Принцип Дирихле

 

         Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Головне управління освіти і науки Сумської облдержадміністрації

         Донецьке територіальне відділення МАН України

 

 

 

Відділення: математика Секція: математики

 

 

 

Принцип Діріхле

 

 

 

 

Роботу виконав: Примаков Олександр Валерійович, учень 10 класу Чорноплатівського  НВК "ЗОШ I-III ступенів-ДНЗ"

 

 

 

 

 

 

 

                                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                     Суми-2013

                                                                                                                                      2

                                                          Вступ

Математика широко використовувалася  у давні часи, з роками  багато чого змінюється, але математика у наш час набула дуже широкого використання .

У будь-якій галузі ми зустрічаємо  те ,що пов`язано з математикой у шкільному курсі навчання у будь-якому предметі використовується математика. Ми цього не спостерігаємо,але у повсякденному житті ми досить не рідко зтикаємося з математикою.Математика вважається царицею наук хоча  можна звичайно посперечатись,але це справді так.  Математику досліджували ще у прадавні часи і робилися нові відкриття.У світі не має таких людей хто б не знав хто такий Архімед чи Піфагор і його теорему.Як бачимо математика розвивається щодня безупинно навіть до наших днів математика невпинним темпом розвивалася. Люди знаходили  все нові й нові нікому не відомі формули, записували означення і доводили теореми на яких ґрунтується математика. У Москві є МЦНМО-московський центр непереривної математичной освіти де кожний день знаходять щось нове і цікаве для людей ,що вивчають і хочуть вивчати математику.У цій науковій роботі буде йти мова про математика,який зробив значний внесок у розвиток математики - це німецький математик Іоганн Петер Густав Лежен-Діріхле.Математик довго працював над своєю роботою , але все ж таки домігся свого і тепер значна частина людей  знає про його принцип  , що дозволяє досить поглибленно вивчити курс математики. Про принцип Діріхле буде йти мова у цій найковій роботі.

             За позитивного рішення багатьох завдань використовується логічний метод міркування -"від протилежного". У цьому розглянута одне з його форм — принцип Діріхле. Цей принцип стверджує, що  безліч з N елементів розбите на недоторкаючих частин, які мають загальниі елементі, де N>n . Принцип був успішно застосований  до доведення арифметичних тверджень.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                     3

 

 

 

 

Тези до наукової роботи

• Охнайомитися з головним змістом принципу Діріхле
• Детально вивчити план розв`язання задач по даному принципу за допомогою математичних підходів
• Осмислити новий матеріал и зрозуміти в чому саме суть цього матеріалу
• Мати уявлення що-до цієї системи розвязку
• Зрозуміти хід думки під час виконання задач
• Засвоєний матеріал вміти з розумом використовувати на практиці

    

Актуальність цього принципу є досить своє рідна. Принцип Діріхле досить часто застосовують для розвязання задач на олімпіадах , якщо подивитися то принцип Діріхле знаходить своє широке застосування і нашому реальному житті наприклад коли нам потрібно осмислити скільки і в якій кількості нам потрібно взяти той чи інший предмет щоб розмістити його у певній місцевості то чи клітки чи шкафи.

 

   Висновок: принцип Діріхле застосовується у реальному житті тому буду доцільно його знати і вміти застосовувати на практиці, або хоча б з цікавості вивчити і спробувати застосувати його на практиці у власних цілях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                               

 

 

 

 

                                                    Принцип    Діріхле

За традицією принципДирихле пояснюють з прикладу "зайців і клітин". Якщо хочемо застосувати принципДирихле під час вирішення конкретного завдання, то ми маємо розібратися, що — "клітини", що — "зайці". Це зазвичай є найтяжчим етапом в доказі.

   У додатковій літературі  і науково популярних виданнях формулювання принципу Діріхле звучить майже однаково :

"Якщо n клітинах сидить n+1 чи більше зайців, те знайдеться  клітина, у якій сидять у  крайнього заходу двох зайців".

Зауважимо, у ролі зайців можуть виступати різні предмети і математичні об'єкти - числа, відтинки, місця у таблиці тощо.

 Також є і інше  формулювання  принципу Діріхле :

"При будь-якому  відображенні безлічі Р , що містить n+1 елементів, в безлічі Q , що містить n елементів, знайдуться два елемента безлічі P, якій мають один і той же образ".

    Попри досконалу очевидність цього принципу, його застосування є дуже ефективним методом вирішення завдань, що дає у часто найбільш прості і витончені рішення. Однак у цих завданнях часто нелегко здогадатися, що прийнято вважати "зайцем", що - "клітиною", як і використовувати наявність двох "зайців", яких спіткало одну "клітину". З допомогою принципуДирихле зазвичай доводиться існування деякого об'єкта, не вказуючи, власне кажучи, алгоритм його перебування чи побудови . Це дає зване неконструктивний доказ - ми можемо сказати, в який саме клітині сидить два зайці, і знаємо лише те , що ця клітина існує і починаємо доводити .

  Наведені вище теореми і завдання показують, що природа "зайців" і "клітин" у різних завданнях може дуже відрізнятися одне від друга.

  Принцип Діріхле ускладнений різними  узагальненнями :

• Якщо в n клітинах сидять не більше n-1 кроликів, тобто є порожня клітка. Також доводиться від протилежного , якщо порожній клітини немає, то в кожній клітині сидить хоча б 1 кролик. Тоді кроликів не менше, ніж клітин?! Значить, порожня клітка є .
• . Якщо в n клітинах сидять рівно n кроликів , то або в кожній клітині сидить рівно один кролик , або є і порожня клітка , і клітина , в якій не менше 2 - х кроликів.Дійсно , якщо не в кожній клітині сидить рівно 1 кролик , то або ( а ) є порожня клітка , або ( б) є клітина , в якій не менше 2 - х кроликів. У випадку ( а ) у нас n кроликів виявляються розсаджених в n -1 клітин, тому , за принципом Діріхле , є і клітка, в якій не менше 2 - х кроликів . У випадку ( б) у нас не більше n - 2 залишилися кроликів виявляються розсаджених в n -1 клітин , отже  , є і порожня клітка . Це узагальнення може виявитися дужу корисним коли ми знаємо , що у кожній клітці не може сидіти по одному кролику.
• Якщо в n клітинах сидять не менше n * (k-1) +1 кроликів, то в якийсь з клітин сидять не менше k кроликів. Дійсно, якщо в кожній клітині сидить не більше k-1 кролика, то у всіх клітинах сидить не більше n * (k-1) кроликів, а їх хоча б на 1 більше .

 

• Якщо в n клітинах сидять не більше n * (k +1) -1 кроликів, то в якийсь з клітин сидять не більше k кроликів . Дійсно, якщо в кожній клітині сидить не менш k +1 кролика, то у всіх клітинах сидить не менш n * (k +1) кроликів, а їх хоча б на 1 менше .

 

• Це твердження узагальнює принцип Діріхле на випадок нецілого числа кроликів .  Якщо сума n чисел дорівнює S, то серед них є число, що не менше S / n, і число, що не більше S / n . Дійсно, якщо всі числа  строго  менші за S / n, то їх сума менша S, а якщо всі числа  строго  більше S / n, то їх сума більше S. В обох випадках отримуємо протиріччя .

Розглянемо не велику кількість завдань на практиці використовуючи при цьому теоретичний матеріал якій поданий  у теоретичній частині у вище вказаному тексті.

  Розглянемо приклад  1:

 Завдання 1. У мішку лежать  кульки 2-х різних кольорів (багато  білих і багато чорних). Яку  найменшу кількість кульок треба  на дотик вийняти з мішка,  щоб серед них завідомо виявилися два одного кольору.

Зробимо аналіз задачі і отримуємо рішення .

  Рішення: 3 кульки. Це - просто застосування принципу Діріхле: кроликами будуть взяті кульки, а клітинами - чорний і білий кольори. Клітин дві, тому якщо кроликів хоча б три, то якісь два потраплять в одну клітку (буде 2 одноколірних кульки). З іншого боку, взяти дві кульки мало, тому що вони можуть бути двох різних кольорів.

 Розглянемо ще декілька прикладів.

 Завдання 2

 Дано 233 цілих числа. Довести,  що різниця якихось двох з  них ділиться на 232 .

Рішення: У нас є 233 числа , які  ми , швидше за все , зробимо кроликами. Знайдемо відповідні клітини : їх має  бути не більше 232 , і різниця 2- х чисел , " сидять в одній клітці " повинна  ділиться на 232 . Залишки від ділення  на 232 якраз підходять. Застосовуємо принцип Діріхле  і отримує те що кроликів було 233 , а кліток було  232  запишемо це за загальноприйнятим означенням а за умовою 233 – це цілі числа а 232 це різниця 2 цілих чисел підставляємо ці дані у отримуємо те, що справді є 2 таких числа  різниця яких ділиться на 232.