Аксіоматика шкільного курсу геометрії

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

Аксіоматичний метод  – спосіб побудови наукової теорії, за яким в її основу покладені деякі вихідні положення (судження) – аксіоми або постулати, з яких всі інші твердження цієї теорії (теореми) повинні виводитися шляхом чисто логічних міркувань, що їх називають доведеннями. Логічні правила цих міркувань строго фіксовані. В межах теорії залишається невизначеною невелика кількість вихідних понять (хоча можна вважати, що аксіоми є їхніми непрямими означеннями). На основі вихідних понять шляхом явних означень вводяться всі інші поняття теорії. На основі означень і аксіом доводяться теореми.

Найважливішою вимогою  до системи аксіом є її несуперечливість, що можна розуміти так: скільки 6 теорем з цих аксіом ми не доводили, серед них не буде двох теорем, які суперечать одна одній. Суперечлива аксіоматика не може бути основою для побудови змістовної теорії.

У шкільній геометрії важливу роль відіграє аксіоматичний метод. Питання, пов'язані з цим методом, завжди були в центрі уваги математиків. Зародившись в працях давньогрецьких вчених і узагальнений в "Початках" Евкліда, аксіоматичний метод отримав розвиток у роботах Герона Олександрійського (I в. До н.е. - I ст. Н.е.), Порфирія Сирійського (III ст.), Паппа Олександрійського (III ст.), Прокла (V ст.) та ін. Аксиоматичному методу були присвячені роботи вчених Сходу: Ал-Джаухарі, Сабіт ібн Коррі, Ібн Ал-Хайсама, Ал-Біруні, Омара Хайяма та ін.. Особливе розвиток аксіоматичний метод одержав у період Відродження, коли його стали застосовувати до інших областей знання - фізиці, етиці, юридичним наукам. Незважаючи на те, що проблема суворого обґрунтування геометрії на аксіоматичної основі була незалежно один від одного вирішена на рубежі XIX і XX століть у працях М.Піері, Д.Гілберта і В.Ф.Кагана, питання, пов'язані з аксіоматичним методом, залишилися в центрі уваги методичної думки.

Рішення проблеми аксіоматичного побудови шкільного курсу геометрії у  школі ми знаходимо у підручниках М. Є. Ващенко-Захарченко, С.Е.Гурьева, А. Ю. Давидова, А.П.Кіселева, А. Н. Колмогорова, М.М. Нікітіна, А. В. Погорєлова, В.А.Гусева, в роботах авторських колективів Л.С.Атанасян (В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Е.Г.Позняк, І.І.Юдіна); А . Д.Александрова (А.Л.Вернер, В. І. Рижик); Г.П.Бевза (В.Г.Бевз, Н.Г.Владімірова); В.Г.Болтянского (М. Б. Волович, А . Д. Семушина); В.М. Клопскій-го (3. А. Скопець, М. І. Ягодовский); А. Н. Колмогорова (А.Ф.Семеновіч, Р.С.Черкасов); В.Н.Руденко, Г.А. Бахуріна та ін. Тому тема курсової роботи є актуальною, має важливе теоретичне й практичне значення і потребує подальшого розроблення.

Предмет дослідження - аксіоматичний метод в шкільному курсі планіметрії і шляхи формування в учнів умінь продуктивно використовувати його при вивченні геометрії

Мета роботи:  розкрити суть аксіоматичного методу,  логічних основ побудови шкільного курсу геометрії і ретроспектива їх співвідношень на практиці.

Для досягнення поставленої мети потрібно вирішити такі завдання:

1. Розглянути різні підходи до застосування аксіоматичного методу в курсі геометрії та його значення в пізнанні навколишнього світу та навчанні.

2. Обґрунтувати та розробити теоретичні основи вивчення аксіоматичного методу в шкільному курсі планіметрії.

4. Визначити оптимальні умови вивчення основ аксіоматики в навчанні геометрії.

Для досягнення поставлених задач використовувались такі методи дослідження, як інформаційно-пошуковий, порівняльний та статистичний,   критичний аналіз джерел, прогнозування.

Початкові поняття і  аксіоми запозичують з досвіду. Тому очікується, що всі факти, доведені в аксіоматичній теорії, мають тісний зв'язок з життям і можуть бути використані в практичній діяльності людини.

Аксіоматичний метод  широко застосовується в математиці, математичній логіці, у деяких розділах фізики і біології. І все ж за межами логіко-математичних наук сфера його застосування незначна.

