Применение показателей вариации для изучения объекта исследования

Средняя квадратическая простая

                                                                              (2.9)

Средняя квадратическая взвешенная

                                                                         (2.10)

Дисперсия есть не что иное, как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.

Формулы дисперсии взвешенной  и простой :

                                           (2.11)

Расчет дисперсии можно упростить. Для этого используется способ отсчета от условного нуля (способ моментов), если имеют место равные интервалы в вариационном ряду.

Кроме показателей вариации, выраженных в абсолютных величинах, в статистическом исследовании используются показатели вариации (V), выраженные в относительных величинах, особенно для целей сравнения колеблемости различных признаков одной и той же совокупности или для сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях.

Данные показатели рассчитываются как отношение размаха вариации к средней величине признака (коэффициент осцилляции), отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака (линейный коэффициент вариации), отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (коэффициент вариации) и, как правило, выражаются в процентах.

Формулы расчета относительных показателей вариации:

                                           (2.12)

где Vr - коэффициент осцилляции;

 Vα- линейный коэффициент вариации; 

Vσ- коэффициент вариации.

Из приведенных формул видно, что чем больше коэффициент V приближен к нулю, тем меньше вариация значений признака.

В статистической практике наиболее часто применяется коэффициент вариации. Он используется не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

 

2.3.Особенности показателей  формы и кривых статистического  распределения

 

Графики являются наглядной формой отображения рядов распределения. Для изображения рядов применяются линейные графики и плоскостные диаграммы, построенные в прямоугольной системе координат.

Для графического представления атрибутивных рядов распределения используются различные диаграммы: столбиковые, линейные, круговые, фигурные, секторные и т. д.

Для дискретных вариационных рядов графиком является полигон распределения.

Полигоном распределения называется ломаная линия, соединяющая точки с координатами или где  - дискретное значение признака, - частота,  - частость. График строится в принятом масштабе.

Для изображения интервальных вариационных рядов применяют гистограммы, представляющие собой ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников, основания которых равны ширине интервала  , а высота - частоте  (частости ) равноинтервального ряда или плотности распределения неравноинтервального  Построение диаграммы аналогично построению столбиковой диаграммы.

Для графического представления вариационных рядов может использоваться также кумулята – ломаная линия, составленная по накопленным частотам (частостям). Накопленные частоты наносятся в виде ординат; соединяя вершины отдельных ординат отрезками прямой, получаем ломаную линию, имеющую неубывающий вид. Координатами точек на графике для дискретного ряда являются для интервального ряда - Начальная точка графика имеет координаты самая высокая точка

При построении графиков рядов распределения большое значение имеет соотношение масштабов по оси абсцисс и оси ординат. В этом случае и необходимо руководствоваться «правилом золотого сечения», в соответствии с которым высота графика должна быть примерно в два раза меньше его основания.

Вторая важнейшая задача при определении общего характера распределения – это оценка степени его однородности. Однородность статистических совокупностей характеризуется величиной вариации (рассеяния) признака, т.е. несовпадением его значений у разных статистических единиц. Для измерения вариации в статистике используются абсолютные и относительные показатели. Выяснение общего характера распределения предполагает не только оценку степени его однородности, но и исследование формы распределения, т.е. оценку симметричности и эксцесса.

Из математической статистики известно, что при увеличении объема статистической совокупности и одновременного уменьшении интервала группировки полигон либо гистограмма распределения все более и более приближается к некоторой плавной кривой, являющейся для указанных графиков пределом. Эта кривая называется эмпирической кривой распределения и представляет собой графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот, функционально связанного с изменением вариант.

В статистике различают следующие виды кривых распределения:

• одновершинные кривые; • многовершинные кривые.

Однородные совокупности описываются одновершинными распределениями. Многовершинность распределения свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности или о некачественном выполнении группировки.

Одновершинные кривые распределения делятся на симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные.

Распределение называется симметричным, если частоты любых 2-х вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В таких распределениях 

Для характеристики асимметрии используют коэффициенты асимметрии.

Наиболее часто используются следующие из них:

• Коэффициент асимметрии Пирсона

                                                                                            (2.13)

В одновершинных распределениях величина этого показателя изменяется от -1 до +1. в симметричных распределениях As=0. При As>0 наблюдается правосторонняя асимметрия. В распределениях с правосторонней асимметрией Mo ≤ Me ≤

При As<0 – асимметрия отрицательная левосторонняя, Mo>Me> 

Чем ближе по модулю As к 1, тем асимметрия существеннее.

Коэффициент асимметрии Пирсона характеризует асимметрию только в центральной части распределения, поэтому более распространенным и более точным является коэффициент асимметрии, рассчитанный на основе центрального момента 3-его порядка:

                           (2.14)

 Центральным моментом  в статистике называется среднее  отклонение индивидуальных значений  признака от его среднеарифметической  величины.

Центральный момент k-ого порядка рассчитывается как:

                                  (2.15)

 

 

Соответственно формулы для определения центрального момента третьего порядка имеют следующий вид:

                                     (2.16)

Для оценки существенности рассчитанного вторым способом коэффициента асимметрии определяется его средняя квадратическая ошибка:

                              (2.17)

 Для одновершинных  распределений рассчитывается еще  один показатель оценки его  формы – эксцесс. Эксцесс является  показателем островершинности распределения. Он рассчитывается для симметричных распределений на основе центрального момента 4-ого порядка 

                                   (2.18)

 При симметричных распределениях  Ех=0. если Ех>0, то распределение относится к островершинным, если Ех<0 – к плосковершинным.

 

 

 

 

 

 

 

 

3.ПРИМЕНЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ  ВАРИАЦИИ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ОБЪЕКТА  ИССЛЕДОВАНИЯ

 

Необходимо провести анализ вариационного ряда пропуска занятий студентами второго курса гр. ЭММ-10-1 Тюменского государственного нефтегазового университета. Данные выборочного наблюдения представлены в таблице 3.1. Необходимо рассчитать показатели вариации для данного явления.

Таблица 3.1

Данные выборочного наблюдения по ООО «Ника»

Количество пропусков	3-5,8	5,8-8,6	8,6-11,4	11,4-14,2	14,2-17
Частота наступления признака	8	6	46	15	11
Относительная частота	0,09	0,07	0,53	0,17	0,14

 

От интервального ряда перейти к дискретному. Для этого каждый промежуток заменить его средним значением, оставив частоты и относительные частоты без изменения.

 

Таблица 3.1

Данные выборочного наблюдения по ООО «Ника» в виде дискретного ряда

Количество пропусков	4,4	7,2	10	12,8	15,6
Частота наступления признака	8	6	46	15	11
Относительная частота	0,09	0,07	0,53	0,17	0,14

 

Графический интервальный вариационный ряд изображается в виде гистограммы частот- ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы длиной h группировки, а высоты равны отношению частоты к длине интервала , т.е. плотности частот.

Дискретный вариационный ряд графически изображается в виде полигона частот или относительных частот.

Полигон частот - это ломаная линия, соединяющая точки с координатами .

Полигон относительных частот- это ломаная линия, соединяющая точки с координатами.

Эмпирическая функция распределения графически изображается в виде линии, изменяющейся скачкообразно.

На оси Ox откладываются значения интервалов, на оси Oy соответствующие им вероятности. Скачок наблюдается при переходе от одного интервала к другому.

Рис. 3.1 Интервальный ряд для количества пропусков занятий студентами второго курса

Рис.3.2 Полигон частот

Полигон относительных частот:

Рис.3.3 Полигон относительных частот

Выборочная средняя .

Таблица 3.3

Таблица для расчета выборочной средней

хi	ni	хi* ni
4,4	8	35,2
7,2	6	43,2
10	46	460
12,8	15	192
15,6	11	171,6
Итого	86	902

902/86=10,49

Выборочная дисперсия , в правой части разность эмпирических моментов первого и второго порядков.

Таблица 3.4

Таблица для расчета выборочной дисперсии

хi	ni	хi- хв	(хi- хв)2	(хi- хв)2 ni
4,4	8	-6,09	37,09	296,70
7,2	6	-3,29	10,82	64,94
10	46	-0,49	0,24	11,04
12,8	15	2,31	5,34	80,04
15,6	11	5,11	26,11	287,23
Итого	86		79,60	739,97