Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Февраля 2013 в 13:43, контрольная работа
В области нелинейного программирования методы штрафных функций представлены в различных вариантах, которые, однако, имеют одну общую черту: во всех этих методах осуществляется преобразование задачи нелинейного программирования при наличии ограничений либо в одну (эквивалентную исходной) задачу без ограничений, либо в эквивалентную последовательность задач без ограничений.
Введение
I. Метод штрафных функций
Описание метода штрафных функций
Сходимость метода
II. Применение метода штрафных функций
Список использованных источников
J (uk) J*= . (17)
Теорема 3.
Пусть (u)=J(u)+Аk P (u), где Р(u) определена формулой (8), пусть Фk*= ( k=0,1,... ).Тогда для того, чтобы
Фk*=J*, (18)
необходимо, чтобы задача (1), (7) имела согласованную постановку на множестве U0 . Если J** , то согласованной постановки задачи (1), (7) на U0 достаточно для справедливости равенства (18).
II. Применение метода штрафных функций
Пример1:
Пусть требуется решить задачу
J(u)=x2+xy+y2 inf,uÎU={u=(x,y)ÎE2:x+y-2=0}
в качестве штрафной функции возьмем Pk(u)=k(x+y-2)2 и положим
Фk(u)= x2+xy+y2 +k(x+y-2)2 , uÎU0=E2; k=1,2,…
функция Фk(u) при каждом фиксированном k=1,2,… сильно выпукла на E2 и достигает своей нижней грани на E2 в точке uk(xk,yk), которая определяется уравнениями
2xk+yk+2k(xk+yk-2)=0
xk+2yk+2k(xk+yk-2)=0
Отсюда получаем
uk= , Фk(uk)= = .
При k®¥ будем иметь uk® u*=(1,1), Фk(uk)®3. Нетрудно видеть, что u* - решение исходной задачи. В самом деле, J`(u*)=(3;3), < J`(u*), u-u*>=3(x-1)+3(y-1)=0 для всех uÎU. В силу выпуклости множества U и функции J(u) на U, причем J(u*)=J*=3= . Таким образом, в рассмотренном примере метод штрафной функции сходится.
Пример 1. (С использованием множителей Лагранжа)
Пусть требуется решить задачу
J(u)=x2+xy+y2 inf,
uÎU={u=(x,y)ÎE2:x+y-2=0}
в качестве штрафной функции возьмем Pk(u)=w1(x+y-2-v12) и положим
Фk(u)= x2+xy+y2-w1(-x-y+2-v12) , uÎU0=E2; k=1,2,…
2xk+yk+w1=0
xk+2yk+w1=0
x+y-2+v12=0
2w1v1=0
При w1=0, v1= , xk=yk=0
При w1 0, v1=0, xk=yk=1
uk=(1,1) ,
Пример 2:
J(u)=e-u inf, uÎU={uÎE1:ue-u=0}.
Здесь U={0}=U*, J*=1. Возьмем штрафную функцию Pk(u)=kg2(u)=ku2e-2u и положим Фk(u)=e-u+ ku2e-2u, uÎU0=E1. Так как Фk(u)>0 при всех uÎE1, , то . В качестве точки uk, удовлетворяющей условиям (6) при ek=e-k+ k3e-2k, здесь можно взять uk=k (k=1,2,…). Получим , . Таким образом выясняется, что метод штрафных функций не всегда сходится.
Пример 2.
Пусть требуется решить задачу
J(u)=x2+xy+y2 inf,
uÎU={u=(x,y)ÎE2:x+y-2=0}
в качестве штрафной функции возьмем Pk(u)=w1(x+y-2-v12) и положим
Ф(u)= x2+xy+y2-w1(-x-y+2-v12) , uÎU0=E2; k=1,2,…
2xk+yk+w1=0
xk+2yk+w1=0
x+y-2+v12=0
2w1v1=0
При w1=0, v1= , x=y=0
При w1 0, v1=0, x=y=1
Список использованных источников
1. Д. Химмельблау - Прикладное не линейное программирование М.: Издательство "Мир",1975.-535с.
2. Васильев Ф. П. - Численные методы решения экстремальных задач: Учебное пособие для вузов.- 2-е изд., перераб. И доп.-М.:Наука.,1988.-552 с.
3. Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В.- Линейное и нелинейное программирование "Высшая школа",1975-372 с.
4. В.Г. Карманов Математическое программирование М: "Наука",1980-256 с.
Размещено на Allbest.ru