 

 

 

 

РОЗДІЛ I. ІСТОРИЧНІ ПІДХОДИ ДО АКСІОМАТИЧНОЇ ПОБУДОВИ ГЕОМЕТРІЇ

1.1. Порівняльна характеристика різних аксіоматик Евклідової геометрії

 

 Історію розвитку аксіоматичного методу можна розділити на три періоди: 

1. Період змістовної аксіоматизації - математична теорія будується на змістовій системі аксіом, тобто аксіоми описують основні властивості, відношення і зв’язки об’єктів деякої визначеної множини. Ці об’єкти мають пряме означення або опис ще до того, як задається список основник аксіом. Доведення здійснюється засобами звичайної формальної логіки.
2. Період  напівформальної  аксіоматизації - об’єкти математичної теорії не визначаються.  Вони вводяться  не  прямо,  а  за   допомогою відповідних аксіом. Система  аксіом  при  цьому  описує  структуру відношень і зв’язків, в яких знаходяться ці об’єкти. В процесі доведень також використовуються засоби формальної логіки.
3. Період  формальної  аксіоматизації – при такій аксіоматизацїї поряд з системою аксіом теорії конструюється система логічних аксіом і правил, що надають логічні засоби для проведення доведень в рамках цієї теорії, тобто в ції аксіоматизації в явному вигляді повинна бути і теорія доведень, яка є складовою частиною математичної логіки.  Ще на початку ІІІ століття до н.е. Арістотель чітко визначив і логічну схему систематичного викладання науки, і суть змістовної аксіоматичної теорії. У   цьому  ж  столітті  з’явились  «Начала» Евкліда [4].  За  «Началами»  протягом  багатьох  століть  геометрію  вивчали  в  усіх  школах.  З  кінця  XV  століття  ця книжка  витримала  більш  як  1500  видань  на багатьох  мовах  світу.  Таким  тривалим  успіхом  не користувалась жодна наукова книга. 

«Начала" Евкліда були зразком логічної строгості до ХІХ ст., хоч вони і     мали цілу серію недоліків. Деякі з недоліків "Начал" були помічені і певною мірою усунуті ще в давнину. Зокрема Архімед доповнив евклідову систему аксіом, а також удосконалив теорію вимірювання довжини площі і об’ємів. Після Архімеда (і аж до XIX ст.) численні спроби уточнити евклідову систему аксіом не внесли в неї нічого принципово нового.

Поряд  з  логічними  недоліками  «Начал»  велику  увагу всіх учених привертав V-й постулат Евкліда, який здавався не таким очевидним, щоб його приймати без доведення. З часів Евкліда і до кінця ХІХ ст.. проблема V-го постулату була однією з найпопулярніших в математиці. Пропонувалися найрізноманітніші його доведення. Проте всі вони були або помилковими, або спиралися на інші твердження, еквівалентні цьому постулату щодо інших аксіом і постулатів Евкліда, або приймалися без доведення. В кінці 60-х років ХІХ ст. перед математиками постала задача побудувати таку аксіоматику елементарної геометрії, на базі якої, опираючись лише на закони логіки, можна було б математично побудувати її теорію без будь-яких посилань на наочність і очевидність.

Відкриття геометрії  Лобачевського двло нове розуміння  аксіоматичного методу і сприяло подальшому аналізу аксіоматичної бази евклідової геометрії. Загальна тенденція до строго математичних доведень, якою відмічені роботи другої половини ХІХ ст., і розв’язання проблеми V-го постулату поставили перед геометрами задачу повного дослідження аксіом геометрії. Ці дослідження показали, що система аксіом Евкліда не досконала, і перш за все, вона не повна, тобто в ній відсутня ціла серія аксіом, необхідних для проведення строго логічних доведень.

У  зв’язку  з  цим  геометри  другої  половини  ХІХ  ст.  доповнили систему аксіом Евкліда рядом нових аксіом. Першими  великими  досягненнями  в  аналізі аксіоматичної  побудови  евклідової  геометрії  стали дослідження німецького математика М. Паша (1843 – 1930) та італійського математика Дж. Пеано (1858 – 1932). М.  Паш  у  «Лекціях  з  нової  геометрії»  (1882р.)  формулює  12  аксіом  належності і порядку, 10 аксіом конгруентності і неперервності, дуже близько підходячи до системи аксіом, достатньої для побудови евклідової геометрії.

Найбільшу увагу він приділяє аксіоматичному опису "порядку" точок на прямій. Дж. Пеано досліджує аксіоматику поняття «рух». Зокрема, йому належить відома аксіома про "ступінь рухомості" площини: існує єдиний рух, який переводить даний репер в інший даний репер. На  межі  XIX  і  XX  ст.  були  побудовані  перші  аксіоматики  евклідової  геометрії,  які  відповідали загальним  вимогам  до  аксіоматичних  теорій  – несуперечливості,  повноти  та  незалежності.  Деякі  з  них відрізнялись  між  

собою  не  тільки  переліком  прийнятих  аксіом,  а  й  різними  підходами  до  

обгрунтування евклідової геометрії. У 1899 р. вийшли в світ праці італійського 

математика М.Пієрі і німецького математика Д. Гільберта. У системі аксіом 

Д. Гільберта одним з вихідних (первісних) понять геометрії є «конгруентність».

