Контрольная работа по "Логике"

Можно установить некоторые условия  достоверности таких выводов  и в том случае, когда у нас  нет дифференциальных уравнений, описывающих  сравниваемые системы. Совершенно очевидно, что вывод о том, что если два  отношения сосуществуют в модели, то они будут сосуществовать и  в прототипе, будет вполне достоверным  в том случае, если это сосуществование целиком определяется характером этих отношений самих по себе и не зависит от того, на каких именно объектах эти отношения реализованы.

Можем ли мы знать об этом? В некоторых  случаях можем. Если одно отношение  является логическим следствием другого, то это означает, что связь между  отношениями имеет место совершенно независимо от тех объектов, которые  являются носителями этих отношений. Этот тезис, как мы уже знаем, является наиболее фундаментальной предпосылкой логики гак формальной науки.

Использование модели связано с  тем, что в ней связь между  отношениями может быть гораздо  более ясной, более отчетливой, чем  в прототипе. Рассмотрим пример: “Все люди смертны. Ангелы не люди, значит, ангелы не смертны”.

Мы не знаем, смертны ли ангелы на самом деле. И не этот вопрос нас  сейчас интересует. Нас волнует другое — вытекает ли следствие из посылок? Самим нам нетрудно это определить с помощью правил силлогизма. Здесь  первая фигура. Меньшая посылка но правилу должна быть утвердительной, а она — отрицательна. Но, представьте  себе, есть такие люди, которые не знают правил силлогизма. Как им объяснить, что умозаключение неправильно? Нет в этом случае лучшего средства, чем реляционная аналогия.

Наш силлогизм — это прототип аналогии. Построим модель, то есть подберем умозаключение с точно таким  же строением, как прототип, но такое, чтобы отношение “не следует” между его посылками и заключением  было возможно более очевидным. Например, можно подобрать такой силлогизм: “Все помидоры — овощи. Огурцы не помидоры, значит, огурцы не овощи”. Вывод здесь  явно не вытекает из посылок. Этот результат  переносим на прототип. И здесь  вывод не вытекает из посылок. Наш  результат не только вероятен. Он вполне достоверен, поскольку и модель, и прототип имеют одно и то же логическое строение.

К сказанному выше добавим еще два  условия, выполнение которых повышает вероятность вывода, хотя и делает его менее ценным: отношение, общность которого модели и прототипу является основанием вывода, должно быть возможно более богатым по своему содержанию, отношение, переносимое с модели на прототип должно быть, наоборот, бедным по своему содержанию. Вероятность истинности заключения будет тем больше, чем сильнее основание и слабее следствие. Нетрудно заметить, что эти правила аналогичны рассмотренным выше четвертому и пятому правилу вывода по аналогии типа нарадейгмы.

Перейдем к рассмотрению вопроса  об условиях правомерности выводов  по аналогии типа изоморфизма.

Для того, чтобы сформулировать эти  условия, представим модель и прототип, т. е. ιa и ιιа как некоторые множества элементов, между которыми устанавливаются соответствующие множества отношений. Важнейшим условием правомерности отождествления отношений в модели и прототипе является условие однозначности соответствия, согласно которому коррелятор, т. е. то отношение, которое охватывает модель и прототип вместе взятые, сопоставляет каждому элементу прототипа один и только один элемент модели и, наоборот, каждому элементу модели — один и только один элемент прототипа. Кроме того, отношения между соответствующими элементами модели и прототипа должны взаимно-однозначно соответствовать друг другу.

Наличия такого рода соответствия вполне достаточно для решения многих задач, особенно в сфере математики, где  не ставится целью определение условий  тождества отношений, поскольку  аксиомы математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией всегда только “с точностью  до изоморфизма”. Однако вне пределов математики нас чаще всего интересует установление именно тождества отношений, для чего приведенное условие  не является достаточным. Рассмотрим такой  пример. Пусть на автостоянке стоит  дюжина автомобилей. Определим расстояния между ними и пойдем домой. Здесь  возьмем дюжину детских кубиков  и разбросаем их в беспорядке по полу. Определим расстояния между  кубиками. Легко установить взаимно-однозначное  соответствие между элементами множества  автомобилей и элементами множества  кубиков. Далее, отношения между  элементами одной системы здесь  будут соответствовать отношениям между соответствующими элементами другой.

