Натурал және теріс емес бүтін сандар

Ең кіші жай сан  – 2 саны. 2 санынан басқа жай сандардың  барлығы тақ сандар, сонда 2 саны ғаны жай жұп сан.

Жай сандар шексіз көп  болады. Кітап мұқабасының астар бетінде 1000-ға дейінгі жай сандар кестесі келтірілген.

2. Екіден көп бөлгіштері бар болатын сандапрд құрама сандар деп атайды. Кестедегі 35, 26, 18 сандары – құрама сандар. Мысалы, 8 саны – құрама сан, бөлгіштері: 1, 2, 4, 8, 24 саны – құрама сан, бөлгіштері: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

3. Натурал 1 санның бір ғана бөлгіші бар, ол сол санның өзі – 1 саны. Ол жай сандар тобына да, құрама сандар тобына да жатпайды.

 

 

Құрама сандарды жай көбейткіштерге жіктеу

Құрама сандарды жай  сандардың көбейтіндісі түрінде жазып көрсетуге болады. Мысалы, 15=3•5. Құрама сандарды жай сандардың көбейтіндісі түрінде жазуды оларды жай көбейткіштперге жіктеу деп атайды. Жай көбейткіштер қатары тек қана жай сандардан турады. Мысалы, 30 саны — құрама сан. Оны жай көбейткіштерге жіктеу: 30=2• 3•5.

Құрама санды жай  көбейткіштерге жіктеудің екі тәсілі бар.

1-т ә с і л . Құрама санды мүмкін болатын  бөлгіштердің көбейтіндісі түрінде  жазып, бөлгіштердің құрамында  құрама сан болса, оны жай  сандар көбейтіндісіне жіктеу.

 

1. м ы с а л. 210=21 • 10=(3 • 7) • (2 • 5)=2 -3-5-7;

210=3 • 70=3 • (7 • 10)=3 • 7 • 2 • 5=2 •3•5•7;

210=35 • 6=(5 • 7) • (2 • 3)=2•3•5•7.

 

 

Құрама сандарды осылайша жай көбейткішптерге жіктеуге болады.

2 - т ә с і л  . Сандардың бөлінгіштігі бойынша  жай сандар кестесіндегі еттілікті сақтай отырып, берілген қүра-ма санды жай көбейткіштерге жіктеу. Мұны көбінесе баған түрінде жіктеу деп айтамыз.

2-м ы с а л . 60 санын жазамыз  да, оның оң жагынан вертикаль  сызық сызамыз. Осы санның ең  кіші жай бөлгішін (2) таңдап аламыз да, оны сызықтың оң жагына жазамыз. 60 : 2=30. Бөлінді 30-ды сызықтың сол жа ғына, берілген санның астына жазу керек. Енді 30 санын дәл осылайша ең кіші бөлгішіне бөлеміз. 30 : 2=15; 2-ні сызықтың оң жагына, 15-ті сызықтың сол жағына 30-дың астына жазып, бөлуді осылайша әрі қарай жалғастырамыз. Сонда әрбір келесі бөлгіш оның алдындағы бөлгіпітің астына жазылады. Санды осылайша жай көбейткіштерге жіктеуді, сол жак бағанда 1 саны шыққанша жалғастырамыз. Құрама сандарды жіктеудің бұл тәсілінде сызықтың оң жагына берілген құрама санның жай көбейткіштері жазылады. Берілген кұрама сан 60-ты жай көбейткіштерге (2•2•3•5) жіктедік: 60=2•2•3•5; 60=2²•3•5. Кез келген құрама сан өзі жіктпелген жай көбейткіштердің көбейтіндісіне тең болады. Мысалы, 2² • 3 • 5=60.

 

Ең кіші ортақ  еселік және оны табу тәсілдері 

4 санына еселік сандарды: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... және 6 санына еселік  сандарды: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... теріп жазайық.  Осы сандардан 4 пен 6 сандарының  екеуіне де еселік болатындарын, яғни ортақ еселіктерін табайык,: 12, 24, 36,..., бұл сандардың ең кішісі 12. Сонда берілген 4 пен 6 натурал сандарының ең кіші ортақ еселігі — 12 болады.

Берілген  натурал сандардың әрқайсысына  еселік болатын ең кіші натурал санды, ең кіші ортпақ еселік деп атайды.

4 пен 6 сандарының ең  кіші ортақ еселігі ЕКОЕ (4, 6)=12 деп белгіленеді.

Ең кіші ортақ еселікті табу тәсілдері.

1-тәсіл. Берілген натурал сандардың ең кіші ортак еселігі сол сандарды жай көбейткіштерге жіктеу арқылы табылады.

1. Берілген натурал сандар жай көбейткіштерге жіктпеледі.
2. Берілген сандардың ең улкеніндегі жай көбейткіштер жазылады да, ол оның қурамында жоқ, бірақ басқа сандардың құрамында 
   бар жай көбейткішптермен толықтырылады. 3) Шыққан көбейткіштердің көбейтіндісі берілген натурал сандардың ең кіші ортақ 
   еселігі болады.

1-м ы с а л.  ЕКОЕ (50, 28)-ін табу керек. 50 мен  28 сандары жай көбейткіштерге  жіктеледі: 50=2•5•5=2•5²; 28=2•2•7=2²•7. Берілген сандардың ең үлкенінің жіктелуіндегі жай көбейткіштер, кіші санның жіктелуіндегі жай көбейткіштермен толықтырылады. Мүндай көбейткіштер 2 мен 7. Сонда ЕКОЕ (50, 28)=2 • 2 • 5 • 5 •7=2²• 5² •7=700, қыскаша: ЕКОЕ (50, 28)=700; 700:50=14; 700:28=25. Сол сияқты ЕКОЕ (12, 18, 50)=900. Егер берілген натурал сандардың улкені кішілеріне еселік бол-са, онда улкен сан осы сандардың ең кіші ортақ еселігі болады.

2-м ы с а л.  ЕКОЕ (57, 19) = 57, ЕКОЕ (8, 16, 32)=32. Егер берілген натурал сандардың, 1 санынан басқа, ортақ жай көбейткіші болмаса, ондай натурал сандар өзара жай сандар деп аталады.

Мысалы: 10 және 21; 6 және 35 — өзара жай сандар. Себебі: 10=2 • 5 және 21=3 • 7, ал 6=2 • 3 және 35=5 • 7, ягни 10 мен 21-дің, сол сияқты 6 мен 35-тің 1-ден басқа ортак жай көбейткіштері жоқ. Егер берілген сандар өзара жай сандар болса, онда ең кіші ортақ еселік осы сандардың көбейтіндісі болады.

 

3-м ы с а л.  ЕКОЕ (5, 7) = 35; ЕКОЕ (3, 11)=33.

ЕКОЕ (10, 21)= 210; ЕКОЕ (6, 35)=210.

2-тәсіл. Үлкен санды еселей отырып, берілген сандардың ең кіші ортак еселігін табу.

4-м ы с а л.  ЕКОЕ (12, 16)=48; 48=16-3; 48 : 12 = 4.

 

Ең үлкен  ортақ бөлгіш

 

18 санының барлық бөлгіштерін: 1, 2, 3, 6, 9, 18 және 30 санының барлық бөлгіштерін: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 жазайық. 1, 2, 3 және 6 сандары — 18 және 30 сандарының ортақ бөлгіштері. Олардың ең үлкені - 6. Онда 6 саны 18 және 30 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші болады.   Жазылуы: ЕҮОБ (18, 30)=6.

Берілген натурал сандардың ең улкен ортақ бөлгіші деп сол сандардың әрқайсысы бөлінетін ең улкен натурал санды айтады.

1-м ы с а л . 8, 14 және 22 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табайық.

Ш е ш у і .  8 санының бөлгіштері:  1,  2,  4,  8;   14  санының бөлгіштері: 1, 2, 7, 14; 22 санының бөлгіштері: 1, 2, 11, 22. 8, 14 және 22 сандарының ортақ бөлгіштері: 1 мен 2. Ең үлкен ортақ бөлгіші - 2 саны: ЕҮОБ (8, 14, 22)=2.

2-м ы с а л . 25 пен 12 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табайық.

Ш е ш у і. 25 санының бөлгіштері: 1, 5, 25. 12 санының бөлгіштері:

1, 2, 3, 4, 6, 12. 25 пен 12 сандарының ортақ бөлгіші бір ғана сан — ол 1 саны: ЕҮОБ (25, 12)=1. 25 пен 12 - өзара жай сандар. Әзара жай сандардың ортақ бөлгіші біреу ғана, ол - 1 саны.

Сол сияқты 7 мен 11; 8 бен 15; 4 пен 19 сандары да - өзара жай

сандар.

3-мысал. 120, 40 және 20 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін

табайық.

Ш е ш у і. Берілген 120, 40 және 20 сандарының ең кішісі 20 саны. 20 санына 120, 40 сандары бөлінеді. Сонда 20 саны - 120, 40 және 20 сандарының ең үлкен ортак бөлгіші: ЕҮОБ (120, 40, 20)=20. Егер сандардың ең кішісі улкендерінық бөлгіші болса, онда сол ең кіші сан берілген сандардың ең улкен ортақ бөлгіші болады.

Берілген сандардың  ең үлкен ортақ бөлгіпіін сол сандарды жай көбейткштерге жіктеу арқылы табуды қарастырайық.

4-м ы с а л . 18, 24 және 36 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табайық.

Ш е ш у і. Берілген сандарды жай көбейткіштерге жіктейміз:

18=2 •3•3;        24=2 •2•2•3;         36=2•2•3•3.

Ортақ көбейткіш: 2 • 3=6. Онда ЕҮОБ (18, 24, 36)=6.

Берілген сандардың  ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін:

1. берілген сандарды жай көбейткіштерге жіктейміз;
2. шыққан жіктеулердегі барлық ортац жай кәбейткіштерді 
   табамыз;
3. ортақ жай көбейткіштердық көбейтіндісі сол сандардыц ең 
   улкен ортац бәлгіші болады.

Қорыта айтқанда, берілген сандардыц ең улкен ортац бәлгіші сол сандардыц жіктелуіндегі ортақ жай көбейткіштердық көбейтіндісіне тең.

 

 

Бөлу және жай  бөлшек

Әр түрлі шамаларды (ұзындықты, уакытты, массаны) өлшеу үшін натурал сандардан басқа бөлшек сандар деп аталатын жаңа сандарды енгіземіз.

8-сурет

8-суретте дөңгелек 4 үлеске  бөлінген. Үлес дегеніміз өзара тең бөліктер. 8-суретте әрбір үлес дөңгелектің төрттен бір бөлігі, жазылуы ; оқылуы «төрттен бір». Демек,  1:4 дегеніміз 

 

мұндағы "-" сызықша - бөлшек сызығы. Алдымен бөлшек сызығының  астындағы сан шығыс септігінде оқылады, сонан соң бөлшек сызығының  үстіндегі сан атау септігінде оқылады. Егер осындай үлестің екеуін алсақ, онда ол түрінде жазылады. Оқылуы "терттен екі". Егер сындай үлестің үшеуін алсақ, онда ол  түрінде жазылады. Окылуы "төрттен үш".

Жай бөлшектер натурал сандардан және бөлшек сызығынан түрады. Бөлшек сызығының астындағы сан 1-дің (толык. шаманың) неше бөлікке бөлінгенін көрсетеді, сондықтан оны бөлшектің бөлімі деп атайды.

  1-м ы с а л:    бөлшектерінде 4, 7, 9, 11 сандары —

бөлшектердінбөлімдері болады.

Бөлшек сызығының үстіндегі сан канша бөліктің алынғанын керсетеді, сондыктан оны бөлшектің алымы деп атайды. Мысалдағы жай бөлшектерде 3, 5, 8, 9 сандары — бөлшектердің алымдары болады.

Кез келген натурал сан  жай бөлшектің бөлімі бола алады, ал 0 және кез келген натурал сан алым бола алады.

Е с е п. Екі алманы үш балаға тең бөліп берсек, олардың  әркайсысы неше бөліктен алма алады?

Алманың әркайсысын өзара  тең үш бөлікке (үлеске) бөлеміз. Әрбір үлес алма болады. Бір балаға осындай 2 үлестен беріледі. Балалардың әркайсысы алма алады. Демек, . Мұндағы — жай бөлшек: 3 саны— бөлшектің бөлімі; 2 саны - бөлшектің алымы. Жай белшекті бөлінді ретінде қарастыруга болады. Әріппен жазып көрсетейік: , мүндағы — жай бөлшек.

a — бөлшектің алымы. б — бөлшектің бөлімі.

 

Қорыта айтканда, бір натурал санды екінші натурал санеа бөлуді жай бөлшекпен жазуга болады. Бөлінгіш бөлшектық алымына жазылады, бөлгіш бөлшектық бөліміне жазылады.

Кез келген натурал санды  жай бөлшек түрінде жазуды карастырайық. Мысалы,

 әріппен жазсақ, мұндағы а-натурал сан,

а натурал сан, п — бөлшектің бөлімі (n=1, 2, 3, 4, ...) .

 

 

 

Жай бөлшектің  негізгі қасиеті. Жай бөлшекті қысқарту

 

Жай бөлшек бөлінді, ретінде  қарастырылатындықтан, оған бөліндінің қасиетін пайдалануға болады.

Бөліндінін касиеті  бойынша бөлінгішті де, бөлгішті де бір натурал санға көбейткеннен немесе бөлгеннен бөлінді өзгермейді.

Онда жай бөлшектің  алымын да, бөлімін де бір натурал  санға көбейтуді карастырайық. Мысалы, 3:4 бөліндісіне аталған қасиетті пайдаланып, бөлінгішті де, бөлгішті де 2 санына көбейтеміз. Сонда 3:4=(3•2): (4•2), осыны жай бөлшекпен жазсақ: демек,

9-суреттегі дөңгелектің   –і боялған. Әрбір — үлесті тагы 2-ге бөлсек, бөлшегіне сәйкес үлестер шыгады, бөлшегіне (үлесіне) бөлшегі (үлесі) сәйкес келетіні суреттен көрініп түр.

Сол сияқты

 

Демек,  жай бөлшектің алымын да, бәлімін де бір натурал санга көбейткеннен жай бөлшек әзгертейді екен.

Енді жай белшектің алымын да, бөлімін де бір натурал санга бөлуді карастырайық. Мысалы, 9 : 24 бөліндісінде белгішті де, бөлінгішті де 3-ке белейік.

9 : 24=(9 : 3) : (24 : 3) бөліндісін жай бөлшекпен  жазсақ,

 демек, Сонда берілген   бөлшегіне тең — бөлшегін алдық. Сол сияқты

 демек,

  жай бөлшегі жай бөлшегіне тең болды.

 

Жай бөлшектің  алымын да, бөлімін де бір натурал  санға бөлгеннен жай бөлшек өзгермейді екен.

Қорыта айтқанда, жай бөлшектің алымын да, бөлімін де бір натурал санга көбейткеннен немесе  бөлгеннен жай  бөлшек өзгермейді. Бұл - жай бөлшектің негізгі қасиеті.

Жай бөлшектің негізгі  қасиетін пайдаланып түрлендіру, ягни бөлшектің алымын да, бөлімін де олардың 1-ден өзге ортак бөлгішіне  бөлу жай бөлшекті қысқарту деп аталады.

Жай бөлшекті қысқарту тәсілдеріне  тоқталайық.

 

1-тәсіл. Жай бөлшектің алымы мен бөлімін олардың ең үлкен ортақ белгішіне қысқарту. Мысалы, бөлшегін кысқартайық:

ЕҮОБ (24, 32)=8; онда

2-тәсіл. Жай бөлшектің алымы мен бөлімін жай көбейткіштерге жіктеу арқылы қысқарту:

3-тәсіл. Біртіндеп қыскарту:

мұнда берілген бөлшек әуелі 5-ке қыскартылған, сонда шыққан бөлшегі тағы да 7–ге қыскартылған.      Жай бөлшектерді қыскартқаннан кейін олардың алымдары мен бөлімдері — өзара жай сандар болып шықты. және

бөлшектерінде 3 пен 4; 9 бен 14; 13 пен 18 —  өзара жай сандар. Алымы мен бөлімі өзара жай сандар болатын бөлшектерді қысқармайтын бөлшектер деп атайды.

 

 

Дұрыс және бұрыс  бөлшектер. Аралас сан

Жай бөлшектің алымы  бөлімінен кіші болуы, оған тең болуы  немесе бөлімінен үлкен болуы  мүмкін. Егер бөлшектің алымы бөлімінен кіші болса, онда бөлшек дурыс бөлшек деп аталады.

Мысалы, — дұрыс бөлшектер, өйткені 2<3; 4<9; 3<10; 7<8. Сондықтан дұрыс бөлшек 1-ден кіші болады:

Егер  бөлшектің алымы бөліміне тең  немесе одан үлкен болса. онда бөлшек бұрыс бөлшек деп аталады. Мысалы,

 — бұрыс бөлшектер: 5=5; 11>6; 12>7; 10=10; 36>35. Сондықтан бұрыс бөлшек 1-ге тең немесе 1-ден үлкен болады:

Бүтін бөліктен және бөлшек бөліктен түратын сан аралас сан деп аталады. Мысалы, қосындысын, косу белгісін жазбай деп

жазу қабылданған. Мұндағы — аралас сан. Окылуы "бір бүтін бестен екі", — аралас сан. Оқылуы "екі бүтін жетіден үш". Бұрыс бөлшекті аралас сан түрінде жазуға болады. Ол үшін:

1. алымды бәлімге қалдықпен бөлу керек: : 5=1 (қалдық 2);

толымсыз  бөлінді бүтін бөлік болады;  3)қалдъқ (егер ол бар болса) - бөлшек бөлігінің алымы, ал бөлгіш-бөлімі болады. Coндa Мысалы,