Роль математики в современном мире

Обыкновенные  дифференциальные уравнения возникают  тогда, когда неизвестная функция  зависит лишь от одной независимой  переменной. Соотношение между независимой  переменной, неизвестной функцией и  ее производными до некоторого порядка  составляет дифференциальное уравнение. В настоящее время теория обыкновенных дифференциальных уравнений представляет собой богатую, широко разветвленную  теорию. Одними из основных задач этой теории являются существование у  дифференциальных уравнений таких решений, которые удовлетворяют дополнительным условиям (начальные данные Коши, когда требуется определить решение, принимающее заданные значения в некоторой точке и заданные значения производных до некоторого конечного порядка, краевые условия и другие), единственность решения, его устойчивость. Под устойчивостью решения понимают малые изменения решения при малых изменениях дополнительных данных задачи и функций, определяющих само уравнение. Важными для приложений являются исследование характера решения, или, как говорят, качественного поведения решения, нахождение методов численного решения уравнений. Теория должна дать в руки инженера и физика методы экономного и быстрого вычисления решения.

Уравнения с  частными производными начали изучаться  значительно позже. Нужно подчеркнуть, что теория уравнений с частными производными возникла на основе конкретных физических задач, приводящих к исследованию отдельных уравнений с частными производными, которые получили название основных уравнений математической физики. Изучение математических моделей  конкретных физических задач привело  к созданию в середине XVIII века новой  ветви анализа - уравнений математической физики, которую можно рассматривать  как науку о математических моделях  физических явлений.

Основы этой науки были заложены трудами Д'Аламбера (1717 - 1783), Эйлера (1707 - 1783), Бернулли (1700 - 1782), Лагранжа (1736 - 1813), Лапласа (1749 - 1827), Пуассона (1781 - 1840), Фурье (1768 - 1830) и других ученых.

В настоящее  время важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений играет применение современных электронных  вычислительных машин. Исследование дифференциальных уравнений часто облегчает возможность  провести вычислительный эксперимент  для выявления тех или иных свойств их решений, которые потом могут быть теоретически обоснованы и послужат фундаментом для дальнейших теоретических исследований.

Первая черта теории дифференциальных уравнений - ее тесная связь с приложениями. Другими словами, можно сказать, что теория дифференциальных уравнений родилась из приложений. В этом своем разделе - теории дифференциальных уравнений - математика прежде всего выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе.

Второй особенностью теории дифференциальных уравнений  является ее связь с другими разделами  математики, такими, как функциональный анализ, алгебра и теория вероятностей. Теория дифференциальных уравнений  и особенно теория уравнений с  частными производными широко используют основные понятия, идеи и методы этих областей математики и, более того, влияют на их проблематику и характер исследований. Некоторые большие  и важные разделы математики были вызваны к жизни задачами теории дифференциальных уравнений. Классическим примером такого взаимодействия с другими  областями математики являются исследования колебаний струны, проводившиеся  в середине XVIII века.

Выдающийся  вклад в современную теорию дифференциальных уравнений внесли российские математики Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Л.С. Понтрягин, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов  и другие.

В настоящее  время теория дифференциальных уравнений  с частными производными представляет собой богатую, сильно разветвленную  теорию. Построена теория краевых  задач для эллиптических операторов на основе недавно созданного нового аппарата - теории псевдо дифференциальных операторов, решена проблема индекса, изучены смешанные задачи для гиперболических уравнений. Важную роль в современных исследованиях гиперболических уравнений играют интегральные операторы Фурье, которые обобщают оператор преобразования Фурье на тот случай, когда фазовая функция в показателе экспоненты, вообще говоря, нелинейно зависит от независимых переменных и частот. С помощью интегральных операторов Фурье изучен вопрос о распространении особенностей решений дифференциальных уравнений, ведущий начало от классических работ Гюйгенса. В последние десятилетия найдены условия корректной постановки краевых задач, исследованы вопросы гладкости решений для эллиптических и параболических систем. Изучены нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка и широкие классы нелинейных уравнений первого порядка, исследована для них задача Коши, построена теория разрывных решений⁵.

