Система компьютерной алгебры

«Система компьютерной алгебры»

Система компьютерной алгебры (СКА, англ. computer algebra system, CAS) — это прикладная программа для символьных вычислений, то есть выполнения преобразований и работы с математическими выражениями в аналитической (символьной) форме.

Символьные вычисления

Системы компьютерной алгебры различаются по возможностям, но обычно поддерживают следующие символьные действия:

- упрощение выражений до меньшего размера или приведение к стандартному виду, включая автоматическое упрощение с использованием предположений и ограничений

-подстановка символьных и численных значений в выражения

-изменение вида выражений: раскрытие произведений и степеней, частичная и полная факторизация (разложение на множители)

-разложение на простые дроби, удовлетворение ограничений, запись тригонометрических функций через экспоненты, преобразование логических выражений

-дифференцирование в частных и полных производных

-нахождение неопределённых и определённых интегралов (символьное интегрирование)

-символьное решение задач оптимизации: нахождение глобальных экстремумов, условных экстремумов и т. д.

-решение линейных и нелинейных уравнений

-алгебраическое (нечисленное) решение дифференциальных и конечно-разностных уравнений

-нахождение пределов функций и последовательностей

-интегральные преобразования

-оперирование с рядами: суммирование, умножение, суперпозиция

-матричные операции: обращение, факторизация, решение спектральных задач

-статистические вычисления

-автоматическое доказательство теорем, формальная верификация

-синтез программ

Дополнительные возможности

Многие из СКА также включают:

-язык программирования, позволяющий пользователям составлять собственные алгоритмы

-числовые операции произвольной точности

-целочисленную арифметику для больших чисел и поддержку функции теории чисел

-редактирование математических выражений в двумерной форме (с индексами, обычными дробями и т. д.)

-построение графиков функций в двух или трёх измерениях и их анимаций

-рисование графиков и диаграмм

-API для использования внешними программами (базы данных) или в языках программирования для использования системы компьютерной алгебры

-операции со строками (поиск подстроки)

-дополнительные модули прикладной математики для таких областей, как физика, биоинформатика, вычислительная химия и пакеты для инженерно-физических вычислений

Некоторые также включают:

-создание и редактирование графики (создание компьютерных изображений, а также обработку сигналов и анализ изображений)

-синтез звука

Некоторые СКА направлены на специфическую область использования; обычно такие программы разрабатываются академическим сообществом и распространяются бесплатно. Они могут быть не столь эффективны в численных расчетах, как системы для численных методов.

 

История

СКА появились в начале 1960-х и развивались, в основном, в двух направлениях: теоретическая физика и создание искусственного интеллекта.

Первым успешным примером была новаторская работа Мартина Велтмана (позднее удостоенная Нобелевской премии по физике), который в 1963 создал программу для символьных вычислений (для нужд физики высоких энергий), которая была названа Schoonschip.

Используя LISP, Карл Энгельман в 1964 создал MATHLAB в рамках проекта MITRE (по исследованию искусственного интеллекта). Позже MATHLAB стал доступным в университетах для пользователей мейнфреймов PDP-6 и PDP-10 с такими ОС как TOPS-10 или TENEX. Сейчас он может быть всё ещё запущен на SIMH эмуляциях PDP-10. MATHLAB («mathematical laboratory») не стоит путать с MATLAB («matrix laboratory»), системой для численных расчётов, созданной 15 лет спустя в университете Нью-Мехико.

Первыми популярными системами компьютерной алгебры были muMATH, Reduce, Derive (основана на muMATH), Macsyma. Сейчас наиболее популярные коммерческие системы — это Mathematica и Maple, которые широко используются математиками, учёными и инженерами. Бесплатные альтернативы — Sage, Maxima, Reduce.

 

В 1987 Hewlett-Packard представила первый карманный аналитический калькулятор (HP-28), и в нём впервые для калькуляторов были реализованы организация алгебраических выражений, дифференциирование, ограниченное аналитическое интегрирование, разложение в ряд Тейлора и поиск решений алгебраических уравнений.

Обзор самых популярных математических систем, представленных на российском рынке программного обеспечения.

MATLAB

MATLAB — продукт компании  MathWorks, Inc.(http://www.mathwork.com/), представляющий собой язык высокого уровня для научно-технических вычислений. Среди основных областей применения MATLAB — математические расчеты, разработка алгоритмов, моделирование, анализ данных и визуализация, научная и инженерная графика, разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя. MATLAB решает множество компьютерных задач — от сбора и анализа данных до разработки готовых приложений. Среда MATLAB соединяет в себе математические вычисления, визуализацию и мощный технический язык. Встроенные универсальные интерфейсы позволяют легко работать с внешними информационными источниками, а также осуществлять интеграцию с процедурами, написанными на языках высокого уровня (C, C++, Java и др.). Мультиплатформенность MATLAB сделала его одним из самых распространенных продуктов — он фактически стал принятым во всем мире стандартом технических вычислений. MATLAB имеет широкий спектр применений, в том числе цифровую обработку сигналов и изображений, проектирование систем управления, естественные науки, финансы, экономику, приборостроение и т.п. Цена — 2940 долл.

MATHCAD

Это интегрированная среда для выполнения, документирования и обмена результатами технических вычислений от компании MathSoft, Inc. (http://www.mathsoft.com/). Данный продукт позволяет пользователям вводить, редактировать и решать уравнения, визуализировать результаты, документировать их, а также обмениваться результатами анализа, отслеживая при этом их размерность. Mathсad служит средством вычислений, анализа и написания отчетов для профессионалов во всех областях науки и техники. Продукт прост в использовании и не вызывает проблем при обучении. Цена — 818 долл.

MAPLE

Данный продукт компании Waterloo Maple Software, Inc. (http://www.maplesoft.com/) часто называют системой символьных вычислений или системой компьютерной алгебры. Maple позволяет выполнять как численные, так и аналитические расчеты с возможностью редактирования текста и формул на рабочем листе. Благодаря представлению формул в полиграфическом формате, великолепной двух- и трехмерной графике и анимации Maple является одновременно и мощным научным графическим редактором. Простой и эффективный язык-интерпретатор, открытая архитектура, возможность преобразования кодов Maple в коды C делает его очень эффективным средством создания новых алгоритмов. Обладающий интуитивно понятным интерфейсом, простыми правилами работы и широким функционалом, этот продукт уже завоевал популярность у российских математиков и инженеров. Цена Maple 7 — 1695 долл.

 

MATHEMATICA

Система Mathematica — компании Wolfram Research, Inc. (http://www.wolfram.com/) имеет чрезвычайно широкий набор средств, переводящих сложные математические алгоритмы в программы. По сути дела, все алгоритмы, содержащиеся в курсе высшей математики технического вуза, заложены в память компьютерной системы Mathematica. В некоторых странах (например, в США) система высшего образования тесно связана с этим продуктом. Огромное преимущество системы Mathematica состоит в том, что ее операторы и способы записи алгоритмов просты и естественны. Mathematica имеет мощный графический пакет, с помощью которого можно строить графики очень сложных функций одной и двух переменных. Главное преимущество Mathmatica, делающее ее бесспорным лидером среди других систем высокого уровня, состоит в том, что эта система получила сегодня очень широкое распространение во всем мире, охватив огромные области применения в научных и инженерных исследованиях, а также в сфере образования. Цена — 1460 долл.

MACSYMA

Macsyma от компании Macsyma, Inc. (http://www.macsyma.com/) — это одна из первых математических программ, оперирующих символьной математикой. Сильные стороны Macsyma — развитой аппарат линейной алгебры и дифференциальных уравнений. Система ориентирована на прикладные расчеты и не предназначена для теоретических исследований в области математики. В связи с этим в программе отсутствуют или сокращены разделы, связанные с теоретическими методами (теория чисел, теория групп, и др.). Пожалуй, главным преимуществом Macsyma перед другими универсальными математическими пакетами является то, что пользователь может аналитически и численно решать большое количество различных типов уравнений в частных производных. Macsyma имеет очень удобный интерфейс. Рабочим документом программы является научная тетрадь, в которой содержатся доступные для редактирования поля текста, команд, формул и графиков. Отличительной особенностью пакета является совместимость с текстовым редактором Microsoft Word. Почти все команды Macsyma в библиотечных файлах загружаются автоматически; очень удобно и окно просмотра (браузер) математических функций. Macsyma генерирует коды FORTRANа и C, включая управляющие операторы. Система работает на платформе Intel под управлением OS Windows.

MuPAD

В сравнении с другими математическими пакетами MuPAD — продукт компании SciFace GmbH (http://www.sciface.com/) — является относительно молодым продуктом, однако это не мешает ему уверенно конкурировать с ними. MuPAD является программным пакетом компьютерной алгебры, предназначенным для решения математических задач различного уровня сложности. Основные качественные отличия MuPAD — невысокие требования к ресурсам PC, наличие собственного ядра символьной математики, способность к развитию самим пользователем и мощные средства визуализации решения математических задач. Пакет поддерживает большой набор математических объектов и алгоритмов для самого широкого круга задач. Работа пользователя проходит в окне блокнота, позволяющего перемежать текст с математическими формулами, форматированным текстом и выводом решений, включая двух- и трехмерную графику. Для разработки собственных алгоритмов и функций на базе библиотеки функций MuPAD в системе предусмотрены специальный паскалеподобный язык программирования и интерактивный пошаговый отладчик. Созданные пользователем алгоритмы могут объединяться в отдельные библиотеки. Цена MuPAD 2.0 — 700 долл.

S-PLUS

S-PLUS — продукт компании  Insightful Corporation (http://www.insightful.com/), ранее известной как подразделение MathSoft, а теперь являющейся одним из мировых лидеров в области статистического анализа данных, визуализации и прогнозирования. S-PLUS представляет собой интерактивную компьютерную среду, обеспечивающую полнофункциональный графический анализ данных и включающую оригинальный объектно-ориентированный язык. Гибкая система S-PLUS может использоваться для исследовательского анализа данных, статистического анализа и математических вычислений, а также для удобного графического представления анализируемых данных. К основным достоинствам S-PLUS относятся непревзойденная функциональность, возможность интерактивного визуального анализа данных, интуитивно понятные интерфейс пользователя и методы подготовки анализируемых данных, простота использования самых современных статистических методов, мощные вычислительные возможности, расширяемый набор статистических методов, гибкий интерфейс пользователя. Цена — 2865 долл.