Аксіоматика шкільного курсу геометрії

База структури евклідової площини У2 складається з двох множин: Е (множина точок) і F (множина прямих). Основними відношеннями є три відношення: а) «належати» для точок і прямих; б) «лежати між» для трьох точок однієї прямої (якщо точка В лежить між точками А і С, то це ми записуємо так: А – В – С); в) «накладання», тобто бінарне відношення, яке визначається відображенням f: Е → Е.

Система аксіом, яку ми розглядаємо і позначаємо через  ∑_А, складається з п’ятнадцяти аксіом, розбитих на п’ять груп.

І. АКСІОМИ НАЛЕЖНОСТІ.

І₁. Які б не були дві точки, існує пряма, яка проходить через ці точки, і причому тільки одна.

І₂. На кожній прямій лежать принаймні дві точки. Існують три точки, які не лежать на одній прямій.

ІІ. АКСІОМИ  ПОРЯДКУ.

ІІ1. Якщо А  – В – С, то А, В і С – різні точки однієї прямої і С – В – А.

ІІ2. які б  не були точки А і В, існує принаймні  одна точка С, така, що А – В  – С.

ІІ3. Серед  трьох точок прямої існує не більше однієї точки, яка лежить між двома  іншими.

 На основі цих аксіом вводиться поняття відрізка. Відрізком АВ називається множина, яка складається з точок А, В і всіх точок, що лежать між ними. Говорять, що точки А і В лежать по один бік (з різних боків) від прямої а, якщо відрізок АВ не має спільних точок з прямою а (відрізок Ав має тільки одну спільну внутрішню точку з прямою а).

ІІ4. Кожна пряма розбиває множину всіх точок площини, які не лежать на цій прямій, на дві підмножини (на півплощини) так, що довільні дві точки однієї і тієї ж підмножини лежать по один бік від даної прямої, а довільні дві точки різних підмножин лежать з різних боків від цієї прямої.

Користуючись цими аксіомамми, вводиться поняття променя і  доводиться теорема про доповню  вальні промені. Далі вводиться поняття  кута: фігура, яка складається з  точки то двох променів, які виходять з цієї точки, називається кутом. Кут називається розгорнутим, якщо ці промені лежать на одній прямій.

ІІІ. АКСІОМИ НАКЛАДАННЯ.

ІІІ₁. Накладання є ін'єктивне відображення площини в себе.

ІІІ₂. Якщо при накладанні точки А, М, В переходять відповідно в точки А', М', В' і виконується А – М – В, то А'- М'- В'

Означення 2.10. Фігура Ф називається рівною (конгруентною) фігурі Ф', якщо існує накладання, при якому фігура Ф переходить в фігуру Ф'.

Запис Ф=Ф' означає, що фігура Ф рівна фігурі Ф'. фігуру, яка складається з двох точок А і В, позначимо через {А, В}.

ІІІ3. Якщо {А'', В'} = {А, В} і {А'', В''} = {А, В}, то {А', В'} = {А'', В''}.

ІІІ4. якщо дані пара точок {А, В} і промінь h, що виходить з точки  А', то існує одна і тільки одна точка В' променя h, така, що {А, В} = {А', В'}.

Користуючись цими аксіомами, можна довести ряд теорем про  образи фігур при накладанні: при  довільному накладанні відрізок переходить у відрізок, промінь переходить в промінь, кут переходить в кут, причому нерозгорнутий кут – в нерозгорнутий кут. Таким чином можна говорити про рівність кутів.

Означення 2.11. Кут hk називається рівним куту h'k', якщо існує накладання f, таке, що f(h) = h' і  f(k) = k' або f(h) = k' і f(k) = h'.

 ІІІ5. Якщо дані  нерозгорнутий кут hk і прапор (O',h',λ'), то існує один і тільки один промінь k' на півплощини λ', яких виходить з точки О', такий, що <hk = <h'k'. Кожний кут рівний самому собі.

ІІІ6. Якщо нерозгорнутий  кут hk дорівнює куту h'k', то існує накладання, при якому промінь h переходить в  промінь h', а промінь k – в промінь k', і накладання, при якому промінь h переходить в промінь k', а промінь k – в промінь h'.

Означення 2.12. Рухом називається  бієкція площини, при якій довільна пара {А, В} переходить в рівну пару {А', В'}.

Користуючись аксіомами груп І, ІІ, ІІІ, можна довести, що поняття накладання і руху співпадають.

