Пример вычисления определителя матрицы

Пример вычисления определителя матрицы

 

Определитель матрицы — является многочленом от элементов квадратной матрицы (если элементы матрицы это числа, тогда определитель матрицы тоже будет числом).

Для нахождения определителя матрицы, исходная матрица должна быть квадратной.

Пример №1

Дана матрица размером 2х2;

   

Что бы вычислить определитель матрицы 2х2 нужно из произведения элементов  главной диагонали, вычесть произведение элементов побочной диагонали;

 

Ответ: -6

Пример №2

Дана матрица размером 3х3;

 

Что бы вычислить определитель матрицы 3х3 нужно воспользоваться формулой;

=

 

   

Подставляем наши значения в формулу;

 

 

Ответ: -642

 

 

Пример №3

Дана матрица размером 4х4;

 

Есть два способа  вычисления определителя матрицы:

1. По определению - через разложение по строке или столбцу;
2. По методу Гаусса - приведение матрицы к треугольному виду (этот способ лучше использовать для решения матриц, размером 4х4 и более).

Решим пример первым способом (по определению - через разложение по строке или столбцу)

Чтобы вычислить определитель матрицы, нужно воспользоваться следующей формулой, в ней рассмотрен пример разложения матрицы по первой строке;

 

 

Итак, начнём

1. Выбираем строку или столбец (любую), лучше всего выбирать строку или столбец, где больше нулей, для удобства вычисления;

В данном случае мы выбираем третью строку, так как в ней  присутствует ноль;

 

2. Берём первый элемент этой строки (2);

Теперь вычёркиваем третью строку и первый столбец;

 

 

 

 

Получаем матрицу 3х3;

 

Согласно формуле, мы умножаем выбранный нами элемент на определитель получившейся матрицы;

Вычисление определителя матрицы 3х3, мы рассматривали в примере  №2

 

 

 

3. Далее делаем всё тоже самое, что и в шаге два, только берём второй элемент данной строки (0) и вычёркиваем третью строку и второй столбец;

 

Так как этот элемент равен  нулю, то ни чего не нужно считать  и так всё ясно;

4. Теперь берём третий элемент строки (6) и вычёркиваем третью строку и третий столбец;

Получаем матрицу 3х3;

 

 

 

 

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный  нами элемент (6)

 

 

5. Берём четвёртый элемент строки (-3) и вычёркиваем третью строку и четвёртый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный  нами элемент (-3)

 

 

 

6. Чтобы вычислить определитель исходной матрицы, нужно сложить полученные результаты;

 

Ответ: -1926

Опишем решение  примера вторым способом (по методу Гаусса - приведение матрицы к треугольному виду)

Суть способа заключается  в том, чтобы перед вычислением определителя, привести матрицу к треугольному виду. Если в ходе приведения матрицы к треугольному виду вы умножаете (делите) строку на число, то на это же число нужно будет умножить (разделить) полученный в конце определитель;

Пример приведения матрицы к треугольному виду мы уже  рассматривали здесь

 

 

 

Итак, мы привили матрицу к треугольному виду;

 

Теперь чтобы вычислить  определитель приведённой матрицы, нужно перемножить все элементы, стоящие на главной диагонали;

 

Ответ: -1926

Если Вам не понятен, какой либо шаг или у Вас есть вопросы по вычислению определителя матрицы, вы всегда можете оставить свой комментарий на нашем сайте или вычислить его, воспользовавшись нашим онлайн  калькулятором.