Последовательности в курсе алгебры 9-ти летней школы

 

Содержание

Введение  …………………………………………………………………...…….. 3

Глава 1. Определения последовательности, виды последовательностей изучаемые в школе…......................................................................................…... 4 
1.1. Основные теоретические отношения: определения, основные формулы и свойства изучаемые в школе. .. ………...……………………….………...… 4–7 
1.2. Виды арифметической прогрессии ......................................................... 8–10 
Глава 2. Особенности изучения последовательности в 9-ом классе............... 11 
2.1. Числа Фибоначчи и кратко-ориентированные задачи......................... 11–14 
2.2. Методические рекомендации……..……………………………...…….14–20

Заключение  ………………………...……………………………………….. 21–22

Список  использованной литературы... …………………………………… 23–25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Развитие мышления учащихся является задачей всех школьных дисциплин, однако, курсу математики в этом вопросе, в связи с его специфическими особенностями, отводится весьма важная роль. Действительно, оперирование в  ходе изучения предмета понятиями высокой  степени абстрактности, формирование представлений о математическом моделировании, систематически и последовательно  проводимая аргументация, четкая логическая схема рассуждения, точность, лаконичность, информированность языка – все  это присуще процессу обучения математике и все это способствует воспитанию умственной культуры школьников.

Одним из важнейших понятий математики и ее школьного курса является понятие функции. Числовые последовательности, являясь одним из важнейших классов  числовых функций, возникли и развились задолго до создания учения о функции и являются объектом самостоятельного изучения.

В этой связи, темой исследования мы определили: «Особенности изучения числовых последовательностей с применением  компьютерных технологий в курсе  математики основной школы».

Объектом исследования выступает  процесс обучения алгебре в основной школе. Предметом является деятельность учителя по изучению числовых последовательностей  в курсе алгебры основной школы.

В качестве цели исследовательской  работы выступает раскрытие специфики  изучения числовых последовательностей  в курсе математики основной школы. Для этого необходимо решить следующие  задачи:

1. Изучить методико-математическую  литературу  по проблеме исследования.

2. Раскрыть специфику  изучения  последовательностей  в курсе  алгебры основной школы.

3. Предложить методические  рекомендации.

Глава 1. Определения  последовательности, виды, изучаемые в школе

 
1.1. Основные теоретические отношения:  определения, основные формулы  и свойства изучаемые в школе

Существуют различные  подходы  к определению понятия  «числовая  последовательность».

Определение. Числовой последовательностью  называют числовую функцию, заданную на множестве N, натуральных чисел.

Поскольку функция определяется через  соответствие между множествами, то определение можно сформулировать в виде: если каждому натуральному числу ставится в соответствие по некоторому правилу единственное натуральное число , то множество занумерованных действительных чисел называется числовой последовательностью. [13]

В общем виде это можно  записать так:

1	2	3 ...	...
		...	...

Рассмотрим примеры числовых последовательностей:

5, 7, 9, 11, 13, 1 5 ...  (1)

1, 4, 9, 16, 25, 36 .... (2)

1, -1, 1, -1, 1, -1  .... (3)

В примере (1) каждому натуральному числу  ставится в соответствие нечётное число: ; следовательно, формула – го члена имеет вид: .

Числовая последовательность в  примере (2) задана следующим образом: каждому натуральному числу ставится в соответствие его квадрат, и  значит, – й элемент последовательности может быть задан формулой .

В последнем примере (3) – й элемент последовательности имеет  вид:

Итак, последовательность может быть задана с помощью формулы, позволяющей  вычислять каждый член последовательности по его номеру.

Существуют и другие способы  задания последовательностей. Так, например, числовую последовательность можно изображать:

а) точками на числовой оси, где .

б) точками с координатами на плоскости.

Например: последовательность, общий  член которой можно изображать точками на числовой оси (рис.1) и точками на координатной плоскости (рис.2).

Рис.1 Последовательность на числовой оси

Рис.2 Последовательность на координатной плоскости

Последовательность может  быть задана рекуррентным способом (лат. recurre «возвращаться») В этом случае надо указать первый член (или несколько  первых членов) и формулу, связывающую член последовательности с предыдущим (или предыдущими). [20]

Например, для последовательности чисел Фибоначчи:

0;  1; 1; 2; 3; 5; 8; … в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел . Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи    задается линейным рекуррентным соотношением:

F₀ = 0, F₁ = 1,  F_n = F_n-1 + F_n-2, n ≥ 2

Среди рекуррентно заданных последовательностей  выделяют возвратные последовательности.

Если существует натуральное  число  и числа   (действительные или мнимые), такие, что, начиная с некоторого номера и для всех следующих номеров, то последовательность  называется возвратной последовательностью порядка , а соотношение     (*) - возвратным уравнением порядка .

Таким образом, возвратная последовательность характеризуется  тем, что каждый её член (начиная  с некоторого из них) выражается через  одно и то же количество непосредственно предшествующих ему членов по формуле (*). Само название «возвратная» (а также рекуррентная, от французского recurrente - возвращающаяся к началу) употребляется именно потому, что здесь для вычисления последующего члена возвращаются к предшествующим членам. [18, 19]

Например, последовательность чисел Фибоначчи является возвратной последовательностью 2-го порядка, так как

Возвратными последовательностями являются также арифметическая и геометрическая прогрессии. И поскольку прогрессии изучаются в школьном курсе математики, то рассмотрим их более подробно.