IV. АКСІОМИ НЕПЕРЕРВНОСТІ.

IV1. (аксіома Архімеда). Нехай АВ і СD – які-небудь  відрізки. Тоді на прямій існує скінченна множина точок А1, А2, …, Аn, таких, що виконуються умови:

а) А – А1 – А2, А1 – А2 – А3, …, Аn-2 – Аn-1 – Аn;

б) АА1 = А1А2 = … = А n-1Аn –  СD$

в) А – В – Аn.

Наслідком з аксіом. Перерахованим  вище, є теорія вимірювання відрізків. Зокрема, можна довести, що вибравши одиничний відрізок, можна виміряти довільний відрізок. Таким чином, кожному відрізку ставиться у відповідність додатне число так, що рівним відрізкам відповідає одне і те ж число, а якщо А – В – С, то відрізку АС відповідає число, рівне сумі чисел, які відповідають відрізкам АВ і ВС.

IV2. Для довільного додатного дійсного числа d існує відрізок, довжина якого при вибраному одиничному відрізку дорівнює d.

АКСІОМА ПАРАЛЕЛЬНИХ  ПРЯМИХ.

V. Через точку, що не лежить на даній прямій, в площині, яка визначається прямою і точкою, проходить не більше однієї прямої, яка паралельна даній.

ВИСНОВОК

Теоретичний аналіз психолого-педагогічної, математичної та методичної літератури з проблеми показав, що аксіоматичний метод є культурною спадщиною людства, сформованим в ході його суспільного розвитку, і має величезне значення не тільки в геометрії, де його використання традиційно, але і в інших науках, а також у пізнанні навколишньої дійсності.

 Логічні основи – необхідна умова побудови шкільного курсу геометрії, але їх не слід зводити до аксіоматичного методу. Не треба логічні основи шкільного курсу геометрії пов’язувати тільки з його аксіоматичною будовою. Шкільний курс геометрії будується так,  щоб усі його поняття, означення, класифікації, твердження та їх доведення, задачі тощо подавати відповідно до вимог логіки. Тепер школи використовують підручники з геометрії таких авторських колективів:• Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.; • Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владимирова Н.Г.;• МерзлякА.Г., ПолонськийВ.Б., ЯкірМ.С.; • Апостолова Г.В.; • Єршова А.П., Голобородько В.В. та ін.;• Істер О.С. Вони різні, але логічні основи усіх істотно відрізняються від логічних основ підручників О.В.Погорєлова і А.М.Колмогорова та ін. Жоден з цих підручників не будується на аксіоматичній основі. Це добре, оскільки практика останніх десятиліть переконливо показала, підручник, побудований на аксіоматичній основі, може бути некоректним з погляду логіки, а підручник, в якому аксіоми навіть не згадуються, з погляду логіки може бути цілком коректним, що для загальноосвітніх шкіл, а особливо основної, будувати курси геометрії на аксіоматичній основі недоцільно, що побудовані на аксіоматичній основі підручники геометрії для основної школи не тільки надто важкі, а й надто нецікаві, Для таких шкіл найкраще підходить викладання геометрії на досвідно-дедуктивному рівні (В_), коли явно подається тільки частина аксіом. Але на якому б рівні геометрія не викладалась, на якому б не писалися підручники, завжди слід дотримувати законів логіки та її основних вимог.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия. Ч.ІІ. − М.: Просвещение, 1976.  
2. О.Я. Біляніна, Г.І. Білянін, В.О. Швець Геометрія. – К.: Генеза, 2010.

3. Гильберт Д. Основания геометрии. − М., Гостехиздат, 1948.  
4. Евклид. Начала Евклида, т. I − III, кн. 1 − 15. − М.-Л., Гостехиздат, 1948-1950.  
5. Егоров И.Л. Лекции по аксиоматике Вейля и неевклидовым геометриям. Пособие для студентов.  − Рязань, 1973.   
6. Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Нагибин Ф. Ф.,  Черкасов Р. С.  Геометрия. Учебное пособие для 6 − 8 кл., под редакцией  
7. А. Н. Колмогорова. − М.: Просвещение, 1979.  
8. Погорелов А.В. Основания геометрии. − М.: Наука, 1968.  
9.Погорєлов О.В. Геометрія. Планіметрія. Підручник для 7-9 кл. –К.: Школяр 2005.  
10. Семенович О.Ф. Геометрія. Аксіоматичний метод. −К.: Радянська школа, 1980

11. Інтернет – ресурси: http://archive.nbuv.gov.ua/portal/soc_gum/Dmpd/2008_30/_30/163_167_30_2008.pdf

12. http://www.gymnasia.com.ua/Files/10_klass/Geometria_10_Nelin.pdf