Тем не менее, отношения между автомобилями и кубиками не тождественны друг другу. Нам даже не хочется считать множество кубиков моделью множества автомобилей. Слишком уж легко такая модель построена! Совершенно очевидно, что для того, чтобы отношения в модели и прототипе были тождественными, необходимо усиление сформулированного выше условия. К нему нужно что-то добавить, а именно требование, согласно которому тождественным отношениям прототипа должны соответствовать тождественные отношения модели и наоборот.

Иными словами, если какие-либо отношения, определенные на различных подмножествах прототипа, тождественны друг другу, то отношения, определенные на соответствующих подмножествах модели, также должны быть тождественны друг другу и наоборот.

Например, пусть расстояние между  второй и третьей машиной на нашей  автостоянке равно расстоянию между  пятой и двенадцатой. Тогда расстояние, конечно же, совсем другое, между  вторым и третьим кубиком должно быть равно расстоянию между пятым  и двенадцатым кубиком. Допустим, что все автомобили расположены  на разных расстояниях друг от друга. Но и тогда есть тождественные  отношения — скажем, треть расстояния от третьей до четвертой машины равно  пятой части расстояния между  шестой и восьмой. Здесь мы исходим  из того, что, если расстояние между  предметами представляет собой отношение  между ними, то часть этого расстояния так же — отношение.

Расположить кубики так, чтобы это  расположение удовлетворяло сформулированному  выше условию, – отнюдь не простая  задача. Но если мы ее решим, то получим  адекватную модель отношений на автостоянке. Отношения в такой модели можно  переносить на прототип.

Наше правило, однако, имеет границы  применимости. Модель и прототип могут  иметь всего одно, причем неразложимое отношение. Тогда требование соответствия тождественных отношений в модели тождественным отношениям в прототипе  утрачивает свой смысл. Тем не менее, когда разложение отношений возможно, наше правило применимо и для простейшего изоморфизма — пропорции. В рассмотренной выше пропорции сравниваются 9/6 (модель) с 12/8 (прототип). Здесь есть взаимно-однозначное соответствие элементов 9-12 и 6-8. Отношение в модели можно представить как сумму трех отношений: 3/6 + 3/6 + 3/6. В прототипе будем иметь 4/8 + 4/8 +4/8.

Мы видим, что тождественным  отношениям модели соответствуют тождественные друг другу отношения прототипа. Эго дает нам основание утверждать тождественность отношений модели и прототипа, что выражается в пропорции 9/6 = l2/8.

Не следует считать сформулированное выше правило единственным условием достижения правомерности выводов  по аналогии типа изоморфизма. Существуют и другие правила, выполнение которых  делает эти выводы достоверными или  хотя бы более вероятными. Но их рассмотрение не входит в нашу задачу

Последний тип выводов по аналогии, который мы рассматриваем, это аналогия следствий. Важное условие правомерности аналогии такого типа было установлено погибшей в гитлеровском концлагере польским логиком Яниной Линденбаум-Хосьяссон. Оно формулируется в виде следующего правила: вероятность вывода об одном следствии не должна уменьшаться после осуществления другого следствия в предположении, что общее основание является ложным.

Для того, чтобы это правило стало  более понятным, приведем такой анекдот. В старой, еще царской армии  два офицера, назовем их Голицыным  и Оболенским, заспорили: чей денщик больше хлеба съест. И вот, устроили соревнование. Денщик Голицына съел 10 булок, а денщик Оболенского всего  лишь 6. Оболенский был крайне удивлен. Он только что тренировал своего денщика, который в это утро съел 20 булок  и вот теперь — такой конфуз! Но удивляться было нечему — ведь он нарушил приведенное выше условие  Линденбаум-Хосьяссон. Основанием является предположение о крайне большом  аппетите денщика. Из этого основания  выводятся два следствия —  много съест за завтраком, много  съест во время соревнований. Но если отвлечься от основания, предположив его ложным, то ясно, что реализация одного из следствий снизит вероятность реализации другого. Поэтому надежды Оболенского на победу были логически не обоснованы.

Иное дело — Абу-Нувас. Там с  правилом аналогии следствий все  было в порядке. Тот факт, что котел  родил, никак не мог помешать этому  котлу умереть. Мало того, аналогия Абу-Нуваса вполне достоверна, поскольку  только живое существо способно родить. Значит, в этом случае аналогия следствий  превращается в дедуктивное умозаключение.

Выше, когда мы рассматривали дедуктивные  умозаключения, то категорически запрещали  вывод от утверждения следствия  к утверждению основания. Такой  вывод рассматривался как грубая логическая ошибка. И мы были совершенно правы. Это действительно логическая ошибка, поскольку истинность основания не вытекает из истинности следствия.

Однако не менее грубой логической ошибкой являются и выводы, получаемые с помощью неполной индукции через  перечисление. Но мы во многих случаях  вынуждены их применять, стараясь компенсировать качественные дефекты умозаключения  количеством фактов и применением  метода их отбора. То же самое можно  сказать и о выводе от утверждения  следствия.

Выдвигая ту или иную гипотезу (от греч. hypothesis — основание, предположение), мы можем применять самые различные умозаключения для ее обоснования. В зависимости от типа гипотезы, это может быть и дедуктивное умозаключение, и индукция, и аналогия. Но часто ничего не остается, как нахождение следствий из гипотезы и их проверка. Например, кому-то пришло в голову, что Наполеон не умер своей смертью на острове Святой Елены, а его отравили англичане. Это гипотеза. Ее нельзя вывести дедуктивно из злокозненности англичан. Конечно, англичане, как и немцы, и русские, и другие народы Европы, имели основания не любить Наполеона, но отсюда еще не следует, что они его отравили. Но вот в волосах Наполеона был обнаружен мышьяк. Наличие мышьяка в волосах можно рассматривать как следствие того, что Наполеона отравили мышьяком. И этот факт многими рассматривался как доказательство гипотезы. И все же вывод по схеме условно-категорического силлогизма: “Если Наполеона отравили мышьяком, в его волосах должны быть следы мышьяка. В его волосах есть следы мышьяка. Значит, его отравили” неправомерен, несмотря на всю его убедительность. Эта неправомерность связана с тем, что следствие может найти иное объяснение, не предполагающее истинность гипотезы. Так и случилось. Оказалось, что он жил в комнате, оклеенной обоями, а обои в те времена клеили клеем, содержащим мышьяк.

Ну, а если проверить не одно, а  массу, огромное количество следствий, докажет ли это гипотезу? Долгое время казалось, что это действительно  так. Но уже в наше время был  обнаружен так называемый парадокс подтверждения, о котором мы сейчас расскажем.

Выдвинем совершенно абсурдную  гипотезу, например, “Луна сделана из зеленого сыра”. Получим из нее следствие с помощью операции противопоставления предикату (контрапозиции), которую мы разбирали выше, в соответствующем месте, т. е. в разделе о непосредственных умозаключениях. Это следствие имеет вид: “Ничто не сделанное из зеленого сыра не есть Луна”. Правильно ли это? Проверим фактами. Берем оперный театр. Он не сделан из зеленого сыра и не есть Луна. Берем Крым. Он не сделан из зеленого сыра и не есть Луна. Берем логику. Она не сделана из зеленого сыра и не есть Луна. Понятно, что список этих фактов можно продолжать до бесконечности. И все они — следствия нашей гипотезы. Почему же, несмотря на целый монблан фактов, читатель не верит в нашу гипотезу? А если не верит, то что же нам делать с гипотезами?

Надежда все же появится, если мы сведем проблему обоснования гипотезы к  проблеме правомерности индуктивного вывода через перечисление. Для этого  поставим вопрос: может ли какое-либо утверждение быть ложным, если все следствия этого утверждения являются истинными? Отрицательный ответ на этот вопрос представляется очевидным. Хотя мы получили монблан истинных следствий из заведомо ложного положения, легко вообразить себе и ложные следствия. Например, если бы Луна была сделана из зеленого сыра, космонавт Армстронг мог бы привезти образец этого сыра на Землю. Но он не привез его.

Как можно убедиться в том, что все следствия данного положения истинны? Здесь мы имеем типично индуктивную задачу и можем использовать те правила повышения вероятности вывода по неполной индукции, которые были разобраны выше.

Первое правило — число исследованных  объектов должно быть как можно большим. В данном случае речь идет о числе  следствий. Мы видели, что это правило  само по себе мало что значит. Вспомним короля Сиама, которым имел в своем  распоряжении очень много фактов, свидетельствующих о том, что  вода зимой не становится твердой. Вся  беда в том, что все эти факты  однотипны. Они взяты из опыта  тропических стран. Наши факты, подтверждающие гипотезу о Луне как зеленом сыре, так же оказались однотипными. Все  они имеют одно и то же логическое строение. Нам нужны разнообразные  не только в материальном, но и в  логическом плане следствия, т. е. необходимо выполнение второго правила индукции. И, наконец, следствия должны быть характерными именно для данной гипотезы. Лучше  всего было бы получить такое следствие: попробовали — вкусно! Тогда мы посрамили бы любою скептика, сомневающегося в нашей гипотезе.

3. Роль аналогии в науке и практике.