  — сумма частот или число членов ряда

- сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

  — частота медианного интервала

Дециль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Квартили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1; 25% будут заключены между Q1 и Q2; 25% - между Q2 и Q3; остальные 25% превосходят Q3

 

 

 

 

20. Понятие вариации и показатели  ее размера. Дисперсия альтернативного  признака. Математические свойства дисперсии.

Вариация — это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое практическое значение и является необходимым звеном в экономическом анализе. Необходимость изучения вариации связана с тем, что средняя, являясь равнодействующей, выполняет свою основную задачу с разной степенью точности: чем меньше различия индивидуальных значений признака, подлежащих осреднению, тем однороднее совокупность, а, следовательно, точнее и надежнее средняя, и наоборот. Следовательно по степени вариации можно судить о границах вариации признака, однородности совокупности по данному признаку, типичности средней, взаимосвязи факторов, определяющих вариацию.

Изменение вариации признака в совокупности осуществляется с  помощью абсолютных и относительных показателей.

Абсолютные показатели вариации включают:

• размах вариации 
• среднее линейное отклонение 
• дисперсию 
• среднее квадратическое отклонение 

Альтернативными называются 2 взаимоисключающих друг друга признака. То признаки, которыми каждая отдельная единица совокупности либо обладает, либо не обладает. Наличие альтернативного признака принято обозначать через единицу, а отсутствие через 0. Долю единиц обладающих данным признаком обозначают через p (п), а долю единиц на обладающих данным признаком обозначают через q. При этом p+q=1.

Таким образом, дисперсия  альтернативного признака равна  произведению доли единиц, обладающих данным признаком, и доли единиц, не обладающих этим признаком = pq или .

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины с равна нулю.

2. При прибавлении к случайной величине Х неслучайной величины с ее дисперсия не меняется.

D[X+c] = D[X].

3. При умножении случайной  величины Х на неслучайную величину с ее дисперсия умножается на с2. D(cX)=c²D(X)

Для среднего квадратичного  отклонения это свойство имеет вид:

 

21) Закон сложения (разложения) вариации (дисперсии). Коэффициент детерминации, эмпирическое корелляционное отношение

Показатели вариации могут  быть использованы не только в анализе  изменчивости изучаемого признака, но и для оценки степени воздействия  одного признака на вариацию другого  признака, т.е. в анализе взаимосвязей между показателями.

При проведении такого анализа  совокупность должна представлять собой  множество единиц, каждая из которых  характеризуется двумя признаками – факторным и результативным.

Для выявления взаимосвязи  исходная совокупность делится на две  или более групп по факторному признаку. Выводы о степени взаимосвязи  базируются на анализе вариации результативного  признака. При этом применяется правило сложения дисперсий:

- общая дисперсия;

- средняя из внутригрупповых дисперсий;

- межгрупповая дисперсия.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию.

Межгрупповая  дисперсия отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена воздействием факторного признака. Это воздействие проявляется в отклонении групповых средних от общей средней:

где           - среднее значение результативного признака по i-ой группе;

- общая средняя по совокупности в целом;

- объем (численность) i-ой группы.

Если факторный признак, по которому производится группировка, не оказывает никакого влияния на результативный признак, то групповые  средние будут равны между  собой и совпадут с общей средней. В этом случае межгрупповая средняя будет равна нулю.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и независящую от признака фактора, положенного в основание группировки.

Средняя из внутригрупповых  дисперсий отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием всех прочих неучтенных факторов, кроме фактора, по которому осуществлялась группировка:

где           - дисперсия результативного признака в i-ой группе;

- объем (численность) i-ой группы;

Эмпирический  коэффициент детерминации представляет собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии.

Теснота связи между факторным  и результативным признаком оценивается  на основе эмпирического корреляционного отношения:

Данный показатель может  принимать значения от 0 до 1. Чем  ближе к 1 будет его величина, тем  сильнее взаимосвязь между рассматриваемыми признаками.

 

22.Виды вариационных рядов. Абсолютные  показатели размера вариации: размах  вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Вариационные ряды бывают дискретными  и интервальными. 
Дискретные вариационные ряды строят обычно в том случае, если значения изучаемого признака могут отличаться друг от друга не менее чем на некоторую конечную величину. В дискретных вариационных рядах задаются точечные значения признака.  
Интервальные вариационные ряды строят обычно в том случае, если значения изучаемого признака могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину. Значения признака в них задаются в виде интервалов.

РАЗМАХ ВАРИАЦИИ - Мера разброса значений выборки наблюдений или распределения, рассчитываемая как разность между максимальным и минимальным значениями переменной

Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средних арифметических.

Для несгруппированных данных:

Для сгруппированных данных:

Дисперсия в статистике находится как среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

Для несгруппированных данных

             Для сгруппированных данных:

 

Среднее квадратичное отклонение определяется как обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической.

 

23)Относительные показатели вариации: коэффициент вариации, коэффициент  осцилляции.

Коэффициент вариации используют для сравнения рассеивания двух и более признаков, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеивания, выраженную в процентах. Он вычисляется по формуле:

,

где   - искомый показатель,  - среднее квадратичное отклонение,  - средняя величина.

Коэффициент осцилляции - характеризует колеблемость крайних значений признака вокруг средней арифметической 
   R-размах вариации.

24.Применение дисперсии для оценки  степени взаимосвязей в группировках  и социально – экономических  явлениях

 

дисперсия, рассчитываемый как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины. Между индивидуальными отклонениями от средней и колеблемостью признака существует прямая зависимость: чем сильнее колеблемость признака, тем больше отклонения его значений от средней величины и менее устойчив изучаемый показатель.

Дисперсию в отдельных случаях  удобнее рассчитывать по другой формуле: σ 2 = х 2 − ( х)2 , т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов индивидуальных значений признака и квадратом средней величины.

 

 

25 Понятие о ряде распределения,  их виды. Графическое изображение рядов распределения

Статистические  ряды распределения представляют собой упорядоченное распределение единиц совокупности  по группам и группировкам.  Ряды распределения изучают структуру совокупности, позволяют изучить ее однородность, размах и границы. Ряды распределения, образованные по качественным признакам, называют атрибутивными. При группировке по количественному признаку выделяются вариационные ряды. Вариационные ряды – ряды распределения единиц совокупности по признакам, имеющим количественное выражение, т. е. образованы численными значениями. Вариационные ряды по строению делятся на: