Система упражнений, способствующих повышению мышления школьников при обучении математике

Квантор общности.

Пусть А(х) - предикат от одной переменной х. Под выражением

будем подразумевать высказывание, истинное, если А(х) принимает значение истины для всех допустимых значений переменной х, т. е. если предикат А(х) тождественно истинен, и ложное в противном случае. Высказывание уже не зависит от х. Символ , приписываемый слева к предикату А(х), называется квантором общности по переменной х. Если же А есть высказывание, то есть высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А истинно.

Квантор существования.

Для квантора существования  употребляется символ , приписываемый слева к предикату или высказыванию. Пусть А(х) — предикат от одной переменной х. Под выражением будем подразумевать высказывание, истинное, если А(х) принимает значение истины хотя бы для одного из допустимых значений переменной х, т. е. предикат А(х) является выполнимым, и ложное в противном случае. Если же А - высказывание, то есть высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А истинно.

 

1.3. Виды теорем

 

Простейшая форма математической теоремы такова: ∀х∈Х(А(х)⇒В(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство B(х) (заключение теоремы). Пусть, для примера, П ={Р₁, Р₂, Р₃, …}- множество точек плоскости. Тогда формулировка теоремы Пифагора будет такова: {∀(P₁ ∈ П, P₂ ∈П, P₃∈П) ∠P₁P₂P₃ = π /2⇔|P₁P₂|²+ |P₂P₃|²= |P₁P₃|²}.

Исходя из утверждения ∀х∈Х(А(х)⇒В(х)), можно построить новые утверждения: ∀х∈Х(B(х)⇒A(х)) (обратная теорема); ∀х ∈ Х ( А(х) ⇒ В(х)) (противоположная теорема); ∀х ∈ Х ( B(х) ⇒ A(х)) (теорема, противоположная обратной).

Сформулируем эти утверждения  для теоремы Пифагора:

Обратная теорема: {∀(P₁∈П, P₂∈П, P₃∈П) |P₁P₂|²+|P₂P₃|²= |P₁P₃|²⇔∠P₁P₂P₃= π /2}(если квадрат какой-либо стороны треугольника равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне - прямой) - верное утверждение;

противоположная теорема:{∀(P₁∈П, P₂∈П, P₃∈П) ∠P₁P₂P₃≠ π /2⇔|P₁P₂|²+ |P₂P₃|²≠ |P₁P₃|²}(если какой-либо угол треугольника не прямой, то квадрат противолежащей стороны не может быть равен сумме квадратов остальных сторон - верное утверждение (следствие теоремы косинусов));

теорема, противоположная  обратной:{∀(P₁∈П, P₂∈П, P₃∈П) |P₁P₂|²+ |P₂P₃|²≠ |P₁P₃|²⇔∠P₁P₂P₃≠ π /2}(если квадрат какой-либо стороны треугольника не равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне, не может быть прямым) - верное утверждение.

1.4. Необходимое и достаточное условия

В теореме A(x) ⇒B(x) утверждение А(х)называется посылкой или условием теоремы, а утверждение В(х) – заключением теоремы. Поскольку по определению теоремы импликация А→В истинна всякий раз, когда А(х) истинно, то если в теореме А(х) ⇒В(х) истинно А(х) , необходимо истинно и В(х). тем самым, можно сказать, что В(х) является необходимым условием для выполнения А(х), в свою очередь, А(х) является достаточным условием для выполнения В(х). Таким образом, теорему вида можно читать так: «А(х) является необходимым  и достаточным условием для В(х)», или «для того, чтобы выполнялось А(х), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось В(х)». Например, чтобы квадратное уравнение вида х²+bx+c=0 не имело вещественных корней , необходимо и достаточно, чтобы дискриминант b²-4c был отрицательным.

