Разрешимая группа

Моя работа связана  с  максимальными подгруппами, выступающий  уже рассказал ряд определений, связанных с этим, так что повторятся  мне, не имеет смысла.

В настоящей работе исследуются  -свободные группы  с индексами максимальных подгрупп, равными простым числам, квадратам простых чисел или 125, и устанавливается верхняя оценка производной длины таких групп.

   Напомним, что группа G называется -свободной, если она не содержит секций изоморфных знакопеременной группе .

Изучение свободных групп началось в недавнее время. К данному направлению относятся работы В.С.Монахова, А.А.Трофимука (Трофимук\ Брестский вестник 2009-2010, Монахов ……….).

Доказана следующая  теорема: 

Теорема: Пусть G – -свободная группа с индексами максимальных подгрупп, равными простым числам, квадратам простых чисел или 125. Тогда производная длина фактор-группы G/Ф(G) не превышает 4.

При доказательстве данной теоремы использовались фрагменты  теории формации и вычисление системы компьютерной алгебры GAP.

Кроме того, при доказательстве теоремы возникла необходимость  описания  подгрупп линейной группы .  В работе А.А. Трофимука                (\ Брестский вестник 2009-2010)  производная длина -свободной разрешимой подгруппы H группы не превышает 4 для любого простого p. Построены примеры подтверждающие точность этой оценки.

Однако данная оценка будет  грубой для моего случая, т.е группы   . Данная оценка была успешна уточнена при помощи компьютерной системы GAP. Результат вычислений представлен в следующей лемме:

Лемма. Если – разрешимая подгруппа группы и , то , или , где либо 2-группа производной длины не превосходящей 2, либо , , , , , , , , , , , , , , , , , , . В частности, производная длина -свободной подгруппы не превышает 3.

В ходе изучения подгрупповой структуры группы  был построен алгоритм для определения -свободности группы.

Если говорить о самой  системе GAP , то разработка системы компьютерной алгебры GAP (“Groups, Algorithms and Programming”) была начата  в 1986 г. в Аахен, Германия.

GAP является свободно распространяемой, открытой и расширяемой системой. Ядро системы написано на СИ, а библиотека функций-на специальном языке, также называемом GAP, который по синтаксису напоминает Pascal.

Среди постсоветских стран  активное участие в разработке пакетов для этой системы принимает Коновалов (Запорожский университет …):

Основное  предназначение системы компьютерной алгебры GAP является вычисления в таких алгебраических структурах как группы, кольца, поля.

.