Приложения криволинейного интеграла I рода

Глава 1. Приложения криволинейного интеграла I рода

 

1.1 Определение  криволинейного интеграла I рода, свойства, вычисление

Пусть дана (неориентированная) линия L с концами в точках А и В и функция трех переменных , определенная в каждой точке M=M(x,y,z)L. Разобьем линию L на n (обязательно равных) частей точками А=С₀,С₁,С₂,…,С_n-1,С_n=В. Выберем на каждой дуге С_k-1C_k произвольную точку M_k(x_k,y_k,z_k), обозначим через ∆l_k длину хорды С_k-1C_k, k=1,2,…,n, и пусть   - мелкость полученного разбиения P линии L (рис.1).

Составим интегральную сумму 

Если существует конечный предел этих интегральных сумм при  стремлении мелкости разбиения к  нулю, не зависящей от способа разбиения  линии L на n частей и выбора точек C_k , то этот предел называется криволинейным (или просто линейным) интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по линии L, и обозначается:

 

Теорема существования. Если линия L имеет кусочно-гладкую параметризацию, а функция непрерывна на ней, то существует криволинейный интеграл первого рода

Замечание 1. Точно так же определяется криволинейный интеграл от функции двух переменных f(x,y) по произвольной линии L, расположенной в плоскости XOY. Он обозначается, естественно,

 

Замечание 2. На языке запись означает следующее:

Для любого найдется такое, что для любого и всех разбиений P линии L на n точек и выбора на полученных дугах точек M_k (1<k<n) из следует

 

Свойства  криволинейного интеграла первого  рода

1. Аддитивность: если линия L есть объединение двух линий L₁ и L₂, имеющих, самое большое, конечное число общих точек L= L₁ L₂, то

;

(точнее, если существуют  оба интеграла в правой части,  то существует и интеграл в  левой части и равен сумме  двух первых).

2. Линейность: Для любых чисел и функций f(x,y,z) и g(x,y,z) справедливо равенство:

;

(точнее, если существуют  оба интеграла в правой части,  то существует и интеграл в  левой части и равен выражению,  стоящему в правой части).

3. Переход к неравенству под знакм интеграла: если линия L и функции и таковы, что для всех точек выполняется неравенство , то

;

(при условии, что оба  интеграла существуют).

4. Интеграл от константы: если линия L имеет длинну L, то

, в частности,

5. Теорема об оценке: если для всех точек выполняется неравенство , а линия L имеет длину L то выполняется неравенство:

.

(при условии, что данный  криволинейный интеграл существует).

6. Определение среднего значения функции: Средним значением функции на линии L, называется величина

.

7. Теорема о среднем: если непрерывная линия L имеет длинну L, а функция непрерывна на L, то найдется точка М_0, такая что , или, что равносильно

 

Вычисление  криволинейного интеграла первого  рода

Формула для вычисления криволинейного интеграла по линии L зависит от способа задания этой линии.

1. Линия L задана в пространстве (или на плоскости) параметрически:

, то

 Понятно, что на плоскости справедлива аналогичная формула:

.

2. Линия L задана на плоскости XOY явно, т.е. Тогда:
3. Линия L задана на плоскости в полярных координатах:

 

Тогда

.

 

1.2 Геометрические приложения криволинейного интеграла I рода

1. Длина кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором . Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом

.

Где - производная, а - компоненты векторной функции .

Если кривая C задана в плоскости, то ее длина выражается формулой

.

Если кривая C представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции в плоскости XOY, то длина такой кривой вычисляется по формуле

.

Наконец, если кривая C задана в полярных координатах уравнением , и функция является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением

.

Пример 1:

Найти длину кривой , при условии .

Решение:

Запишем функцию в виде или .

Рис. 2

Поскольку y ≥ 0, то мы возьмем только положительный корень в уравнении кривой. Длина кривой равна

.

Пример 2:

Вычислить длину параболы в интервале .

Решение:

Применяя формулу находим, что

 

Для вычисления полученного  интеграла сделаем замену

.

Cледовательно, При x=0 получаем , а при x=1 – соответственно, . Тогда длина участка параболы равна

.

Сделаем еще одну замену. Положим . Если t=0, то z=0. Если , то .

В приведенном выше выражении  мы использовали тригонометрическое соотношение .

В результате длина кривой равна 

.

Разложим подынтегральное  выражение на сумму элементарных рациональных дробей:

,

,

Следовательно, .

Решая данную систему уравнений, находим коэффициенты

.

=

=

.

