Разложение функций e в степени «х»,sin x, cos x в степенной ряд. Приближённые вычисления с помощью этих рядов

Таким образом, область  сходимости полученного ряда: . Разложение в ряд такого логарифма:  – сходится на обоих концах интервала:

Пример 3

Разложить функцию в  ряд по степеням . Найти область сходимости ряда. 

Смотрим в таблицу  и находим наиболее похожее разложение: 

Во-первых, вверху нужно получить единицу, поэтому представляем функцию в виде произведения:  
Теперь нам нужно в знаменателе устроить , для этого выносим двойку за скобки: 
 
И сокращаем на два: 
 
В данном случае , таким образом: 

В итоге искомое разложение: 

Определим область сходимости ряда. Можно пойти длинным и  надежным путем, используя признак  Даламбера для полученного степенного ряда , т.е. найти интервал сходимости ряда и исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

А можно поступить  проще. Из таблицы известно, что биномиальный ряд сходится при . В данном случае , поэтому: 
 
Умножаем все части неравенства на : 
 – интервал сходимости полученного ряда. 
 
При  
При  
Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Таким образом, область  сходимости полученного ряда: .

 

 

        ПРИМЕРЫ  РАЗЛОЖЕНИЯ  ФУНКЦИЙ  В  РЯД  ТЕЙЛОРА  ПО       СТЕПЕНЯМ .

 

 Общая формула Тейлора:

 

Пример 1: разложить функцию  в ряд Тейлора по степеням .

В данном случае , смотрим на формулу Тейлора, и становится уже всё понятнее. 
Разложение формулы:

 

 

 

, все производные, начиная с  четвёртой производной, будут  нулевыми.

Теперь подставляем  в формулу Тейлора: 
 

 Для проверки можно  раскрыть скобки: 
 
Получен исходный многочлен, что и требовалось проверить.

 

Пример 2

Разложить функцию   в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.

Решение: Используем  разложение функции в ряд Тейлора по степеням

В данном случае:  

 

 

Замечаем, что с такими раскладами производные можно находить до бесконечности. Поэтому необходимо уловить некоторую закономерность. Найдем ещё третью производную:

 

А теперь проанализируем найденные производные: , , . Закономерность прослеживается: знаки чередуются, а в знаменателе  растёт степень.

Теперь, исходя из выявленной закономерности, нужно составить  производную «энного» порядка. В  данном случае она выглядит так: 
 
Как проверить, правильно ли составлена энная производная? Подставьте в неё значения , ,  и вас должны получиться в точности первая, вторая и третья производные. После того, как мы убедились в том, что энная производная составлена правильно, подставляем в неё наше значение:  

Теперь осталось все  труды подставить в формулу Тейлора  и аккуратно провести упрощения: 

 

                                  ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 

 

Возможность разложения функции в степенной ряд позволяет  существенно упростить многие математические операции: вычисление приближенных значений данной функции, дифференцирование, интегрирование, поскольку степенной ряд можно заменить многочленом (с учетом того, что оценка остатка ряда не превысит заданного значения погрешности). В частности, можно приближенно вычислять интегралы, находить приближенные решения дифференциальных уравнений и т.д.

Рассмотрим вычисление интегралов с помощью рядов.

Примеры.

1. Для вычисления интеграла  разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора, используя разложение функции е в степени «х»:

Тогда =

С помощью этого равенства можно вычислить рассматриваемый интеграл при любом «а» с любой заданной точностью.

Вычислим интеграл , для чего разложим функцию в ряд:

- ряд, сходящийся при любом  х. Интегрируя почленно, получим: 

Приближенное решение  дифференциального уравнения второго  порядка   , удовлетворяющее начальным условиям .

Если предположить, что  решение имеет вид: , то требуется найти значения производных от частного решения при Х=Хо . Из начальных условий следует, что . Тогда из исходного уравнения получаем, что . Дифференцируя обе части исходного уравнения по х, найдем: откуда можно определить и т.д.

Пример. Найти решение уравнения при

Решение: и т.д.

Можно получить общую  формулу для производных любого порядка:

. При х = 0 эта формула дает                 

  .

Так как  то в нуль обращаются все производные, порядок которых не кратен четырем. В конечном счете решение имеет вид:

 

 

                          СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Ермаков, В.И. Общий курс математики для экономистов: учебник/ В. И. Ермаков, Б.М. Рудык – М.: ИНФРА-Н, 2008

2. Виленкин, И.В. Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов: учебное пособие/ И.В. Виленкин, В.М. Гробер – Ростов н/Д: Феникс, 2002

3. Виленкин, И.В. Задачник по математике. Часть 1/ И.В. Виленкин, О.Е. Кудрявцев, М.М. Кудрявцев, М.М. Цвиль,  И.С. Шабаршина. – Ростов н/Д: Российская таможенная академия, Ростовский филиал, 2007

4. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Фридман. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2007