Спецглавы математики

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

«Уральский государственный  горный университет »

Инженерно-экономический факультет

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: «СПЕЦГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ»

 

 

 

 

 

Руководитель

Работы:

Нестеров Г.С.

Студент:

Сергеев Д.В.

Группа:

ЦАСК – 10(з)

 

 

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург 2012

Содержание

Введение

1. Описание объекта………………………………………………………………………………….4
2. Метод решения задачи…………………………………………………………………………6
3. Задача (вариант1)………………………………………………………………………………….7

Заключение

Литература

 

Введение

В практических приложениях линейного математического программирования чаще всего встречаются «транспортные задачи», которые объединяют широкой круг задач с единой математической целью. Огромное количество возможных вариантов перевозок, затрудняет нахождение более экономичного плана. Применение математических методов в планирование дает существенный экономический эффект. Для решения транспортной задачи разработаны специализированные методы. Эти методы позволяют найти оптимальное решение. Задача может быть представлена в сетевой и матричной форме. В данной курсовой работе задача решена средствами Ms Excell.

 

Описание объекта

Карьер

Если месторождение  находится вблизи дневной поверхности, то подготовка и выемка полезного  ископаемого производится с поверхности  земли. Открытый способ  добычи позволяет использовать высокоэффективные средства разработки месторождения, машины и механизмы без ограничения их размеров, что обеспечивает более низкую себестоимость и более высокую производительность по добычи по сравнению с подземными работами.

Шахты

Основной процесс это  добыча угля и его транспортирование  от забоя до транспортных путей или  к потребителю. В последнее время  наблюдается изменение как в  способах так и технических средствах  добычи и транспортировки угля. Прежде всего процесс добычи угля становится однооперационным.

Обогащение угля

Наряду с ростом добычи растет количество угля направленное на обогощение, сортировку и брекетирование. Непрерывный рост обогащения угля в  России связан с требованиями повышения  качества поставляемого продукта. Вместе с тем из-за повышения сложности добычи угля у других внешних факторов качество снижается.

Классификация методов  и процессов обогащения угля

Различают следующие  методы обогащения угля:

- гравитационный

- флотационный

- специальный

Каждый из приведенных методов включает ряд процессов основанных на физических и физико-химических свойствах, по которым производится разделение материала.

  Гравитационный метод основан на использование различий плотности материалов. Он включает в себя следующие процессы:

- обогащение в тяжелых  средах

- отсадка

- обогащение в струе  воды, текущей по наклонной плоскости

Флотационный метод  обогащения основан на использование  различий и естественной, или создоваемой  реагентами смачеваемости материалов. Флотация подразделяется на следующие процессы:

- пенная флотация

- пенная сепарация

- масляная флотация

- пленочная флотация

В данной курсовой работе нужно найти оптимальный план перевозок угля от шахт и карьеров.

 

1. Метод решения задачи

Метод линейного программирования используется в случае, когда целевая функция y = f₁(x₁,x₂…x_n) и ограничение z= f(x₁,x₂…x_n)≤0. Задача линейного программирования заключается в нахождении x₁,x₂…x_n минимизирующих данную линейную функцию y и  линейные ограничения. Допустимым решением задачи является нахождение x₁,x₂…x_n, удовлетворяющим ограничениям. Допустимое решение, минимизирующее  целевую функцию, называется оптимальным решением.

Оптимальное решение, если оно существует, зачастую является верным и единственным. Процесс решения  задачи состоит из следующих этапов:

1. Выделение свойств, величин, качеств
2. Введение неизвестных.
3. Создание целевой функции
4. Введение системы ограничений
5. Решение задачи на компьютере

 

Задача (вариант 1)

Угольные шахты (ш) и карьеры (к) отправляют руду на обогащение на фабрики (ф).

Задано: стоимость  добываемого угля С_ш и С_к (руб./т), расстояние перевозки угля L (км) от шахт и карьеров, стоимость перевозки С_д (руб/т*км). Заданы объемы добычи угля шахтами и карьерами (тыс. т/год) и количество добывающих предприятий (шахт – n, карьеров – m); задано количество и производительность обогатительных фабрик. Цена продаваемого после обогащения угля (Ц, руб./т) зависит от его зольности С_ф, стоимости добычи С_ш или С_к и стоимости доставки С_д

Ц = С_ф+ С_ш + С_к + L

 

Задание:

1. Найти оптимальный план перевозки угля от добывающих предприятий до фабрик, обеспечивающих минимальную цену продаваемого угля.
2. Найти оптимальный план производства угля, обеспечивающий максимальную прибыль от его продажи, когда рыночная цена Ц_р угля задана.
3. Оптимальность расчетных планов подтвердить альтернативными вариантами.

 

Решение:

Сведем исходные данные в таблицы.

Таблица 1 – Объем добычи угля, млн. т/год

Ш1	Ш2	Ш3	Ш4	К1	К2
1,2	1,3	0	1,5	0	3,5

 

Таблица 2 – Объем переработки угля, млн. т/год

Ф1	Ф2	Ф3
1,8	2,2	3,5

 

 

 

Таблица 3 – Расстояние перевозки угля, км

	ш1	ш2	ш3	ш4	К1	К2
Ф1	5	5	7	11	13	15
Ф2	9	8	4	8	10	12
Ф3	11	10	8	5	7	18

 

Таблица 4 – Стоимость добычи угля, руб./т

Ш1	Ш2	Ш4	К2
420	500	480	250

 

Таблица 5 – Стоимость обогащения угля, руб./т.

Ф1	Ф2	Ф3
200	180	160

 

Стоимость транспортировки  – 15 руб./км. Рыночная цена угля от 1500 до 2000 руб./т. При расчетах рассмотреть несколько вариантов.

Для решения  задачи необходимо вычислить себестоимость угля, готового к продаже:  Ц = С_ф+ С_ш + С_к + L

Таблица 6 – Себестоимость угля, руб./т

	Ш1	Ш2	Ш4	К2
Ф1	695	775	845	675
Ф2	735	800	780	610
Ф3	745	810	715	680

 

Для поиска решения  введем переменную х_n:

X₁₁ – количество угля перевозимого с из шахты 1 на фабрику 1;

X₁₂ – количество угля перевозимого с из шахты 1 на фабрику 2;

X₁₃ – количество угля перевозимого с из шахты 1 на фабрику 3;

X₂₁ – количество угля перевозимого с из шахты 2 на фабрику 1;

X₂₂ – количество угля перевозимого с из шахты 2 на фабрику 2;

X₂₃ – количество угля перевозимого с из шахты 2 на фабрику 3;

X₃₁ – количество угля перевозимого с из шахты 4 на фабрику 1;

X₃₂ – количество угля перевозимого с из шахты 4 на фабрику 2;

X₃₃ – количество угля перевозимого с из шахты 4 на фабрику 3;

X₄₁ – количество угля перевозимого с из карьера 2 на фабрику 1;

X₄₂ – количество угля перевозимого с из карьера 2 на фабрику 2;

X₄₃ – количество угля перевозимого с из карьера 2 на фабрику 3;

Составим целевую функцию  – она заключается в минимизации плана перевозок (т/км) от шахт и карьеров на обогатительные фабрики:

У = 695*X₁₁ + 735*X₁₂ + 745*X₁₃ + 775*X₂₁ + 800*X₂₂ + 810*X₂₃ + 845*X₃₁ + 780*X₃₂ + 715*X₃₃ + 675*X₄₁ + 610*X₄₂; + 680*X₄₃;

Определим имеющиеся  ограничения:

1. X₁₁+ X₁₂ +X₁₃=1 200 000;
2. X₂₁+ X₂₂ +X₂₃=1 300 000;
3. X₃₁+ X₃₂ + X₃₃=1 500 000;
4. X₄₁+ X₄₂+ X₄₃=3 500 000;
5. X₁₁+X₂₁ +X₃₁+X₄₁ ≤1 800 000;
6. X₁₂+X₂₂+X₃₂+X₄₂  ≤2 200 000.
7. X₁₃+X₂₃+X₃₃+X₄₃  ≤3 500 000.

Добываемое  и обрабатываемое количество угля не может быть отрицательным, поэтому  необходимо добавить еще ряд ограничений:

1. X₁₁ ≥ 0;
2. X₁₂ ≥ 0;
3. X₁₃ ≥ 0;
4. X₂₁ ≥ 0;
5. X₂₂ ≥ 0;
6. X₂₃ ≥ 0;
7. X₃₁ ≥ 0;
8. X₃₂ ≥ 0;
9. X₃₃ ≥ 0;
10. X₄₁ ≥ 0;
11. X₄₂ ≥ 0;
12. X₄₃ ≥ 0;

 

Теперь можно  приступить к решению задачи на компьютере:

1. В ячейки А2, А3, A4 занесем количество угля обогащаемого на фабриках, т/год;
2. В ячейки А5, А6, А7, А8 занесем количество угля добываемого на шахтах и карьерах, т/год;
3. В ячейки С1:N1 занесем начальные значения неизвестных X₁₁, X₁₂, X₁₃ … , X₄₃ (нули);
4. В ячейках диапазона С2:N8 разместим таблицу коэффициентов основных ограничений.
5. В ячейках с В2:В7 укажем формулу для расчета ограничений. В ячейке В2 формула будет иметь вид:

=$C$1*C2 + $D$1*D2 + $E$1*E2 + $F$1*F2 + $G$1*G2 + $H$1*H2 + $I$1*I2 + $J$1*J2 + $K$1*K2 + $L$1*L2 + $M$1*M2 +$N$1*N2

6. В ячейку K1 занесем формулу целевой функции: =695*C1+735*D1+745*E1+775*F1+800*G1+810*H1+845*I1+780*J1+715*K1+675*L1+610*M1+680*N1.

После внесения всех данных, рабочее поле таблицы MS Excel будет выглядеть следующим образом:

 

7. Во вкладке «Данные» выберем функцию «Поиск решений». В появившемся окне необходимо установить целевую ячейку (O1), задать диапазон неизвестных (С1:N1), установить ограничения. После занесения всех данных диалоговое окно «Поиск решения» примет вид:

 

 

 

8. Нажимаем на кнопку «Выполнить». Откроется окно «Результаты поиска решения»:

Таблица 7

Построим схему  перевозок

 

 

 

 

Схема 1

 

Минимальные транспортные расходы возможны при условии  снижения объема переработки угля до 7,1 млн. тонн в год.

В результате решения  задачи были определены оптимальные  значения переменных: оптимальный план перевозки угля от добывающих  предприятий  до фабрик, обеспечивающих минимальную  цену продаваемого угля.

Для того чтобы  найти оптимальный план производства угля, обеспечивающий максимальную прибыль от его продажи, при рыночной цене 1500 тыс. за тонну, необходимо найти годовой объем продаж.

Годовая выручка = 1500*7100000=10 650 000 000 руб./год

Целевая функция:

У = 10 650 000 000 – (695*C1 + 735*D1 + 745*E1 + 775*F1 + 800*G1 + 810*H1 + 845*I1 + 780*J1 + 715*K1 + 675*L1 + 610*M1 + 680*N1);

Установим переключатель  «равной» по максимальному значению. Ограничения остаются прежними:

После нажатия кнопки «выполнить»  получаем результаты поиска решения.

 

Таблица 8

Максимально возможная прибыль составит 5 763 500 000 руб. в год, при рыночной стоимости угля 1500 руб. за тонну и при следующей схеме перевозки угля:

Схема 2

 

 

 

При рыночной стоимости  угля 1750 руб. за тонну максимальная прибыль составит 6 546 000 000 руб. в год.

При рыночной стоимости  угля 2000 руб. за тонну максимальная прибыль составит 9 321 000 000 руб. в год.

Увеличение  рыночной цены продаваемого угля на 30% позволит увеличить максимальную прибыль на 60%, при этом схема поставки угля не изменится.

Для того, чтобы доказать, что найденное решение является оптимальным, рассмотрим альтернативный вариант решения задачи.

Предположим, что обогатительные фабрики обрабатывают максимальное количество поставляемого угля, что составляет порядка 7,5 млн. т/год. Максимальная прибыль, при рыночной цене 1500 руб./т составит 11 250 млн. руб. в год. Целевая функция для определения оптимального плана перевозок в данном случае останется прежней: