Свойства правильных многогранников

Содержание

Введение……………………………………………………………...…………2

1..Определение правильного многогранника. Виды  правильных многогранников………………………………………………………………….…..3

        1.1.Тетраэдр и его свойства…………………………………………...….5

        1.2 .Гексаэдр и  его  свойства…………………………………….……..10

        1.3.Октаэдр и его свойства ………………………………………...…..13

        1.4.Икосаэдр и его свойства………………………………………...…..16

        1.5. Додекаэдр и его  свойства…………………………………………..19

2.Формула Эйлера…………………………………………………………....22

3.  Доказательство  существования пяти  правильных  многоугольников..24

4 Полуправильные многогранники………………………………………….26

Заключение…………………………………………………………………….30

Список  используемой литературы………………………………………….31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Мир наш исполнен симметрии.   С древних времен  с  ней связаны наши  представления о красоте.  Наверное, этим объясняется  непреходящий   интерес человека  к правильным  многогранникам -  удивительным  символам симметрии,  привлекавшим внимание множества  выдающихся мыслителей, от  Платона до  Евклида, до Эйлера и Коши.

Названия правильных многогранников пришли  из Греции. В  дословном  переводе с греческого « тетраэдр», «октаэдр», « гексаэдр», « додекаэдр», «икосаэдр» означают:   «четырехгранник», « восьмигранник», « шестигранник», «двенадцатигранник». Этим красивым телам посвящена 13-я книга «Начал» Евклида. Их еще  называют  телами  Платона,  т.к. они  занимали  важное  место в  философской концепции Платона  об устройстве  мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или  «стихии».  Тетраэдр  символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр-воду,  т.к.  он   самый «обтекаемый»; куб- землю, как самый «устойчивый»;  октаэдр- воздух,  как самый «воздушный». Пятый многогранник, додекаэдр,  воплощал в себе « все сущее»,  символизировал  все мироздание, считался главным.(7,с340)

Актуальность данной  темы  можно объяснить тем,  что  человек проявляет  интерес  к  многогранникам  на протяжении всей своей сознательной деятельности- от маленького ребенка,  который играет с кубиками, до взрослого человека. Некоторые многогранники встречаются в природе в виде кристаллов или вирусов, пчелы строят соты в виде шестиугольников.

Правильные многогранники  сами по себе очень интересные фигуры. Знание  свойств многогранников может помочь  при  решении задач, в том числе  с практическим содержанием. Одно  из самых  главных свойств  -это симметрия, благодаря  ей многогранники выглядят  так красиво и необычно.  Поэтому многогранники могут использоваться для развития пространственного  воображения  у учащихся.

1.Определение правильного многогранника.

Виды  правильных многогранников.

МНОГОГРАННИК, часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем, вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника

Многогранник называется выпуклым, если ни один прямолинейный отрезок, соединяющий любые две его точки, не содержит точек, принадлежащих внешнему пространству

Выпуклый многогранник называется правильным, если он удовлетворяет следующим двум условиям:

-  все его грани – конгруэнтные правильные многоугольники;

-  к каждой вершине примыкает одно и то же число граней.

Если все грани – правильные р-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p, q}. Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814–1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе.

Существуют невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются и которые называются «правильными звездчатыми многогранниками». Условимся такие многогранники не рассматривать, а под правильными многогранниками мы будем понимать исключительно выпуклые правильные многогранники.

Существует пять  видов  правильных многогранников (рис 1.)

рис.1

 

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В  дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

Рассмотрим эти  многогранники  поподробнее.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1.Тетраэдр и его свойства.

Тетраэдр (от  «тетра»-четыре и греческого «hedra» - грань) — многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Два ребра тетраэдра, которые не имеют общих вершин, называются противоположными.

 

 

 

 

 

 

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.

Отрезок, соединяющий  середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.

Отрезок, соединяющий  вершину с точкой противоположной  грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

У каждого из пяти платоновых тел  можно определить следующие математические характеристики: 
1. Радиус сферы описанной вокруг многогранника; 
2. Радиус сферы вписанной в многогранник; 
3. Площадь поверхности многогранника; 
4. Объем многогранника.

Определим эти характеристики для тетраэдра.

Радиус описанной    сферы  тетраэдра

      ,где а-  длина стороны.

                                         

Радиус вписанной  сферы тетраэдра

 

 

Площадь поверхности тетраэдра                                                                                                                                                                                                                                                                                                     Для наглядности площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки.

 

 

 

 

 

Объем тетраэдра

 

 

 

 

Свойства правильного  тетраэдра:

• Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
• Каждая его вершина является вершиной трех треугольников.            А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна 180º
• В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре    (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
• Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра            (в центре) и четырёх тетраэдров (по вершинам), причем ребра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше ребер правильного тетраэдра
• Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
• Правильный тетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
• Тетраэдр не имеет  центра симметрии,  но имеет 3 оси симметрии     и 6  плоскостей симметрии.

 

Приведем примеры  использования свойств  многогранника при решении задач.

 

Задача 1.

Доказать, что скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра  взаимно перпендикулярны.

Решение:

Пусть DH – высота правильного тетраэдра, точка H – центр правильного ΔABC. Тогда проекцией отрезка AD на плоскость основания ABC будет отрезок BH. Т.к. BH^AC, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная BD ^ AC.

Задача 2.

Дан правильный тетраэдр МАВС с ребром 1. найдите расстояние между прямыми AL и МО, где L-середина ребра МС, О-центр грани АВС.

Решение:

1. Расстояние между двумя скрещивающимися  прямыми - это длина перпендикуляра, опущенного из одной прямой, к плоскости, параллельной этой прямой и содержащей вторую прямую.

2.Строим проекцию AK отрезка AL на плоскость ABC. Плоскость AKL перпендикулярна плоскости ABC, параллельна прямой MO и содержит прямую AL. Значит, искомая длина - это длина перпендикуляра ON, опущенного из точки O к AK.

3. Найдем S_ΔKHA двумя способами.

S_Δ= .

 

С другой стороны: S_ΔKHA=

поэтому ρ  .

Найдём ON:   ρ =   .

 

 

Задача 3.

Каждое ребро треугольной  пирамиды PABC равно 1; BD – высота треугольника ABC . Равносторонний треугольник BDE лежит в плоскости, образующей угол ϕ с ребром AC , причём точки P и E лежат по одну сторону от плоскости ABC . Найдите расстояние между точками P и E .

Решение. Поскольку все рёбра пирамиды PABC равны, это правильный тетраэдр. Пусть M– центр основания ABC , N – ортогональная проекция вершины E равностороннего треугольника BDE на плоскость ABC , K – середина BD , F – основание перпендикуляра, опущенного из точки E на высоту PM тетраэдра PABC . Так как EK   BD , то по теореме о трёх перпендикулярах NK   BD , поэтому EKN – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BDE , а т.к. NK || AC , то   EKN = ϕ . Далее имеем:

BD =  , MD =  , KD =  , BD =  , PM =  ,

KM = KD - MD =   -   =  , EK = BD·   =  , EN = EK sin ϕ =   sin ϕ,

NK = EK cos ϕ =   cos ϕ, MN2 = NK2 + KM2 =   cos 2ϕ +  ,

PE2 = EF2 + PF2 = MN2 + (PM - MF)2 = MN2 + (PM - EN)2 =

=   cos 2ϕ +  + (  -   sin ϕ)2 =   cos 2ϕ +   +   -    sin 2ϕ=

=   +   +   -   sin ϕ =   -   sin ϕ =   -   sin ϕ.

Следовательно,

 

PE =  = .

 

 

1.2.Гексаэдр и его свойства.

 Гексаэдр ( от греческого ,,гекса” – шесть и ,,hedra” – грань) — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Гексаэдр больше известен как куб (от латинского ,,cubus”; от греческого ,,kubos”).

 Куб составлен из  шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270.Куб имеет  6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

 

 

 

 

 

 

Свойства куба:

• Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками — эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
• В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным.
• В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
• Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
• В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра — внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

 

Диагональю куба называют отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба. Диагональ куба находится по формуле     Где d - диагональ, а - ребро куба.

Математические  характеристики куба

 

Радиус описанной  сферы куба

 

Радиус вписанной  сферы куба

 

 

Площадь поверхности куба 

       

Для наглядности площадь поверхности куба можно представить в виде площади развёртки.

 

 

 

Объем куба

 

 

 

Рассмотрим  задачи, при  решении которых используются свойства куба.

Задача  1. В кубе с ребром a найти угол между ребром и диагональю ,не пересекающей его грани. 

Решение:  Грань, не пересекающая ребро куба, параллельна ему. Следовательно угол между диагональю этой грани и ребром, равен углу между диагональю параллельной грани (содержащей это ребро) и самим ребром. То есть 45^o.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.Октаэдр  и его свойства.

Октаэдр (от греческого okto – восемь и hedra – грань)- правильный многоугольник  составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая  вершина  октаэдра  является  вершиной четырех  треугольников.

Сумма плоских углов  при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.