Цилиндр

 

 

 

 

 

Цилиндр

 

 

 

 

        Руководитель: Мойшевич Елене      Николаевна

                         Исполнители: Павлова Мария

                                                 Анкудинова Елена

                                                 Абибак Екатерина

                                                 Синяткина Александра

 

Управление образования

Администрации г. Кемерова

ЦНО КемГУКИ

МОУ «Гимназия  № 25

 

 

 

 

 

 

 

Решение задач

 

 

 

 

 

 

Исполнитель: Абибак Екатерина

                    Синяткина Александра

    Анкудинова Елена

        Павлова Мария

Ученицы 11 кл. гимназии№25

Руководитель: Мойшевич Е.Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

Кемерово 2010

Понятие цилиндра

 

 

Цилиндр- тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L  и L1 .

 

Цилиндрическая  поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги  основаниями цилиндра.

 

A3A2  -образующая

Все образующие  цилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называется высотой  цилиндра.

О1О2 - ось цилиндра

А1О2, О1А3 – радиусы цилиндра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис 1

 

 

 

 

Цилиндр может  быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке 2 изображен цилиндр полученный вращением  прямоугольника OO’B’B вокруг стороны OO’. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны BB’, а основания – вращением сторон ОВ и O’B’.

 

 

Рис 2

 

 

Рассмотрим  сечения цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение  представляет собой прямоугольник (рис 2, A’ABB’- сечение), две стороны которого образующие, а две другие диаметры оснований. Такое сеченик называется осевым.

 

 

 

Рис 3

    Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.( рис 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площадь поверхности цилиндра и объем  цилиндра

 

 

 

Рис 4

 

 

 

 

 

На рисунке 4 изображен цилиндр. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АА1 и развернули таким образом, что все образующие оказались в некоторой плоскости. В результате получился прямоугольник, этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

 

За  площадь боковой поверхности  цилиндра принимается площадь ее развертки.

 

Sбок= 2пrh

 

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

 

Площадью  полной поверхности цилиндра называется сумма сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна пr^2, то для вычисления площади Sцил полной поверхности цилиндра получаем формулу:

 

Sцил=2пr(r+h)

 

Vцил=пr²h

 

 

 

Задачи

 

 

Задача  №1

 

Точки К и М лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Синус угла наклона прямой КМ к плоскости основания цилиндра равен , КМ=10, объем цилиндра равен 150π. Найдите площадь осевого сечения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: цилиндр

Sinα=

KM=10

V_{цилиндра}=150π

 

Найти: S_{осевого сечения}

 

Решение:

S_ABCD=2R×MN

Sinα= =

 

MN= =

 

MN=6

V=πR²MN

V=150π

πR²MN=150π

6R²=150

R²=25

R=5

S_ABCD=2×5×6=60

 

Ответ: 60 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №2

 

 

Радиус основания цилиндра равен 1, а высота равна . Отрезки AB и CD – диаметры одного из оснований цилиндра, а отрезок AA₁ – его образующая. Известно, что AD= . Найдите Cos угла между прямыми A₁C и  BD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: цилиндр

R=1

AA₁ – высота, образующая

AA₁=

AB, CD – диаметры основания

AD=

AD=

 

Найти:  Cos ∠ между прямыми A₁С и  BD

 

Решение:    OA=OB=OC=OD - радиусы (т.к. AB и CD – диаметры основания, О – центр окружности основания)

ABCD – прямоугольник (т.к диаметры окружности равны и они являются диагоналями прямоугольника)

BDǁAC (т.к. в прямоугольнике противоположные стороны параллельны)

Значит найдем Cos ∠A₁CA

Cos ∠A₁CA = AC/A₁C

Рассмотрим  ∆ADC, ∠A=90°, то

По теореме Пифагора:

CD²=AD²+AC²

AC²= CD²- AD²

AC²=2²-( )²

AC²=4-3=1

AC=1

Рассмотрим ∆ A₁CA, ∠A=90°, то

По теореме  Пифагора:

А₁С²=AC²+AA₁²

А₁С²=1²+( )²

А₁С²=1+24=25

А₁С=5

Cos ∠A₁CA = =

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

Задача №3

 

 

Концы отрезка MN лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 10, длина отрезка MN равна 24, а угол между прямой MN и плоскостью равен 60°. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки M и N.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: цилиндр

R=10

MN=24

∠MNQ=60°

 

Найти: O₁H

 

Решение: рассмотрим ∆MNQ, ∠Q=90°, ∠N=60°?

Значит ∠M=30°,

То NQ=12( против угла в 30° лежит сторона равная половине гипотенузы)

Рассмотрим  ∆NO₁Q – равнобедренный(т.к. O₁N и O₁Q – радиусы)

O₁H – высота, значит ∠ O₁HQ=90°, NH=NQ=6

То по теореме  Пифагора:

O₁Q²=O₁H²+HQ²

10²= O₁H²+6²

O₁H²=100-36

O₁H²=64

O₁H=8

 

Ответ: 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №4

 

 

Объем цилиндра равен 1 см³. Радиус основания уменьшили в 2 раза, а высоту увеличили в 3 раза. Найдите объем получившегося цилиндра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: цилиндр

V₁=1см³

 

Найти: V₂

 

Решение:

V₁=πR₁²H₁=1

V₂=πR₂²H₂

H₂=3H₁

R₂= R₁

V₂= π R₁²×3H₁= πR₁²H= ×1=1,5 см³

 

Ответ: 1,5см³

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №5

 

 

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна  см. Найдите объем цилиндра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: цилиндр;

ABCD-осевое сечение, квадрат;

BD- диагональ;

BD =

 

Найти: V_{цилиндра}

 

Решение:

Рассмотрим  ∆BCD-прямоугольный (∠ BCD=90° )

По теореме  Пифагора:

BD² = DC² +BC²

DC = BC, т.к. ABCD – квадрат

( )² = 2BC²

64×2= 2BC²

BC=8

V_{цилиндра} = π ( DC)²BC = π×4²×8 = 128π см³

 

Ответ: 128π см³

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №6

 

 

Радиус основания цилиндра равен 5 см, а высота цилиндра равна 6 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: цилиндр,

           R=5см

           H=6см

           O₁M=4см

 

Найти: S_ABCD

Решение:

AB = 6см, т.к. высота

Рассмотрим ∆АO₁M- прямоугольный.

По теореме  Пифагора:

АМ²=O₁A²–O₁M²

АМ²=25-16=9

АМ=3см

Рассмотрим ∆AO₁D-равнобедренный (т.к. AO₁ = O₁D как радиусы),тогда O₁M-медиана, следовательно AM = MD

AD=2AM=6см

SABCD =AD×AB = 6×6=36 см²

 

Ответ: 36 см²

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №7

 

 

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: цилиндр

ОО₁- ось

АВСD- осевое сечение, квадрат

АС=4

 

Найти: S_бок

 

Решение:

S_бок= 2πRH

Рассмотрим ∆ADC:

∠D=90° (т.к. АВСD-квадрат)

АС=4 см

По теореме  Пифагора:

 АС²= AD² + DC²

            AC²= 2AD² (т.к. AD=DC)

            16=2AD²

AD²=8

            AD = =H

R= = = (т.к. АВСD-квадрат, AD=BC, BC- диаметр)

 Значит Sбок=2π× × =8π

 

Ответ: 8π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №8

 

 

Высота цилиндра равна 10см. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9см от нее, равна 240 см². Найдите радиус цилиндра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: цилиндр,

           OO₁=10см

           O₁M=9см

           SABCD=240см²

 

Найти: O₁A

 

Решение:

SABCD=AB×AD

AD= =24см

 

AM= AD=12см

Рассмотрим ∆AO₁M, ∠M=90°

По теореме  Пифагора:

O₁A²=O₁M² + AM²

O₁A²=144+81=225

O₁A=15см

 

Ответ: 15см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №9

 

 

Площадь основания цилиндра равна 25π, а площадь его осевого сечения 40 см. Найдите объем цилиндра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: цилиндр;

S_{основания} =25π

S_{осевого сечения} =40см

 

Найти: V_{цилиндра}

 

Решение:

S_{основания} =πR

R=5

S_{осевого сечения} =2 R×H

2 R×H=40

H=

H=4

V_{цилиндра} =π R²H=25×4 π=100π

 

Ответ: 100π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №10

 

 

Высота цилиндра равна 8см, радиус цилиндра равен 5см. Найдите  площадь сечения цилиндра плоскостью параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: цилиндр,

           R=5см

           H=8см

           O₁M=3см

 

Найти: SABCD

 

Решение:

AB=8см, т.к. высота

Рассмотрим ∆АOM- прямоугольный.

По теореме  Пифагора:

АМ²=O₁A²–O₁M²

АМ²=25-9=16

АМ=4см

Рассмотрим ∆AO₁D-равнобедренный (т.к. AO₁=O₁D как радиусы),тогда O₁M-медиана, следовательно AM=MD

AD =2AM=8см

SABCD =AD×AB=8×8=64см²

 

Ответ: 64см²