В последние  десятилетия возник и интенсивно развивается новый раздел теории уравнений с частными производными - теория усреднения дифференциальных операторов. Эта теория возникла под  влиянием задач физики, механики сплошной среды и техники, в частности, связанных с изучением композитов (сильно неоднородных материалов, широко используемых в настоящее время  в инженерной технике), пористых сред, перфорированных материалов. Такие  задачи приводят к уравнениям с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами или в областях со сложной границей. Численное решение  такого рода задач крайне затруднительно. Необходим асимптотический анализ задачи, что и приводит к задачам  усреднения. За последние полтора - два десятка лет сильно изменилось лицо качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из важных достижений является открытие предельных режимов, которые получили название аттракторов.

Другим важным достижением теории обыкновенных дифференциальных уравнений явилось изучение структурной  устойчивости систем. При использовании  любой математической модели возникает  вопрос о корректности применения математических результатов к реальной действительности. Если результат сильно чувствителен к малейшему изменению модели, то сколь угодно малые изменения  модели приведут к модели с совершенно иными свойствами. Такие результаты нельзя распространять на исследуемый  реальный процесс, так как при  построении модели всегда проводится некоторая идеализация и параметры определяются лишь приближенно.

Это привело  А.А. Андронова и Л.С. Понтрягина к  понятию грубости системы обыкновенных дифференциальных уравнений или  понятию структурной устойчивости. Это понятие оказалось очень  плодотворным в случае малой размерности  фазового пространства (1 или 2), и в  этом случае вопросы структурной  устойчивости были детально изучены.

К важным достижениям  можно отнести построение А.Н. Колмогоровым теории возмущений гамильтоновых систем, обоснование метода усреднения для  многочастичных систем, развитие теории бифуркаций, теории возмущений, теории релаксационных колебаний, дальнейшее глубокое изучение показателей Ляпунова, создание теории оптимального управления процессами, описываемыми дифференциальными уравнениями.

Таким образом, теория дифференциальных уравнений  в настоящее время представляет собой исключительно богатый  содержанием, быстро развивающийся  раздел математики, тесно связанный  с другими областями математики и с ее приложениями.

Многие разделы  теории дифференциальных уравнений  так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая  часть путей, связывающих абстрактные  математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений  почетное место в современной  науке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Отмеченные основные особенности  современной математики и перечисленные  основные направления исследований математики по разделам сложились в  начале 20 в. В значительной мере это  деление на разделы сохраняется, несмотря на стремительное развитие математики в 20в. Однако потребности развития самой математики, "математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов математики и к появлению целого ряда новых математических дисциплин (теория автоматов, теория информации, теория игр, исследование операций, кибернетика, математическая экономика). На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, теории графов, теории кодирования возник дискретный анализ. Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физическими или механическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию оптимального управления математической теории.

Исследования в области общих  проблем управления и связанных  с ними областях математики в соединении с прогрессом вычислительной техники  дают основу для автоматизации новых  сфер человеческой деятельности.

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - М., Просвещение, 2007. – 190 с.
2. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М., Просвещение, 2005. – 170с.
3. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М., Просвещение, 2005.177с.
4. История математики. Под ред. А.П.Юшкевича. Т. 1-3. - М., Наука,  2007. – 512 с.
5. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях. Статья, авт. Олейник О.А. , 1996.
6. Wikipedia.org. Свободная энциклопедия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¹ Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - М., Просвещение, 2007. – 190 с.

² Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М., Просвещение, 2005. – 170с.

³ Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М., Просвещение, 2005.177с.

⁴ История математики. Под ред. А.П.Юшкевича. Т. 1-3. - М., Наука,  2007. – 512 с.

⁵ Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях. Статья, авт. Олейник О.А. , 1996.