 

1.5. Предикаты

 

Средства, предоставляемые логикой  высказываний, оказываются недостаточными для анализа многих математических рассуждений. Например, средствами логики высказываний нельзя установить правильность такого рассуждения: «Всякое целое  число является рациональным числом; 25 - целое число, следовательно, 25 - рациональное число». Это объясняется тем, что  в логике высказываний простые высказывания, из которых с помощью логических операций строятся сложные, рассматриваются  как не расчленяемые. Они не подвергаются анализу структуры в смысле связей объектов и их свойств. Поэтому возникает  необходимость в построении такой  логической системы, средствами которой  можно исследовать строение тех  высказываний, которые в логике высказываний рассматриваются как элементарные. Такой логической системой является логика предикатов, содержащая как  часть логику высказываний.

Рассмотрим предложение

1) х+у=3

содержащее натуральные переменные х и у. Это предложение не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать, истинно оно или ложно. Оно называется предикатом или условием (на х и у). Приведем другие примеры предложений с переменными:

2) х есть простое число;

3) х есть четное число;

4) х меньше у,

5) х есть общий делитель у, z.

Будем считать, что допустимыми  значениями переменных х, у и z являются натуральные числа. Если в предложениях 1) - 5) заменить переменные их допустимыми значениями, то получатся высказывания, которые могут быть как истинными, так и ложными. Например,

0+1=3;

2 есть простое число;

3 есть четное число;

5 меньше 7;

3 есть общий делитель 6 и 12.

Предложения с переменными, дающие высказывания в результате замены переменных их допустимыми значениями, называются предикатами.

Предложения 1) - 5) могут служить  примерами предикатов.

По числу входящих переменных различают  предикаты одноместные, двухместные, трехместные и т. д. Предикаты 2) и 3) - одноместные, предикаты 1) и 4) - двухместные, предикат 5) - трехместный. Высказывания будем считать нульместными предикатами.

Предикаты можно задавать различными способами. В алгебре часто рассматривают  предикаты, заданные с помощью уравнений, неравенств, а также систем уравнений  или неравенств.

Отметим, что следует различать  предикаты, выражающие одно и то же условие, но имеющие переменные с  различными допустимыми значениями. Например, предикат, заданный уравнением 2х - 3 = 0, где х - целочисленная переменная, следует отличать от предиката, заданного тем же уравнением, если при этом х рассматривается как рациональная переменная. Первый предикат не принимает значений И ни при каких допустимых значениях х, а второй принимает значение И при допустимом значении переменной х=3/2. Таким образом, при задании предиката нужно указывать область допустимых значений переменных этого предиката.

2. Система упражнений, способствующих повышению мышления школьников при обучении математике

 

Математика как школьный предмет содержит большие потенциальные  возможности для развития логического  мышления. В этой науке очень высокий  уровень абстракции, математические понятия фиксируют лишь формы  и отношения между реальными  предметами. На уроках математики учащиеся оперируют всеми формами мышления, овладевают средствами логического  вывода.

Принято считать, что развитию логического мышления учащихся способствует решение нестандартных задач. Действительно, задачи такого рода вызывают у детей  интерес, активизируют мыслительную деятельность, формируют самостоятельность, нешаблонность  мышления. Рассмотрим некоторые такие задачи.

Задание 1.Учитель начертил на классной доске четырехугольник. Вася утверждал, что это квадрат. Петя считал, что четырехугольник - трапеция. Мария думала, что на доске изображен ромб. Ева назвала четырехугольник параллелограммом. Выслушав каждого и внимательно изучив свойства четырехугольника, учитель установил, что ровно 3 из 4 суждений истинны и ровно 1 суждение ложно. Какой четырехугольник начертил учитель на классной доске?

Решение. Квадрат всегда является ромбом и параллелограммом, но не является трапецией. Следовательно, учитель на классной доске начертил квадрат.

Задание 2. Как зовут сына Николая?

Отец по имени Николай  с сыном и отец по имени Петр с сыном отправились удить  рыбу. Число рыб, пойманных Николаем, оканчивается на 2, а число рыб, пойманных  его сыном, – на 3, число рыб, пойманных  Петром, также оканчивается на 3, а  число рыб, пойманных его сыном,–  на 4. Число рыб, пойманных нашими рыболовами вместе, совпадает с квадратом  некоторого натурального числа. Как  зовут сына Николая?

 

Решение. Так как сумма последних цифр 2+3+3+4=12 оканчивается на 2 и не существует квадрата натурального числа, который бы оканчивался на 2, речь идет не о четырех, а лишь о трех рыболовах, т. е. сын одного из любителей рыбной ловли одновременно является отцом другого (2+3+4=9). Николай не может быть сыном Петра, так как улов Николая оканчивается на 2, а не на 4, как того требуют условия задачи. Следовательно, Петр сын Николая.

Задание 3. Сформулируйте утверждения противоположное, обратное и противоположное обратному для теоремы: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны».

Решение. Противоположное: «если четырехугольник  не является ромбом, то его диагонали  не взаимно перпендикулярны».

Обратное: «Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то этот четырехугольник  является ромбом».

Противоположное обратному: «Если  диагонали четырехугольника не взаимно  перпендикулярны, то этот четырехугольник не является ромбом».

Задание 4. Из утверждений «число a делится на 2», «число a делится на 4», «число a делится на 12» и «число a делится на 24» три верных, а одно неверное. Какое?

Решение. Предположим, что последнее утверждение верно. Но в этом случае будут верными также и первые три утверждения, так как если число делится на 24, то оно также делится на 2, 4 и 12. Поэтому последнее утверждение не может быть верным.

Покажем теперь, что ситуация, когда первые три утверждения  верны, а последнее — нет, возможна. Эта ситуация реализуется, например, если a = 12.

Задание 5. Ваня, Петя, Катя и Олег вместе съели 70 бананов. Причем каждому сколько-то досталось. Ваня съел больше всех. Катя и Петя вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось Олегу?

Решение. Катя и Петя съели 45 бананов, кто-то из них съел не меньше 23 бананов. Значит Ваня съел не менее 24 бананов. Петя, Катя и Ваня вместе съели не менее 69 бананов. Но раз Олегу тоже что-то досталось, то Катя, Петя и Ваня съели 69 бананов. А значит Олег  съел 1 банан.

Задание 6. Замените многоточие словами «необходимо» , «достаточно», «необходимо и достаточно» так, чтобы получились верные утверждения:

1)Для того, чтобы выиграть в лотерею, … иметь хотя бы один лотерейный билет;

2)Для того, чтобы я был зачислен в институт, … , чтобы я сдал все вступительные экзамены хотя бы на 3;

3)Для того, чтобы я был зачислен в институт, …, чтобы я сдал все вступительные экзамены на пять;

4)Для того, чтобы в одном и том же круге дуги были равны, …, чтобы стягивающие их хорды были равны

Задание 7. Согласны ли вы с утверждением:

а) равные фигуры имеют равные площади;

б) неравные фигуры имеют различные  площади;

в) любой квадрат есть прямоугольник;

г) некоторые прямоугольники являются квадратами;

д) если периметры прямоугольников равны, то равны и эти прямоугольники?

Задание 8. Какие из следующих утверждений  верны:

а) Число x в 2 раза больше y, если x = y + 2;

б) Число m составляет 30 % числа n , тогда число m = n/ 100 * 30;

в) Углы А и В смежные, тогда сумма углов А и В равна 180 градусов.

Задание 9. Заполните пропуск так, чтобы полученное предложение было

а) истинно;                                                  б) ложно.

Число 15 делится 3 и на ...  .

Задание 10. Заполните пропуск так, чтобы полученное предложение было

а) истинно;                             б) ложно.

Число 8 делится 3 или на ...   .

Задание 11. Определите, какое из ниже перечисленных утверждений является верным.

Четырехугольник является прямоугольником, если:

А) он имеет два прямых угла;

б)он имеет три прямых угла;

в)его диагонали равны;

г)две его противоположные стороны параллельны, а диагонали равны;

д)две его противоположные стороны равны и параллельны, а один из углов прямой;

е) его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

Задание 12. Постройте таблицу истинности высказываний «Саша не выполнил задание» и «Саша получил выговор».

Решение. Обозначим первое высказывание за х, а второе – за у.

Строим таблицу.

х	у	х˄у
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0