Метод симметричных составляющих

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение                    высшего профессионального образования

«Чувашский  государственный университет им. И.Н. Ульянова»

Электротехнический  факультет

Кафедра систем автоматического управления электроприводами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

Метод симметричных составляющих

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                  Выполнил: студент ЭТ-41-11

                                      Соловьев С.

                                                                     Проверил: Калинин А.Г.

 

 

 

 

 

 

 

 

Чебоксары 2013

 

 

Содержание

 

1. Введение…………………………………………………………….. 2

2. Симметричные составляющие трехфазной системы величин..... ..2

3. Некоторые свойства трехфазных цепей в отношении симметричных составляющих токов и напряжений..................................................... .4

4. Сопротивления симметричной трехфазной цепи для токов различных последовательностей...............................................................................5

5. Применение метода симметричных составляющих для симметричных цепей.........................................................................................................6

6.Список использованной литературы.................................................9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Для  анализа  и расчетов несимметричных режимов  в трехфазных цепях широко применяется  метод симметричных составляющих. Он основан на представлении любой  трехфазной несимметричной системы  величин (токов, напряжений, магнитных  потоков) в виде суммы в общем  случае трех симметричных систем величин. Эти симметричные системы, которые в совокупности образуют несимметричную систему величин, называются ее симметричными составляющими. Симметричные составляющие отличаются друг от друга порядком следования фаз, т. е. порядком, в котором фазные величины проходят через максимум, и называются системами _Прямой, обратной и нулевой последовательностей.

 

Симметричные составляющие

трехфазной системы величин

Обозначим трехфазную систему величин (токов, напряжений, магнитным потоков) для общности буквами А, В^: и С. Величины, относящиеся к системам прямой, обратной и нулевой последовательностей, отметим соответственно индексами 1, 2 и 0. На рис. 11.1 показав пример векторных диаграмм симметричных составляющих всех трех последовательностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система прямой последовательности имеет порядок следования фаз А, В, С. Система обратной последовательности имеет порядок следования фаз А, С. В Система нулевой последовательности состоит из трех одинаковых величин, совпадающих по фазе. Для этих трех систем можно записать

В₁= А₁ е^-j2π/3 ;   C₁= А₁е^j2π/3   ;  (11.1)

B₂= A₂ e ^j2π/3 ;   C₂= A₂ e^-j2π/3 ;   (11.2)

 A₀=B₀=C₀                                             (11.3)

Комплексное число е^j2π/3 называется фазным множителем и сокращенно обозначается буквой а:

а= е^j2π/3= е^-j4π/3= cos(2π/3)+jsin(2π/3) = -1/2+j/2   (11.4)

Умножение вектора на a соответствует повороту его против направления движения часовой стрелки (вперед) на 120 или повороту по направлению движения часовой стрелки (назад) на 240°:

a²= е^j2π/3* е^j2π/3= е^j4π/3= e^-j2π/3=-1/2-j/2  (11.5)

Умножение вектора  на a² соответствует повороту его вперед на 240° или повороту назад на 120°.

При помощи фазного  множителя выражения (11.1) и (11.2) можно  записать так:

В₁=a² A₁ ; C₁=a A₁;      (11.6)

B₂=a A₂ ;  C₂= a²A₂ ;    (11.7)

Кроме того а³= е^2jπ = 1 (11.8)

Пользуясь соотношением (11.8), можно исключать из формул множитель а в степени выше второй:

а⁴ = а³ а = а; а⁵ = а ³а² = а² и т. д.

Как следует  из (11.4) и (11.5), 1, а и а² образуют симметричную систему единичных векторов (рис. 11.2).

 

 

 

 

 

 

Их  сумма     1+а+а²=0   (11.9)

Докажем теперь, что любую несимметричную систему векторов А, В и С можно разложить на симметричные системы прямой, обратной и нулевой последовательностей. Если это имеет место, то

A = A₁ + A₂ + A₀ ; (11.10)

B = B₁ + B₂+ B₀ ;   (11.11)

C = C₁ + C₂ + C₀ ;  (11.12)

Выразим в этих предполагаемых равенствах все векторы симметричных систем через векторы A₁, A₂, и А₀, пользуясь соотношениями (11.3), (11.6) и (11.7):

A = A₁ + A₂ + A₀ ;           (11.13)

B = а²А₁ + аА₂ + А₀ ;      (11.14)

C = a A₁ +  а² А₂ +  А₀ ;  (11.15)

Получены три уравнения, из которых однозначно можно определить векторы A₁, A₂, и А₀ , что и доказывает возможность разложения заданной несимметричной системы векторов А, В и С на три симметричные системы.

После сложения уравнений (11.13)— (11.15) получим

А + В + С = (1+ а+а²)А₁ + (1+а+а²) A₂ + 3 A_0.  Откуда с учетом (11.9) найдем, что

А₀ = 1/3(A + B + C).  (11.16)

Умножая (11.14) на а и (11.15) на а² и затем складывая уравнения (11.13) - (11.15), находим , что

 A₁=1/3(A + аB + а² C)   (11.17)

Умножая (14.14) на а² и (11.15) на а и затем складывая уравнения  (11.13) - (11.15), получаем  A₂=1/3(A + а²В  + а C)    (11.18)

Некоторые свойства трехфазных цепей в отношении  симметричных составляющих токов и  напряжений

В нейтральном  проводе ток равен сумме линейных токов и, следовательно, тройному значению составляющей тока нулевой последовательности [см. (11.16)].

Сумма линейных напряжений равна нулю, поэтому линейные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности.

Симметричные  составляющие прямой и обратной последовательностей фазных напряжений приемника, соединенного звездой, однозначно связаны с соответствующими симметричными составляющими подведенных к нему линейных напряжений. Отсюда следует, что фазные напряжения различных приемников, соединенных звездой, при одних и тех же линейных напряжениях имеют одинаковые симметричные составляющие прямой и обратной последовательностей и могут отличаться друг от друга только за счет симметричных составляющих нулевой последовательности.

Если при несимметричном режиме ток в одной или двух фазах  цепи отсутствует, сумма симметричных составляющих токов в этих фазах равна нулю. Поясним сказанное примерами.

В схеме, показанной на рис. 11.3, фазы В и С разомкнуты, I_B=I_C=0. Применяя (11.16) —(11.18), получаем

I_A1=1/3(I_A + a *0 + a ²*0)=1/3I_A  ;

I_A2=1/3(I_A+ a ²*0 + a *0)= 1/3I_A  ;

I_A0=1/3(I_A + 0 + 0) = 1/3I_A  ;

 

 

 

На рис. 11.4 изображен вектор тока I_A и построены векторные диаграммы для систем симметричных составляющих токов всех трех фаз. Там же проведено геометрическое суммирование векторов симметричных составляющих токов, показывающее, что I_A1 + I_A2 + I_A0=I_A ; I_B1 + I_B2 + I_B0=0 ; I_C1 + I_C2 + I_C0=0

В схеме рис. 11.5 токи I_A=0; I_B=-I_C . По формулам (11.16) - (11.18) получим I_A0=0;

I_A1=1/3(a I_B + a²I_C) = I_B/3(a - a²) = jI_B/;

I_A2=1/3(a² I_B + a I_C) = I_B/3(a² - a) = - jI_B/.

На рис. 11.6 показаны векторная диаграмма токов I_B и I_C и векторные диаграммы симметричных составляющих токов всех трех фаз. Геометрическое суммирование векторов показывает, что I_A= I_A1 + I_A2=0 ; I_B= I_B1 + I_B2 ; I_C = I_C1 + I_C2 .

Симметричные составляющие токов и напряжений могут быть не только вычислены, но и измерены при помощи специальных электрических измерительных схем, называемых фильтрами симметричных составляющих токов и напряжений. Эти фильтры получили широкое применение в релейной защите электроэнергетических цепей.

Сопротивления симметричной трехфазной цепи

для токов различных  последовательностей

Если к симметричной цепи приложена симметричная система  фазных напряжений прямой (обратной или  нулевой) последовательностей, то в  ней возникает симметричная система  токов прямой (обратной или нулевой) последовательности. При использовании  метода симметричных составляющих на практике симметричные составляющие напряжений связаны с симметричными составляющими  токов той же последовательности. Отношение симметричных составляющих фазных напряжений прямой (обратной или  нулевой) последовательности к соответствующим  симметричным составляющим токов называется комплексным сопротивлением прямой обратной и нулевой последовательностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть имеем  участок цепи на рис. 6. Для фазы А  этого участка можно записать

(9);

Тогда для симметричных составляющих прямой и обратной последовательностей  с учетом, того, что , на основании (9) имеем

Отсюда  комплексные сопротивления прямой и обратной последовательностей  одинаковы и равны:

Для симметричных составляющих нулевой  последовательности с учетом равенства соотношение (9) трансформируется в уравнение откуда комплексное сопротивление нулевой последовательности

 

В рассмотренном  примере получено равенство сопротивлений  прямой и обратной последовательностей. В общем случае эти сопротивления  могут отличаться друг от друга. Наиболее типичный пример – различие сопротивлений  вращающейся машины для токов  прямой и обратной последовательностей  за счет многократной разницы в скольжении ротора относительно вращающегося магнитного поля для этих последовательностей.

Применение метода симметричных составляющих

для симметричных цепей

Расчет цепей методом симметричных составляющих основывается на принципе наложения, в виду чего метод применим только к линейным цепям. Согласно данному  методу расчет осуществляется в отдельности  для составляющих напряжений и токов  различных последовательностей, причем в силу симметрии режимов работы цепи для них он проводится для  одной фазы (фазы А). После этого  в соответствии с (1)…(3) определяются реальные искомые величины. При расчете  следует помнить, что, поскольку  в симметричном режиме ток в нейтральном  проводе равен нулю, сопротивление  нейтрального провода никак ни влияет на симметричные составляющие токов  прямой и обратной последовательностей. Наоборот, в схему замещения для  нулевой последовательности на основании (7) вводится утроенное значение сопротивления  в нейтральном проводе. С учетом вышесказанного исходной схеме на рис. 7,а соответствуют расчетные однофазные цепи для прямой и обратной последовательностей (рис. 7,б) и нулевой последовательности (рис. 7,в).

 

 

 

 

Существенно сложнее обстоит  дело при несимметрии сопротивлений по фазам. Пусть в цепи . Разложив токи на симметричные составляющие, для данной цепи можно записать

 

                   (10)

В свою очередь

 

                  (11)

 

Подставив в (11) значения соответствующих  параметров из (10) после группировки  членов получим

 

(12)

 

 

 

Из полученных соотношений  видно, что если к несимметричной цепи приложена несимметричная система  напряжений, то каждая из симметричных составляющих токов зависит от симметричных составляющих напряжений всех последовательностей. Поэтому, если бы трехфазная цепь на всех участках была несимметрична, рассматриваемый  метод расчета не давал бы преимуществ. На практике система в основном является симметричной, а несимметрия обычно носит локальный характер.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Основы  теории цепей  / Г. В. Зевеке, П.А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов,1989