Легенда о шахматной доске или  сумма первых n членов геометрической прогрессии. [22]

Об истории возникновении шахматной  игры существует легенда.

 Давным-давно жил в Индии  деспотичный раджа. Один из  приближенных решил показать  властителю, насколько зависит он  от подданных, и придумал игру, где король (царь, шах) хотя и  является главной фигурой, однако  мало что значит без поддержки  и защиты других фигур. 

 Игра оказалась удивительно  интересной, и не заметивший нравоучительного  намека раджа предложил создателю любое вознаграждение.

 И, как гласит легенда шахмат, последний выразил желание получить  награду хлебными зернами, но  так, чтобы за первое поле  шахматной доски ему дали одно  зернышко, за второе — два,  за третье — четыре, потом восемь, шестнадцать и т. д. 

 Поскольку на доске всего  шестьдесят четыре клетки, раджа  думал обойтись одним-двумя мешками,  однако на деле выяснилось, что  во всем мире не найти столько  зерен, сколько понадобится для  того, чтобы удовлетворить пожелание  хитроумною изобретателя.

, что составляет 18 446 744 073 709 551 615. Задача (и ее вариации) демонстрируют  высокую скорость роста экспоненциальных  последовательностей.

Такова легенда о мудрой шахматной  игре и его создателе.

 

 

 

 

 

1.2. Виды  арифметической прогрессии и  методика ее изучения

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. [19]

Последовательность арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие , где - некоторое число.

Т.е. разность между любым  членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна т.е. при любом натуральном n верно равенство

Число называют разностью арифметической прогрессии. Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность.

Приведем примеры.

Если  и , то получим арифметическую прогрессию                 члены которой – последовательные натуральные числа.

Если  и , то получим арифметическую прогрессию                , которая является последовательность положительных нечетных чисел.

Если  и , то получим арифметическую прогрессию                , которая является последовательностью отрицательных четных чисел.

Если  и , то имеем арифметическую прогрессию все члены которой равны между собой.

По определению арифметической  прогрессии

 

 

 

 

Точно так же находим, что , и вообще, чтобы найти , нужно к прибавить , т. е.

Получили формулу n - го члена арифметической прогрессии.

Пример: Последовательность – арифметическая прогрессия, в которой Найдем пятидесятый член этой прогрессии.

Имеем

Важное свойство арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и  последующего членов.

Действительно, если последовательность является арифметической прогрессией, то         [18]                       

                              т. е.

 

 

Верно и обратное утверждение: если в последовательности каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

Действительно, из равенства 

                            , где ,

следует, что 

 

 

а это означает, что разность между  последующим и предыдущим членами  последовательности остается постоянной. Значит, последовательность арифметическая прогрессия.

Заметим, что формулу  члена арифметической прогрессии можно записать иначе:

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида где и – некоторые числа.

Верно и обратное: последовательность , заданная формулой вида где и – некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Действительно, найдем разность - го и n - го членов последовательности :

 

Значит, при любом  справедливо равенство , и по определению последовательности является арифметической прогрессией, причем разность этой прогрессии равна

 

 

 

 

                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Особенности изучения последовательности в 9-ом классе

 

 
2.1. Числа Фибоначчи и кратко-ориентированные задачи

Анализ учебно-методической литературы позволил сделать вывод  о том, что изучение числовых последовательностей  в школьном курсе математики имеет специфические особенности. [21]

Прежде всего, как отмечает А.Г. Мордкович «в большинстве действующих  учебников тема: «Прогрессии» в 9 классе – не имеет связей с остальными материалами основной школы.

Числа Фибоначчи обладают целым  рядом интересных и важных свойств, которые мы рассмотрим подробнее.

Многие соотношения между числами  Фибоначчи удобно доказывать при  помощи метода математической индукции.

Простейшие свойства чисел Фибоначчи.

1) Вычислим сначала сумму первых  чисел Фибоначчи. А именно докажем, что:        (1.1)

Будем доказывать методом математической индукции.

Проверим, верно ли равенство при :

, так как  то 2;                  – верно.

Предположим, что равенство верно  при , т.е.                           .

Докажем, что равенство верно  при . Нужно доказать, что: .

 

Доказательство:

;

.

 

 2) Сумма чисел Фибоначчи с нечётными номерами:                               ,    (1.2)

Для доказательства равенства  также  будем использовать метод  математической индукции. Проверим верность равенства  при :

;

 

– верно.

Предположим, что равенство верно  при , т.е.                                   

Докажем, что равенство верно  при , т.е. нужно доказать, что:

.

 Доказательство:

  ;

.

 

3) Сумма чисел Фибоначчи с чётными номерами:    [23]                           , (1.3)

Доказательство:

На основании (1.1) имеем: ;

Вычитая почленно из этого равенства равенство, (1.2) получаем:

  .

Формулы (1.1) и (1.2) были доказаны при  помощи метода математической индукции.

До сих пор числа Фибоначчи определяли рекуррентно. Однако, любое число Фибоначчи можно определить непосредственно, как некоторую функцию его номера.

Исследуем для этого различные  последовательности                             удовлетворяющие соотношению:   (1.4)

Все такие последовательности называют решениями уравнения (1.4)

Рассмотрим последовательности:

 

 

 

Обозначим их соответственно , (), (). Для данных последовательностей справедливы следующие утверждения: