Натурал және теріс емес бүтін сандар

Керісінше: аралас санды  бұрыс бөлшек түрінде жазу үшін: 1) аралас санның бүтін бөлігін бөлшек бөлігінің бөліміне көбейту керек; 2) шыққан көбейтіндіге бөлшек бөлігінің алымын қосу керек; 3) шыққан қосындыны бұрыс бөлшектің алымы етіп жазып, бөлшектін бөлімін өзгертпей қалдыру керек. Мысалы,

Натурал сандарды аралас сан түрінде жазуға да болады. Мысалы, 9 санын бөлімі 7 болатын; 5 болатын аралас сан түрінде жазып керсетейік:

Натурал сандық бұрыс  бөлшек түрінде де жазуға болады. Мысалы, 4 санын бөлімі 1, 6, 8, 15 болатын бұрыс  бөлшек түрінде жазсақ:

 

Сандық сәуле. Жай бөлшекті сандық сәуледе кескіндеу 

 

Ох сәулесін сол жақтан оң жакка қарай сызайық (10, а-сурет).

 

 

Ох сәулесінің бас нүктесі — О нүктесінің тұсына 0 санын жазамыз, осы сәуленің бойына О нүктесінен бастап таңдап алынған бірлік кесіндіге тең кесінділерді өлшеп салып, бір бірлік кашықтықтағы А нүктесін 1 санымен, екі бірлік кашыктыктағы В нүктесін 2 санымен, үш бірлік қашыктықтағы С нүктесін 3 санымен және т.с.с. белгілеп жазайық. Осылайша бірте-бірте жылжи берсек, сандық (координаталық) сәуле сызамыз. Әрбір О, A, B, С, ... нүктелеріне сәйкес 0, 1, 2, 3, ... сандарын сол нүктелердің координаталары деп атайды. Жазылуы: О(0); А(1); .8(2); С(3),.... Оқылуы О нүктесінің координатасы 0. А нүктесінің координатасы 1; В нүктесінің координатасы 2 және т.с.с. Сандык, сәуленің О нүктесі санақ басы деп аталады.

Жай бөлшекті сандық сәуледе  кескіндегенде бірлік кесінді берілген бөлшектің бөлімінде қандай сан  болса, сонша өзара тең бөлікке (үлеске) бөлінеді де, алымында кандай сан болса, сонша бөлігі (үлесі) алынады. Мысалы, дүрыс бөлшегін сандық сәуледе кескіндейік. Ол

үшін бірлік кесіндіні (10, б-сурет) өзара тең 5 бөлікке (үлеске) бөлеміз де, оның 3 бөлігін (үлесін) аламыз.

 

Оны А нүктесімен белгілейміз. Сонда сандық. сәуле бойында санына А нүктесі сөйкес келеді. А нүктесінің координатасы саны болады. Жазылуы: . Демек, А нүктесі — бөлшегінің сандық сәуледегі кескіні.

Дүрыс бөлшек 1-ден кіші болғандықтан, оған сандык сәуледе 0-ден 1-ге дейінгі нүкте сәйкес келеді. Бүрыс бөлшек 1-ге тең неме-се 1-ден үлкен болғандықтан, ол сандық сәуледе 1-де немесе 1-дің оң жағъшда кескінделеді. Мысалы, бүрыс бөлшегін сандық сәуледе кескіндейік. Ол үшін өрбір бірлік кесіндіні өзара тең 5 бөлікке (үлеске) бөліп, сондай бөліктің (үлестің) 7-еуін аламыз (11-сурет).

 

 

Сонда В нүктесі берілген бұрыс бөлшегінің сандық сәуледегі кескіні болады немесе санына сандық сәуледе В нүктесі сәйкес келеді дейміз. Демек, В . Бұл жерде бұрыс бөлшек болғандықтан, оған сәйкес нүкте 1-дің оң жағында кескінделеді. Бұрыс бөлшек аралас сан түрінде берілгендегі, мысалы, -тің сандық сәуледегі кескінін табайық. бөлпіегі 2 мен дұрыс бөлшегінің косындысы. Онда -ке сәйкес нүктені табу үшін 2 бүтін бөлікке жалғастыра бөлшегін кескіндейміз (12-сурет).

