Роль математики в современном мире

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

      Введение……………………………………………………………………….3

1. Роль математики в современном мире. Основные этапы развития математики………………………………………………………………….4
2. Период современной математики…………………………………………7
3. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике………………………………………………………………...10

Заключение…………………………………………………………………...17

Список литературы…………………………………………………………..18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Математика – наука  о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

“Математика делится на арифметику и геометрию; первая располагает цифрами, вторая - протяжениями и пространствами. Алгебра заменяет цифры более общими знаками, буквами; аналитика добивается выразить всеобщими формулами, уравнениями, без помощи чертежа" (В. Даль).

Современная математика насчитывает  множество математических теорий: математическая статистика и теория вероятности, математическое моделирование, численные методы, теория групп, теория чисел, векторная алгебра, теория множеств, аналитическая и  проективная геометрия, математический анализ и т.д.

Несмотря на то, что математических теорий достаточно много и они, на первый взгляд, могут и не иметь  ничего общего, внутренняя эволюция математической науки упрочила единство ее различных  частей и создала центральное  ядро. Существенным в этой эволюции является систематизация отношений, существующих между различными математическими  теориями; ее итогом явилось направление, которое обычно называют "аксиоматический  метод". В теории, построенной  в согласии с аксиоматическим  методом, начинают с небольшого количества неопределяемых (первичных) понятий, с  помощью которых образуются утверждения, называемые аксиомами.

 

 

 

 

1. Роль математики в современном мире. Основные этапы развития математики.

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения. Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики¹

• зарождение математики;

• элементарная математика;

• математика переменных величин;

• современная математика.

Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. К  этому времени был накоплен достаточно большой фактический материал. Понимание  математики, как самостоятельной  науки возникло впервые в Древней  Греции. В течение этого периода  математические исследования имеют  дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших  для удовлетворения самых простых  запросов хозяйственной жизни. Развивается  арифметика – наука о числе.

В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как  буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге Начала (300 лет до н. э.).

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически  изучать движение, процессы изменения  величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создание дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие бесконечно малой величины, создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа). На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

К этому времени относятся и  появление гениальной идеи Р. Декарта  о методе координат. Создается аналитическая  геометрия, которая позволяет изучать  геометрические объекты методами алгебры  и анализа. С другой стороны метод  координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и  аналитических фактов²

Дальнейшее развитие математики привело  в начале ХIX века к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Возникают новые теории. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности математики. Замечательным примером такой теории является воображаемая геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой математики, математизация различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения  теории получаются, как логические следствия аксиом. Основными методами в математических исследованиях  являются математические доказательства – строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для  правильной постановки задачи, для  оценки выбора способа ее решения  необходима математическая интуиция.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция³.

Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок.

Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок  следует заключение частного характера. Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

 

2. Период современной математики.

Все созданные в 17 и 18 вв. разделы  математического анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться  в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применения к задачам, выдвигаемым естествознанием  и техникой. Однако помимо этого  количественного роста с конца 18 и в начале 19 вв. в развитии математики наблюдается и ряд существенно новых черт.

Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактический  материал привел к необходимости  углубленного логического анализа  и объединения его с новых  точек зрения. Связь математики с  естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие  новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания и техники, но также  из внутренних потребностей самой математики. Таково в основном было развитие функции  комплексного переменного теории, занявшей в начале и середине 19 в. центральное положение во всем математическом анализе. Другим замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой математики, явилась геометрия Лобачевского.    

В более непосредственной и непрерывной  зависимости от запросов механики и  физики происходило формирование векторного и тензорного исчислений. Перенесение  векторных и тензорных представлений  на бесконечномерные величины происходит в рамках функционального анализа  и тесно связывается с потребностями  современной физики.   

Таким образом, в результате как внутренних потребностей математики, так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расширяется; в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п.   

Существенная новизна начавшегося  в 19 в. этапа развития математики состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, например, введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие математики потребовало выработки приемов сознательного и планомерного создания новых геометрических и алгебраических систем. 

В начале 19 в. происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математического аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред. Быстро растут и математические запросы техники. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатывается теория обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частичными производными и математической физики уравнений. 

Теория дифференциальных уравнений  послужила отправным пунктом  исследований по топологии многообразий. Здесь получили свое начало "комбинаторные", "гомологические" и "гомотопические" методы алгебраической топологии. Другое направление в топологии возникло на почве теории множеств и функционального  анализа и привело к систематическому построению теории общих топологических пространств.

Существенным дополнением к  методам дифференциальных уравнений  при изучении природы и решении  технических задач являются методы теории вероятностей. Если в начале 19 в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в конце 19 и в начале 20 вв. теория вероятностей получает много новых применений благодаря созданию теории случайных процессов и развитию аппарата математической статистики. Теория чисел, представлявшая собрание отдельных результатов и идей, с 19 в. развивалась в различных направлениях как стройная теория.

Центр тяжести алгебраических исследований переносится в новые области  алгебры: теорию групп, полей, колец, общих  алгебраических систем. На границе  между алгеброй и геометрией возникает  теория непрерывных групп, методы которой  позднее проникают во все новые  области математики и естествознания.

Элементарная и проективная  геометрия привлекают внимание математиков  главным образом под углом  зрения изучения их логических и аксиоматических  основ. Но основными отделами геометрии, где сосредоточиваются наиболее значительные научные силы, становятся дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, риманова геометрия.

Практическое использование результатов  теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. Между тем  даже после исчерпывающего теоретического разбора задачи это часто оказывается  весьма трудным делом. Зародившиеся в конце 19 и в начале 20 вв. численные методы анализа и алгебры выросли в связи с созданием и использованием ЭВМ в самостоятельную ветвь математики - вычислительную математику⁴.

 

 

3. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике.

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых  больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место  в современной математической науке, прежде всего необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Первая особенность - это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод  проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем  применения этого метода является формирование и изучение математических моделей  реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь прежде всего создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений.

Для составления  математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать  только локальные связи и не нужна  информация обо всем физическом явлении  в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление  в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени. Напомним, что на основе анализа  дифференциальных уравнений так  были открыты электромагнитные волны, и только после экспериментального подтверждения Герцем фактического существования электромагнитных колебаний  стало возможным рассматривать  уравнения Максвелла как математическую модель реального физического явления.