 

2. Площадь цилиндрической поверхности

Рассмотрим на плоскости  некоторую спрямляемую кривую .

Пусть на этой кривой определена непрерывная и неотрицательная  функция  или . Тогда график функции представляет собой некоторую кривую , лежащую на цилиндрической поверхности, для которой кривая – направляющая, а образующая перпендикулярна к плоскости .

Найдем площадь  цилиндрической поверхности  , которая сверху

ограничена кривой , снизу – кривой с боков – прямыми и .

Для этого применим следующий алгоритм:

Разобьем произвольным образом кривую при помощи точек на частей.

Из каждой точки  дробления  проведем перпендикуляры к плоскости высотой . В результате вся цилиндрическая поверхность разобьется на n полосок .

Каждую полоску  заменим прямоугольником с основанием , где - длина дуги , и высотой, равной значению функции в какой-нибудь точке . Тогда площадь плоскости приближенна будет равна площади прямоугольника, то есть . Следовательно, для нахождения площади всей цилиндрической поверхности можно использовать следующую формулу:

Ясно, что приближенное равенство (1) будет тем точнее, чем  меньше величины . Пусть . Тогда точное значение искомой площади можно получить так:

.

Таким образом, получаем следующее равенство:

.

Таким образом, криволинейный  интеграл первого рода при , численно равен площади цилиндрической поверхности .

 

Пример 3:

 Вычислить часть боковой поверхности круглого цилиндра , срезанного сверху поверхностью .

Решение. Данная задача может быть сведена к вычислению криволинейного интеграла первого рода от функции вдоль дуги кривой , расположенной в первой четверти. Из уравнения окружности находим:

;

.

Искомая боковая  поверхность равна:

кв. ед.

Пример №2:

 Вычислить площадь части боковой поверхности круглого цилиндра , срезанного снизу плоскостью , а сверху – поверхностью .

 

Решение. Задача сводится к вычислению криволинейного интеграла от функции по окружности . Так как срезающая сверху поверхность симметрична относительно плоскостей и , то можно ограничиться вычислением интеграла только по дуге одной четвертой части окружности, расположенной в первой четверти плоскости . Получим:

, , ,

,

 

 

1.3 Физические  приложения криволинейных интегралов  I рода

1. Масса кривой:

Пусть вдоль некоторой  спрямляемой кривой распределена

Рис.4

масса с переменной линейной плотностью или , то есть величина зависит от координат материальной точки . Определим массу m всей кривой . Для этого раздробим кривую произвольным образом на n частей (элементарных дуг) . Предполагая, что на каждой элементарной дуге плотность постоянна и равна плотности в какой-нибудь из точек этой дуги (например, , где - фиксированная точка на дуге ), массу всей кривой можно приближенно вычислить по формуле:

,

где - длина элементарной дуги .

Эта формула будет тем точнее, чем мельче будет дробление кривой .

Пусть . Тогда за точное значение массы m всей кривой естественно принять предел суммы при :

.

Из этого вытекает, справедливость равенство:   

,

то есть масса  кривой с переменной линейной плотностью численно равна криволинейному интегралу первого рода от плотности по кривой .

Пример 5:

Вычислите массу  материальной кривой , заданной уравнением , где , если линейная плотность ее в каждой точке определяется формулой .

Решение. Имеем: . Поскольку в данном случае и , то будем иметь:

.

Пример 6:

Вычислить массу  четверти окружности

расположенной в  первом квадранте, если плотность в  каждой точке кривой равна квадрату ординаты этой точки, если .

Решение. Плотность

.

Пользуясь формулой (12) получаем следующее выражение:

 

2.Притяжение материальной точки  материальной кривой

Как известно по закону Ньютона, материальная точка  массы притягивает материальная точку массы с силой, направленной от

Рис. 5

к и численно равной , где – расстояние , а – коэффициент, зависящий от выбора основных единиц измерения. Для простоты будем считать его равным единице.

Если точка  притягивается системой точек с массами , то результирующая сила, или равнодействующая, получается геометрическим сложением сил притяжения отдельными точками. В то же время проекции результирующей силы на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций отдельных сил.

Если обозначить проекции равнодействующей на оси через  и , а угол, составленный вектором с осью , через , то, очевидно,

,                  ,

где , как обычно, означает длину вектора .

Пусть теперь притягивающая  масса распределена непрерывным  образом по кривой . Для нахождения притяжения разобьем кривую на участки и, сосредоточив массу каждого участка в произвольно выбранной на нем точке , найдем приближенные значения проекций равнодействующей на оси: