Основная теорема алгебры

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ:

 

17 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Всякое алгебраическое уравнение степени n с комплексными коэффициентами имеет n комплексных корней.

На самом  деле, имеется много эквивалентных  формулировок, например, такая: каждый вещественный многочлен может быть представлен в виде произведения вещественных линейных и вещественных квадратичных множителей.

Ранние исследования уравнений аль-Хорезми (с 800 г.) посвящены только положительным вещественным корням и не имеют отношения к ОТА(основой теоремы алгебры). Кардано был первым, кто понял, что можно работать с величинами, более общими, чем вещественные числа. Это открытие было сделано в ходе изучения формулы корней кубического уравнения. Эта формула в применении к уравнению x3=15x+4 дает ответ, в котором содержится  , хотя Кардано уже знал, что   является корнем этого уравнения. Он мог применять свои “комплексные числа’’, чтобы получить правильный ответ, но он еще никак не мог объяснить такой своей математики.

Бомбелли в  “Алгебре”, опубликованной в 1572 г., дал  надлежащий набор правил действий с этими “комплексными числами’’. Декарт в 1637 г. говорит, что можно “представить’’ для каждого уравнения n-ой степени n корней, но эти представленные корни не соответствуют никаким вещественным величинам.

Виет приводил уравнения степени n с n корнями, но первым утверждал, что всегда есть n решений, голландский математик Альбер Жирар в 1629 г. в работе L’invention en algèbre. Однако он не доказал, что решения имеют вид a+bi, где a и b вещественные числа, так что допускал возможность, что решения принадлежат полю, включающему в себя  . В действительности это оставалось проблемой ОТА в течение многих лет, пока математики принимали утверждение Альбера Жирара как самоочевидное. Они считали, что алгебраическое уравнение степени n должно иметь n корней, проблема была, по их мнению, в том, чтобы показать, что эти корни имеют вид a+bi, где a и b вещественные.

 “Доказательство’’  неверности ОТА было дано Лейбницем  в 1702 г., когда он утверждал,  что многочлен x4+t4 не может быть записан как произведение двух вещественных квадратичных множителей. Его ошибка произошла от непонимания, что   может быть представлен в виде a+bi, где a и b вещественные. Эйлер в 1742 г.

в переписке  с Николаем Бернулли и Гольдбахом показал, что контрпример Лейбница был ложным.

Даламбер в 1746 г. сделал первую серьезную попытку  доказать ОТА. Для многочлена f он выбирает вещественные b и c такие, что f(b)=c. Он показывает, что существуют комплексные числа z1 и w1 такие, что |z1|<|c|,|w1|<|c|. Затем он приводит итеративный процесс, сходящийся к корню f. Его доказательство имеет ряд недостатков. Во-первых, он использует без доказательства лемму, которая была доказана в 1851 г. Пюизо, но это доказательство использует ОТА! Во-вторых, у него не было необходимых знаний для использования компактности, чтобы дать окончательное доказательство сходимости. Несмотря на это, идеи этого доказательства являются важными.

Эйлер вскоре смог доказать, что каждый вещественный многочлен степени n(n<7) имеет ровно n комплексных корней. В 1749 г. он попытался доказать это в общем случае, т.е. он попытался доказать ОТА для вещественных полиномов: «Каждый многочлен n-й степени с вещественными коэффициентами имеет ровно n нулей в  ».

В 1772 г. Лагранж  выдвинул возражения, относящиеся к  доказательству Эйлера. Он сказал, что доказательство Эйлера может привести к неопределенности 0/0. Лагранж использовал свои знания о перестановках корней, чтобы заполнить все пробелы в доказательстве Эйлера за исключением того, что он по-прежнему считал, что полиномиальное уравнение степени n должно иметь n корней какого-то вида. Таким образом, он мог работать с ними и выводить их свойства, также как и то, в конечном счете, что они имеют вид a+bi.

Лаплас в 1795 г., пытался доказать ОТА, используя  совершенно другой подход: через дискриминант многочлена. Его доказательство было очень элегантным, и проблема осталась только в том, что снова предполагалось существование корней.

Гауссу приписывают  первое доказательство ОТА. В своей  докторской диссертации 1799 г. он представил свое первое доказательство, а также свои возражения на другие доказательства. Он, несомненно, является первым, кто указал на фундаментальный недостаток в доказательствах, а именно на тот факт, что используется существование корней, а затем выводятся их свойства.

В данной контрольной  работе будет показано, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Для доказательства Основной теоремы Алгебры будет использован ряд вспомогательных утверждении, таких как лемма Даламбера и лемма о достижении точной нижней грани значений.

 

Основные определения

Определение. Множество А с операциями сложения ( ) и умножения ( ) называется полем, если множество А является кольцом и для любого элемента существует обратный элемент относительно умножения и само множество содержит хотя бы один, отличный от нуля элемент.

Определение. Множество комплексных чисел определяется как множество упорядоченных пар , где , , для которого определены операции сложения и умножения по правилам:

 

 

Исходя из этого определения  получаем, что данное множество указанных пар является полем, которое называется полем комплексных чисел.

Последовательность комплексных  чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.

Последовательность  называется подпоследовательностью , если для любого k существует такое натуральное , что = , причем Б тогда и только тогда, когда .

Комплексное число – расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению . Вещественное число (действительное число) – любое положительное число, отрицательное число или нуль.

 

Функция – 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение величины y (зависимой переменной или функции в значении 1).

Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Последовательность называется ограниченной на множестве Е, если существует такая постоянная М>0, что для всех и всех выполняется неравенства

Последовательность сходится к функции f равномерно на множестве  Е, если для любого существует такой номер , что если , то для всех выполняется неравенство . Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на Е.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Элементы теории пределов для комплексных чисел

 

Определение. Пусть дана последовательность комплексных чисел . Число называется пределом данной последовательности, если для любого существует номер , такой, что при выполняется неравенство . Данное выражение записывают в виде lim , а=lim , b=lim .

      Предел lim =c равносилен пределу ,  так как

max

Последовательность такая, что , где называется ограниченной.

Из вещественного анализа  известна теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.

Действительно, пусть ограниченная последовательность, т.е. , тогда , так что есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность . Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей . Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность .

Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен .

Доказательство основной теоремы

Перед тем как приступить к доказательству, наметим план. Пусть f(z) -полином комплексной переменной . Представим себе "график" функции , считая , что значения изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения откладываются вверх в направлении оси . Мы установим, что f(z) и | f(z) | являются непрерывными функциями от на всей плоскости комплексной переменной. Функция f(z) от комплексной переменной называется непрерывной в точке , если достаточно близким к значениями соответствует сколь угодно близкие к значения .В более точных терминах - для любого найдется такое , что , как только .

Непрерывность | f(z) | дает основания представлять себе график в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость , и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение , в котором f(z₀)=0, и, тем самым, | f(z₀) |=0, т.е. что поверхность доходит до плоскости в точке . Мы покажем, что если дана точка на поверхности ,которая расположена выше плоскости , то в ее окрестности найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности существует самая низкая точка, скажем, при . Она не может находиться выше плоскости , ибо тогда она была бы самой низкой точкой. Следовательно, и , следовательно , т.е. корень полинома . 

Теперь приступим к  доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.

 

Лемма 1. Дан полином c нулевым свободным членом. Тогда для любого найдется такое , что , как только .

Доказательство: Пусть  . Тогда рассмотрим модуль данного многочлена и оценим его.

Положим

Тогда, если  , тогда что и требовалось доказать.

Лемма 2. Полином f(z) есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.

Доказательство: Рассмотрим полином f(z) и точку _. Запишем его в следующем виде . Тогда поэтому

Правая часть равенства есть полином от с нулевым свободным членом, тогда по лемме 1 для любого , такое что как только что и требовалось доказать.

Лемма 3. Модуль многочлена есть непрерывная функция.

Доказательство: Из неравенства  получаем, что для то , которое подходит для , подходит и для . И действительно, при получаем

_{Что и требовалось  показать.}

Лемма 4. (о возрастании модуля полинома). Если -полином, отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что M,как только .

Это означает, что любая  горизонтальная плоскость  отрезает от поверхности конечный кусок, накрывающий часть круга |z|≤R.

 

Доказательство: Рассмотрим полином f(z) и преобразуем его.

где полином от переменной c нулевым свободным членом.

Для из леммы 1 получаем, что существует такое , что при , получим . Модуль может быть сделан сколь угодно большим, а именно, при будет . Возьмем Тогда при получаем

 и  так что

Лемма 5. Точная нижняя грань достижима, т.е. существует такое , что при всех .

Доказательство: Обозначим  точную нижнюю грань  через , то есть . Возьмем последовательностью стремящихся к сверху. Каждая из этих чисел не является нижней гранью значений , так как -точная нижняя грань, поэтому существуют такие , что . Воспользуемся леммой о возрастании модуля. Для найдем такое , что при будет Отсюда следует, что при все . Последовательностью оказалась ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано-Вейргштрасса). Пусть ее предел равен . Тогда в силу непрерывности . Кроме того, . Поэтому Итак , что и требовалось доказать. 

Лемма 6. (Лемма  Даламбера). Пусть полином отличный от f(z)=const и . Тогда существует такая точка , что для любого имеем

Доказательство: Запишем полином по степеням

Тогда Идея доказательства состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого "откусить кусочек" от , а влияние дальнейших слагаемых сделать незначительным. Пусть – первое отличное от нуля слагаемое после , так что (если k>1). Такое слагаемое имеется, так как f(z) не константа. Тогда

  +

+ ( +…+ ))=

= c₀ (1+ + ).