20-сурет

Сонда С нүктесі аралас санының сандық сәуледегі кескіні болады.

Сандық сәуледе берілген бөлшекке бір еана нукте сәйкес келеді.

 

 

Жай бөлшектерді  ең кіші ортақ бөлімге келтіру 

Жай бөлшектің негізгі  қасиетін пайдаланып, бөлімдері әр түрлі бөлшектерді бөлімдері  бірдей бөлшектермен алмастыруға болады. Бөлімдері әр түрлі бөлшектердің бәріне бөлім бола алатындай санды сол бөлшектердің ортақ бөлімі дейміз.

1-мысал. пен бөлшектерін ортак бөлімге келтірейік.

Бұл бөлшектердің ортақ  бөлімі болатын сан 5 пен 3 сандарына  белінуі тиіс, яғни 5 пен 3 сандарының ортак еселігі болып табылады. 5 пен 3 сандарының ортақ еселіктері шексіз көп: 15, 30, 45 және т.с.с. Осы мүмкін бөлімдердің ең кішісін ең кіші ортақ бөлім ретінде аламыз, яғни берілген бөлшектердің ең кіші ортақ бөлімі олардың бөлімдерінің ең кіші ортак еселігі болады. Сонымен берілген қысқармайтын бөлшектердің — ең кіші ортац бөлімі сол бөлшектер бөлімдеріның ең кіші ортақ еселігі болады. Демек, ЕКОЕ (5,3)=15. Онда пен бөлшектерінің ортақ бөлімі - 15 саны.

Енді бөлшектердің бөлімдері 15 саны болуы үшін берілген бөлшектердің алымын да, бөлімін де толықтауыш көбейткіш деп ата-

латын санға көбейтеміз. бөлшегінің толықтауыш көбейткіші 3 саны, себебі 15:5=3; , қысқаша: . Толықтауыш көбейткішті бөлшектің сәйкес алымдарының үстіне жазамыз. бөлшегінің толықтауыш көбейткіші 5 саны, себебі 15 : 3=5;

 , қысқаша:

 

Берілген бөлшектерді  ортақ бөлімге келтіру үшін алымын да, бөлімін де көбейтетін санды толықтауыш көбейткіш дейміз. Толықтауыш кебейткішті табу үшін, ортақ белімді берілген бөлшектің бөліміне бөлу керек. Шықкан бөлінді сол бөлшектің толықтауыш көбейткіші болады.

Қорыта айтқанда, бөлшектерді  ең кіші ортақ бөлімге келтіру  үшін: 1) берілген бөлшектер бөлімдеріның ең кіші ортақ еселігін табамыз. Бұл ең кіші opmaқ бөлім болады; 2) бөлшектпердің әрқайсысы үшін толықтпауыш көбейткішті табамыз; 3) әрбір бөлшектің алымы мен бөлімін оның толықтауыш көбейткішіне көбейтеміз. Сонда бөлімдері бірдей бөлшектер алынады. Екі белшекті ғана емес, үш, терт және т.с.с. бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіруге болады.

2-м ы с а л: бөлшектерін ең кіші ортак бөлімге келтірейік.

ЕКОЕ (7, 4, 14)=28, толықтауыш кебейткіштер: 28:7=4; 28:4=7; 28:14=2, онда

  және бөлшектері алынды, бөлшектер ең кіші ортақ

белімге келтірілді.

Егер аралас сандар берілсе, олардың бөлшек бөліктерін ең кіші opтaқ бөлімге келтіреміз.

3-мысал. және . ЕКОЕ (4,12)=12, 12:4=3.

Сонда

 

Жай бөлшектерді  салыстыру

Жай бөлшектерді де натурал  сандар сияқты салыстыруға болады. Жалпы жағдайда жай бөлшектердің бөлімдері әр түрлі болғанда, оларды ортақ бөлімге келтіріп, бөлімдері бірдей бөлшектерді салыстырады.

1-мысал. пен жай бөлшектерін салыстырайық. Ол үшін берілген бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіреміз. Ортақ бөлім — 8 саны. Сонда . Олай болса, мен жай бөлшектерін салыстырамыз. Бөлімдері бірдей бөлшектердің қайсысының алымы үлкен болса, сол бөлшек үлкен болады.

