Основные факты геометрии Лобачевского

Основные факты геометрии Лобачевского

1. Аксиоматика

Если  брать за основу систему аксиом Гильберта, то это I – IVгруппы аксиом, V* – отрицание аксиомы V (_п).

Если  брать за основу систему аксиом Погорелова, то это будут аксиомы I – V группы, VI* – отрицание аксиомы VI.

Аксиома параллельности:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не менее двух прямых не пересекающих данную.

Факты:

1. Сумма углов треугольника меньше (если сумма углов треугольника равна , то это равносильно аксиоме VI (_п)) по теореме 11.3.

Сумма углов выпуклого четырехугольника

меньше 2. rr

3. Сумма углов треугольника непостоянна.

Доказательство: МОП

Дан треугольник ABC. Рассмотрим вспомогательный треугольник r

 

 

Сумма смежных углов равна  (из АГ)

 

 

Получим, что сумма углов четырехугольника это противоречит 2)

rr дефект треугольника.

4. Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: (МОП)

Предположим, что rАВСr и АВ

На луче ВА от его начала отложим  отрезок В

От луча А₂В в полуплоскость ограниченную прямой А₂В и содержащую т.С отложим угол ВА₂D

Прямая А₂D не пересекает прямую АС, т.к. соответственные углы равны.

По теореме1 АГ прямая А₂D пересекает сторону ВС в точке С₂

rВА₂С_{2rпо второму признаку}

Введем в рассмотрение смежные  углы и и запишем

 

, то есть сумма углов выпуклого четырехугольника равна 2, противоречит пункту 2). Наше предположение неверно.

5. Не существует подобных неравных треугольников. Если бы они существовали, то был бы справедлив V постулат Евклида, а следовательно Евклидова аксиома параллельности.

Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

Определение параллельных прямых

Определение.

Прямая CD называется параллельной прямой AB в точке Р в направлении АВ, если:

1. Прямые АВ и CD не пересекаются

Для любой точки QЛюбой луч, проходящий между сторонами угла QPD пересекает прямую АВ. (*)

Если условие (*) выполнено для какой-то одной т.Q, то оно будет выполнено и для любой точки принадлежащей АВ.

Доказательство:

Пусть условие (*) для Q выполняется.

1. Рассмотрим т.Т ,

Доказать, что любой луч h, проходящий через пересекает прямую АВ.

а) h, , h

b) h = [PQ]

c) h,

2)

Доказать, что любой луч h, проходящий между сторонами проходит между сторонами пересекает прямую АВ.

Про угол QPD говорят, что он обращен в сторону параллельности.

Замечание: обратите внимание, какая  прямая какой параллельна, в какой точке и в каком направлении (можно не указывать направление, если сразу рассмотреть направленные прямые).

План доказательства существования  параллельных прямых

(без моделей)

Через т.Р опустим перпендикуляр на АВ. И через точку Р проведем прямую CD/

Возьмем точку Т на CD и соединим с т.Q

Все точки этого отрезка разделим на 2 класса:

height: 12pt; z-index: 0;">

Такие точки, что 

 

Все точки, которые лежат на

[QX] пересекают АВ; точки, лежащие на [XT] не пересекают АВ.

 

Доказали:

(PXAB) в т.Р в направлении АВ.

Х

 симметрична т.Х относительно PQ, тогда прямая (PXBА) в направлении ВА.

Прямые 

(PX (PX) пересекаясь образую пару вертикальных углов. Все прямые проходящие через т.Р и расположенные внутри одной пары вертикальных углов (содержащей пару PQ) пересекает прямую АВ. А прямые проходящие через т.Р внутри другой пары вертикальных углов.

Эти прямые являются расходящимися прямой АВ.

Итак, через  точку не принадлежащей данной прямой на плоскости Лобачевского проходят две прямые параллельные данной по одной в каждом из двух направлений 

на прямой АВ.

Две прямые на плоскости Лобачевского могут  быть:

- пересекающимися;

- параллельными;

- расходящимися.

Две прямые перпендикулярные третьей являются расходящимися.

 

 

Основные свойства

параллельных и расходящихся прямых

(на плоскости Лобачевского)

height: 12pt; z-index: 0;">

Если прямая а параллельна прямой b в данной точке, в данном направлении, то она остается параллельной ей в данном направлении.

Если прямая а параллельна прямой b в данном направлении, то и прямая b параллельна прямой а в том же направлении (можно говорить, что в том же направлении).

3. Если две прямые параллельны третьей в данном направлении, то они параллельны между собой в том же направлении.
4. Расстояния от точек одной прямой до параллельной ей прямой неограниченно убывают в направлении параллельности и неограниченно возрастают в противоположном направлении.
5. Две расходящиеся прямые имеют общий перпендикуляр и притом единственный. Расстояния от точек одной прямой до точек другой прямой неграниченно возрастают при удалении точек от общего перпендикуляра.

Длина общего перпендикуляра является кратчайшим расстоянием между расходящимися прямыми.

 Угол параллельности

 Будем рассматривать направленные  прямые.

Пусть направленные прямые

 называется углом параллельности направленных прямых в точке Р. Обозначение:

Теорема

Угол параллельности является непрерывной, убывающей функцией длины перпендикуляра и принимает все значения от 0 до .

Доказательство: докажем, что это  убывающая функция.

 

Проведем через нее прямую

 

П() > П() или

Дополнительное построение: проведем прямую (QS)

(QS)

  в  том же направлении, тогда по определению параллельности прямых, любой луч, проходящий между сторонами (обращенного в сторону параллельности) пересекает прямую (AA)

(QS)

rPQT, 

 так как (QS) ( по построению. Значит, она пересекает [РТ]. . Доказать самостоятельно, что не проходит ни через одну из вершин треугольника.

Через т.Р проведем (PL) (направленные прямые). По свойству (PL) (QS), поэтому [PL) не может проходить между сторонами . Таким образом,

 

 

Следствия:

Любой острый угол является углом параллельности  для некоторого отрезка

2. Внутри любого угла существует точка, через которую можно провести прямую, параллельную обеим сторонам угла.

 

 

 

 

 

Непротиворечивость  геометрии Лобачевского

Некоторые проективные понятия (повторение).

Проективной плоскостью называется непустое множество, если задано отображение , удовлетворяющий следующим условиям:

1. сюръекция

V₃ – трехмерное векторное пространство над полем ?

Моделью проективной плоскости является расширенная евклидова плоскость .

(проективная  геометрия непротиворечива, если  непротиворечива евклидова геометрия).

 

 

 

 

 

Двойным отношением упорядоченной четверки коллинеарных точек A, B, C, D называется число

5. ⋅⋅CD

 

CD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модель плоскости Лобачевского

(модель  Бельтрами-Клейна)

(модель  Кэли-Клейна)

Основные  объекты: точки, прямые.

Основные  отношения: ⁰

Аксиомы: I – IVгр, _п, VI*

Построить модель – это значит придать конкретное содержание основным понятиям и доказать, что для них выполняются все  аксиомы.

 На  евклидовой плоскости  рассмотрим круг, границей которого является окружность (называемое абсолютом)

Под точкой плоскости Лобачевского будем 

понимать  внутренние точки круга.

Под прямой плоскости будем понимать хорды абсолюта без концов.

]u,v[ ; u,v

Принадлежность  и отношение между определяется

также как  и в евклидовой геометрии (аксиомы  I,II группы

будут выполняться).

Пусть дан  единичный отрезок EF. EF пересекает абсолют в двух точках – M, N.

Мы можем  пользоваться понятиями и теоремами  проективной геометрии.

                                                                                                        (*)