М. Пієрі, йдучи  за  своїм  учителем Дж. Пеано, вихідним вважає "рух". Через три роки було опубліковано статтю російського математика В. Ф. Кагана (1869 – 1953), який запропонував метричну аксіоматику [6], в якій одним з основних відношень є " відстань між двома точками".  Дещо пізніше (1918 р.) німецький математик Г. Вейль (1885 – 1955) запропонував точково-векторну аксіоматику евклідової геометрії.  Всі названі системи обґрунтування геометрії формально еквівалентні і кожна із них дає можливість довести всі теореми евклідової геометрії.

Проте  різні  аксіоматики  визначають  різні  науково –методичні підходи до побудови її теорії. Ці дослідження справили величезний вплив на формування сучасного аксіоматичного методу, який став потужнім засобом дослідження у всіх розділах математики. Робота  Гільберта  [3]  «Основи геометрії" (1899 р.), яка у 1904 році була відзначена міжнародною премією ім.. М. І. Лобачевського, по суті завершила цілий історичний етап побудови геометрії аксіоматичним методом.   

Первісними  (не  означуваними)  геометричними  образами  в  аксіоматиці  

Гільберта є точка, прямі і площини, первісні (не означувані) відношення між якимиописуються словами: "належати" або "інцидентні", "лежати між", " конгруентні". Що  таке  точка,  пряма,  площина  і  який  конкретний  зміст вказаних відношень не уточняється.   

Їх  властивості  фіксуються  тільки  в  аксіомах.  Основні  об'єкти  та відношення називають основними   поняттями.   За Гільбертом основні геометричні поняття повинні задовольняти  систему  аксіом , що складається з  п'яти груп: 

І група – 8 аксіом інцидентності. 

ІІ група – 4 аксіоми порядку. 

ІІІ група – 5 аксіом конгруентності. 

ІV група складається з двох аксіом неперервності- аксіоми Архімеда та аксіоми Кантора.

V група містить одну аксіому – аксіому паралельності: через точку А, що не належить прямій ВС, у площині АВС можна провести не більше однієї прямої, яка не перетинає пряму ВС. Легко доводиться, що аксіома паралельності – еквівалент V-му постулату Евкліда. Серед еквівалентів V-му постулату відмітимо і такі твердження: 

1. Якщо при перетині двох прямих третьою відповідні кути рівні, то ці прямі паралельні. 

2. Перпендикуляр і похила до однієї і тієї ж прямої, розміщені в одній площині, завжди перетинаються (твердження Тусі-Лежандра). 

3. Відстані від точок однієї з двох паралельних прямих до другої обмежені (твердження Прокла). 

4. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180. 

5. Існують подібні, але не конгруентні трикутники (твердження Вілліса). 

Основна заслуга Гілберта , дякуючи чому його робота стала класичною, полгає  в  наступному.  Він настільки вдало розбив всю аксіоматику на окремі групи, що логічна структура геометрії стає надзвичайно прозорою.  Таке розбиття аксіом на окремі групи дало можливість формулювати аксіоми найбільш просто і коротко,  вияснити  роль  окремих  груп  аксіом,  досліджуючи  теорію,  яка  базується не на всій аксіоматиці, а на тих чи інших групах аксіом. Запропоновану систему аксіом Гілберт віддав глибокому різнобічному дослідженню. Зокрема, він довів несуперечливість своєї аксіоматики, довів незалежність деяких аксіом, дослідив питання про те, яка геометрична теорія одержується я з тієї чи іншої групи аксіом. У  1909  р.  німецький  математик  Ф.Шур  частково  перебудував систему аксіом Гілберта, включивши  «р у х »   до вихідних понять геометрії. Таким чином, в аксіоматиці Ф. Шура вихідними поняттями евклідової геометрії є: "точка", "пряма", "площина", «належати" , «лежати між» та «рух». Аксіоматика Ф. Шура для евклідової геометрії складається з аксіом І, ІІ, ІV і V груп системи Гілберта і аксіом руху, які замінили ІІІ групу гілбертових аксіом конгруентності.

Основними  поняттями  в  аксіоматиці  В. Ф. Кагана   вважаються:  

«точка»,  «відстань»,  «рух».  Їх властивості описуються в 10-ти аксіомах. [6]. Починаючи  з  другої  половини  ХІХ  ст.  в  математиці  та  її застосуваннях почали широко використовувати поняття вектора та векторного простору.    

У  1918  р.  німецький  математик  Г.Вейль запропонував схему побудови евклідової геометрії на точково-векторній базі [5]. 

За  вихідні  геометричні  поняття  в  аксіоматиці  Г. Вейля  приймаються  такі:«вектор»,  «точка»,  «сума векторів»,  «добуток  вектора  на  дійсне  число,

властивості яких фіксуються в наступних групах аксіом: 

І. Аксіоми додавання векторів.