 

13-сурет бойынша     онда болады. Сандық сәуледе пен — жай бөлшектерінің кескіндерін карастырайық.

 

 

 

 

 

14-сурет

Сандык сәуледе кіші бөлшек сол жақта, үлкен бөлшек

оң жакта кескінделеді. Онда сандық сәуледе шамасы кіші бөлшек

сол жақта, шамасы үлкен бөлшек оң жақта  кескінделеді.

Егер жай бөлшектердің алымдары бірдей, бөлімдері әр түрлі  болса, оларды ортақ бөлімге келтірмей-ақ салыстыруга болады.

 

2-м ы с а л  . пен жай бөлшектерін салыстырайық.

 

Енді аралас сандарды салыстыруға тоқталайық. Аралас сандарды саластырғанда алдымен олардың бүтін бөліктерін салыстырамыз. Қай аралас санның бүтін бөлігі үлкен болса, сол аралас сан үлкен.

3-мысал.  пен сандарын салыстырайық. Мұнда 3 > 2.

Сондықтан  болады.

Егер аралас сандардың бүтін бөліктері тең болса, онда олардың бөлшек бөліктері салыстырылады.

4-м ы с а л. пен сандарын салыстырайық. ЕКОЕ (7,8) = 56, яғни  

          онда ,

Бөлімдері әр түрлі  және бөлшектерінде: 1) a•d=b • с   болса, онда  Мысалы, , себебі 2 • 10=5 • 4; 2 • 10 = 20; 5 • 4=20. 2) a • d> b • с  болса, онда  . Мысалы, себебі 5∙11>12∙3. 3)a∙d<b∙c болса, онда    және бөлшектерін салыстырайык: 2•7<9•3; 2•7=14; 

9•3=27; 14<27; онда . Бөлшектердің негізгі касиетін пайдалансақ, болады да,     мен бөлшектері салыстырылады.

 

Жай бөлшектерді  қосу

 

Бөлімдері бірдей бөлшектерді  қосуды карастырайық.

 

 

 

 

15-суретте ОА мен АВ кесінділерін косу кескінделген: ОА+АВ=ОВ.   ОА кесіндісінің ұзындыгы   бірлік, АВ кесіндісінің ұзындыгы бірлік. ОВ кесіндісінің ұзындығы бірлік. Демек,    пен -нің қосындысына тең: ОВ=ОА+АВ= ОВ

Бөлімдері бірдей бөлшектердің қосқанда, олардың  алымдарын қосып, алым етіп жазады да, бөлімін сол күйінде қалдырады.

Әріптерді пайдаланып, бөлімдері  бірдей бөлшектерді косуды былай  жазады: .  Мұндағы п — бөлшектердің бөлімі, a және b - белшектердің алымдары, a +в - қосынды бөлшектің алымы.

 

Егер  қосылғыш бөлшектердың бөлімдері әр түрлі сандар болса, онда: 1) бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіреміз; 2) бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу ережесі бойыншақцосу амалын орындаймыз.

Мысалы, пен бөлшектерін косайық. ЕКОЕ (12, 15)=60.

60 : 12 =5 — бірінші бөлшектің толыктауыш көбейткіші, 60 : 15=4 — екінші бөлшектің толықтауыш көбейткіші, сонда

 немесе қысқаша

Бөлшектерді қосу кезінде  қосудың ауыстырымдылык және терімділік қасиеттерін пайдалануға болады. Мысалы,   (ауыстырымдылық қасиеті), себебі

 (терімділік қасиеті).

 

 

Аралас сандарды қосу

Аралас сандарды қосуда, аралас сандардың бүтін бөліктері  мен бөлшек бөліктерін қосу үшін қосудың  ауыстырымдылык және терімділік қасиеттері пайдаланылады.

1 -м ы с а л.  пен аралас сандарын қосайык.

Қосылғыштардың бөлшек бөліктерін ең кіші ортақ бөлімге келтіреміз: ЕКОЕ (8, 12)=24;

 > кыскаша: немесе

Демек, аралас сандарды косу үшін:

1) бөлшек бөліктері ең кіші ортақ бөлімге келтіріледі;

2. бүтін бөліктерін бөлек, бөлшек бөліктерін бөлек қосып,қосындысы аралас сан түрінде жазылады;
3. егер қосындыдағы аралас санныц бөлшек бөлігі бурыс бөлшек болса, оныц бутіні аралас санныц бутпін бөлігіне қосылады.

2-м ы с а л.

кысқаша:

Дұрыс бөлшек пен аралас санды қосуды қарастырайық.

3-м ы с а л.

 кысқаша:

Дұрыс бөлшек пен аралас санның косындысы аралас сан болады. Оның бүтін бөлігі берілген аралас санның бүтін бөлігіне тең де, бөлшек бөлігі берілген дұрыс бөлшек пен аралас санның бөлшек бөлігінің қосындысына тең. Натурал сан мен аралас санның қосындысын карастырайық.

4-мы с а л. 

қысқаша:

Натурал сан мен аралас санды қосканда, натурал сан мен  аралас санның бүтін бөлігі косылып, қосындыға аралас санның белшек бөлігі тіркеліп жазылады.

 

Жай бөлшектерді  азайту

Бөлімдері бірдей бөлшектерді азайтуды қарастырайық. 16-суретте   АС= ;    АВ= ;    ВС= кесінділері кескінделген. Мұндағы AC - АВ = ВС. Демек,

Бөлімдері бірдей бөлшектерді азайтқанда азайғыштың алымынан азайтқыштыц алымын шегеріп, алым етіп жазып, бөлімін сол күйінде  қалдырады. Әріптерді пайдаланып, бөлімдері бірдей

бөлшектерді азайтуды былай  жазады:           . Мұндагы

п — бөлшектердің бөлімі, а және b — бөлшектердің алымдары.

1-м ы с а л. 

Егер  бөлшектердің бөлімдері әр түрлі  болса, онда: 1) бөлшектерді ең кіші ортақ  бөлімге келтіреміз; 2) бөлімдері бірдей бөлшектерді азайту ережесі бойынша азайту амалын орындаймыз.

2-м ы с а л. қысқаша:

Натурал саннан бөлшекті азайтуды қарастырайық. Ол үшін:

1-тәсіл. Азайғыш натурал санды бөлімі азайткыш белшектің бөліміне тең бұрыс бөлшек түрінде жазамыз. Сонан соң бөлімдері бірдей бөлшектерді азайту ережесін пайдаланып азайтамыз.

3-м ы с а л.  

2-тәсіл. Азайғыш натурал санды бір бүтінге кемітіп, бөлімі азайтқыш бөлшектің бөліміндей аралас сан түрінде жазамыз. Бөлшек бөліктерін азайтып, шыққан айырмаға 1 бүтінге кеміген натурал санды қосамыз.

 қысқаша:

4-м ы с а л.  

 

Аралас сандарды азайту

 

Бөлімдері әр түрлі аралас сандарды азайтуды карастырайық.

1-м ы с а л.

 ; кысқаша: немесе

Бөлімдері әр түрлі аралас сандарды азайтканда:

1. бөлшек бөліктерін ең кіші ортақ бөлімге келтіреміз;
2. бүтін бөліктерін бөлек, бөлшек бөліктерін бөлек азайтпамызда, 
   нәтижелерін қосамыз.

Егер азайғыштың алымы  азайтқыштың алымынан кіші болса, онда азайғыштың бүтін бөлігінен "бір  бүтінді" (азайтып) бұрыс бөлшекке айналдырып, бөлшек бөлігіне қосамыз. Сонда азайғыш аралас санның бөлшек бөлігі бүрыс бөлшек болады. Ол азайтқыш аралас санның дұрыс бөлшек бөлігінен үлкен, демек, аралас сандарды азайтуға болады.

2-м ы с а л.

Қыскаша:  

 

 

 

Натурал сан, дұрыс  бөлшек және аралас санға азайту амалын қолдану

 

1. Натурал саннан аралас санды азайтуды карастырайык. 
1 -м ы с а л.

Натурал саннан аралас санды азайту үшін натурал санды 1-ге кемітіп, аралас сан түрінде жазу керек. Сонда азайту амалы аралас саннан аралас санды азайту ережесі бойынша орындалады.