Методы исследования и моделирование национальной экономики

 

2.1.3. Анализ результатов решения

Выполним анализ выведенного «Поиском решения» Отчета по результатам, представленного на рис. 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5. Отчет по результатам

Согласно отчету максимальная денежная сумма, которой может располагать предприятие после возврата банковского кредита, составляет 1 763 250 р. Как видно из таблицы «Изменяемые ячейки», для получения этой суммы необходимо выпускать изделия В, С и D в объемах 100, 733  
и 167 ед. соответственно. Изделия А и Е выпускать нецелесообразно.

В таблице «Ограничения»  столбец «Значение» содержит числовые значения левых частей ограничений математической модели. В ячейке D19 число 100 – это реальный объем выпуска изделия В, по которому задан плановый объем. В ячейках D20, D21, D22 выведены значения объемов, затраченных на выпуск продукции ресурсов. В нашем случае израсходованный объем сырья составляет 6 000 кг, оборудование отработало 4 067 ст.-час, расход комплектующих составил 4 300 шт.

Ограничения, которые по результатам  решения выполняются как строгие равенства, имеют статус «связанное», в противном случае – «не связанное». В столбце «Разница» указана разница между правой и левой частями ограничений. Для плановых ограничений это перевыполнение плана по выпуску продукции. В нашем случае изделие В выпускается строго в плановом объеме, так как разница равна нулю. Для ресурсных ограничений разница определяет неизрасходованный объем соответствующего ресурса. В нашем случае полностью израсходованы запасы сырья и комплектующих: разница для них равна нулю. Ресурс времени работы оборудования является избыточным. Разница между фондом (исходным  запасом) времени работы оборудования и израсходованным в процессе производства временем составляет 3 433 ст.-час. Следовательно, на указанное время оборудование может быть загружено дополнительной работой.

2.1.4. Анализ устойчивости решения

Рассмотрим Отчет по устойчивости (рис. 6).

В таблице «Изменяемые  ячейки» содержится информация об объемах выпуска каждого из пяти видов продукции (столбец «Результирующее значение»). Столбец «Целевой коэффициент» содержит коэффициенты перед управляемыми переменными в целевой функции Z. В данном случае целевые коэффициенты – это цена единицы соответствующей продукции за вычетом той денежной суммы, которая пошла на погашение кредита.

Проанализируем величины целевых коэффициентов. Цена одной единицы изделия А составляет 2 580 р. На выпуск одного изделия А тратится 9 чел.-час. Цена 1 чел.-час по условию задачи составляет 150 р., тогда оплата труда при выпуске одной единицы изделия А достигает 9 ∙ 150 р., т.е. сумма кредита, используемого для выпуска одной единицы изделия А, должна составлять 9 ∙ 150 р. Возврат кредита предполагает выплату 14% годовых за 5 мес. Тогда проценты, которые набегут на указанную сумму, можно рассчитать как 9 ∙ 150 ∙ 14% ∙ 5 / 12 р. Учитывая приведенные расчеты, целевой коэффициент перед управляемой переменной х₁ будет равен  
2 580 – 9 ∙ 150 – 9 ∙ 150 ∙ 14% ∙ 5/12 = 1 151 р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6. Отчет по устойчивости

В таблице «Изменяемые  ячейки» содержится информация об объемах выпуска каждого из пяти видов продукции (столбец «Результирующее значение»). Столбец «Целевой коэффициент» содержит коэффициенты перед управляемыми переменными в целевой функции Z. В данном случае целевые коэффициенты – это цена единицы соответствующей продукции за вычетом той денежной суммы, которая пошла на погашение кредита.

Проанализируем величины целевых коэффициентов. Цена одной единицы изделия А составляет 2 580 р. На выпуск одного изделия А тратится 9 чел.-час. Цена 1 чел.-час по условию задачи составляет 150 р., тогда оплата труда при выпуске одной единицы изделия А достигает 9 ∙ 150 р., т.е. сумма кредита, используемого для выпуска одной единицы изделия А, должна составлять 9 ∙ 150 р. Возврат кредита предполагает выплату 14% годовых за 5 мес. Тогда проценты, которые набегут на указанную сумму, можно рассчитать как 9 ∙ 150 ∙ 14% ∙ 5 / 12 р. Учитывая приведенные расчеты, целевой коэффициент перед управляемой переменной х₁ будет равен  
2 580 – 9 ∙ 150 – 9 ∙ 150 ∙ 14% ∙ 5 / 12 = 1 151 р.

Приведем результаты расчета всех целевых коэффициентов:

Изделие А 2 580 – 9 ∙ 150 – 9 ∙ 150 ∙ 0,14 ∙ 5 / 12 = 1 151

Изделие В 1 780 – 4 ∙ 150 – 4 ∙ 150 ∙ 0,14 ∙ 5 / 12 = 1 145

Изделие С 2 850 – 5 ∙ 150 – 5 ∙ 150 ∙ 0,14 ∙ 5 / 12 = 2 056

Изделие D 1 480 – 4 ∙ 150 – 4 ∙ 150 ∙ 0,14 ∙ 5 / 12 = 845

Изделие E 1 700 – 8 ∙ 150 – 8 ∙ 150 ∙ 0,14 ∙ 5 / 12 = 430

Особый интерес при  анализе полученных результатов  представляет величина «Нормированная стоимость».

Нормированная стоимость  представляет собой двойственную оценку соответствующей управляемой переменной. Полный анализ теории двойственности проводится в курсе «Математическое программирование», поэтому здесь мы не будем подробно рассматривать этот теоретический раздел, остановимся лишь на анализе величины нормированной стоимости с позиции трактовки полученных результатов.

Нормированная стоимость показывает величину изменения целевой функции  при увеличении соответствующей управляемой переменной на одну единицу.

В нашем случае х₁ = 0 и х₅ = 0. Если бы в математическую модель было добавлено ограничение х₁ = 1, то величина целевой функции снизилась бы на 501, так как нормированная стоимость для переменной х₁ равна –501.

Давая экономическую  интерпретацию нормированной стоимости для нашей задачи, отметим, что изделия А и Е не включены в выпуск. Принудительное включение в выпуск одной единицы изделия А приведет к сокращению величины денежной суммы, оставшейся у предприятия после выплаты кредита, на 501 р., а изделия Е – на 434 р.

Согласно теории двойственности нормированная стоимость для  изделий, вошедших в выпуск, всегда равна нулю (в нашем случае изделия В, С, D).

Иногда возникает ситуация, когда управляемая переменная равна  нулю и имеет нулевую нормированную стоимость. Такая ситуация носит название альтернативного оптимума. В этом случае можно получить множество оптимальных вариантов выпуска продукции с сохранением оптимальной величины целевой функции.

Реальный выпуск продукции  должен осуществляться только после того, как построена математическая модель, выполнено решение задачи, проведен соответствующий анализ результатов и приняты корректные управленческие решения.

Текущая экономическая  ситуация, отраженная в построенной  математической модели, может меняться. Необходимо выявить, насколько устойчиво полученное оптимальное решение к изменению внешних условий.

Предположим, что цена на изделие А выросла на 600 р. Какое решение должно быть принято в этом случае? Оставить выпуск без изменения или включить в него изделие А за счет другой продукции?

Оптимальное решение характеризуется тремя основными показателями: структурой выпуска, объемами выпуска и величиной целевой функции.

Структура выпуска – это перечень изделий, вошедших в выпуск.  
В нашем случае структуру выпуска определяют изделия В, С, D.

Объемы выпуска – это то количество каждого вида изделий, которое выпускает предприятие. У нас изделия А и Е не выпускаются, т.е. их объемы равны нулю, изделие В выпускается в объеме 100 ед., изделие С – в объеме 733 ед. и изделие D – в объеме 167 ед.

Целевая функция, как было сказано выше, – это денежная сумма, оставшаяся у предприятия после возврата кредита и составившая 1 763 250 р.

Исследуем, как изменение  параметров модели, в частности, целевых коэффициентов, влияет на изменение оптимального решения, т.е. на результаты выпуска.

Основу анализа составляет тот факт, что изменение целевого коэффициента внутри интервала устойчивости не меняет структуру выпуска. Границы интервала устойчивости определяются величинами допустимых изменений целевого коэффициента. Допустимые изменения приведены  
в таблице «Изменяемые ячейки» в столбцах «Допустимое увеличение»  
и «Допустимое уменьшение». Верхняя граница интервала рассчитывается как сумма целевого коэффициента и допустимого увеличения, а нижняя – как разность между целевым коэффициентом и допустимым уменьшением. Отметим, что величина 1Е+30 трактуется как бесконечность.

Рассчитаем интервал устойчивости для целевого коэффициента изделия А:

верхняя граница: 1 151 + 501 = 1 653;

нижняя граница: 1 151 – 1Е+30 = –1Е+30.

По всем видам выпускаемых  изделий интервалы устойчивости имеют следующий вид:

	Нижняя граница	Целевой коэффициент	Верхняя граница
Изделие А	–1E+30	1 151	1 653
Изделие В	–1E+30	1 145	1 193
Изделие С	2021	2 056	2 113
Изделие D	823	845	871
Изделие E	–1E+30	430	864

Предположим, что вследствие некоторого изменения внешних условий целевой коэффициент изделия А вырос на 100 р. и составил, таким образом, 1 151 + 100 = 1 251 р. В данном случае целевой коэффициент не превысил величину верхней границы интервала устойчивости (1 653 р.), поэтому структура выпуска меняться не будет, т.е. продолжим выпуск только тех изделий, которые выпускались (В, С, D) в прежних объемах,  
а изделие А в выпуск не войдет, следовательно, изменений в результатах выпуска не произойдет: структура выпуска, объемы выпуска и величина целевой функции не изменятся.

Предположим, что вследствие некоторого изменения внешних условий целевой коэффициент изделия С уменьшился на 30 р. и составил, таким образом, 2 056 – 30 = 2 026 р. В данном случае целевой коэффициент не стал меньше значения нижней границы интервала устойчивости  
(2 021 р.), поэтому структура выпуска меняться не будет, т.е. продолжим выпуск изделий, которые выпускались (В, С, D) в прежних объемах. Однако за счет сокращения целевого коэффициента изделия С неизбежно сократится величина целевой функции, т.е. денежная сумма, оставшаяся у предприятия после возврата кредита, сократится.

Допустим, что вследствие некоторого изменения внешних условий целевой коэффициент изделия Е увеличился на 500 р. и составил, таким образом, 430 + 500 = 930 р. В данном случае целевой коэффициент превысил величину верхней границы интервала устойчивости (864 р.), поэтому изменится структура выпуска, в который будет включено изделие Е, ставшее рентабельным. Включение в выпуск изделия Е будет произведено за счет другой, менее рентабельной, продукции. Очевидно, что в этом случае меняются структура выпуска (начинаем выпуск изделия Е), объемы выпуска (перераспределяются имеющиеся ресурсы) и увеличивается целевая функция.

Предположим, что вследствие некоторого изменения внешних условий целевой коэффициент изделия D уменьшился на 40 р. и составил, таким образом, 845 – 40 = 805 р. В данном случае целевой коэффициент стал меньше значения нижней границы интервала устойчивости (823 р.), поэтому структура выпуска изменится, т.е. изделие D становится нерентабельным и мы прекратим его выпуск, а освободившиеся ресурсы направим на выпуск более рентабельной продукции.

Отметим, что для изделий, не вошедших в выпуск (А и Е), нижняя граница интервала устойчивости равна минус бесконечности (–1Е+30). Это означает, что никакое сокращение целевых коэффициентов этих изделий  
в выпуске продукции ничего не изменит.

Для изделия, вошедшего  в выпуск, нижняя граница интервала  устойчивости также равнее –1Е+30, т.е. никакое сокращение его целевого коэффициента в выпуске продукции также ничего не изменит. Это связано  
с тем, что в математической модели присутствует плановое ограничение на выпуск изделия В и его выпуск нельзя сократить ниже 100 ед., не нарушив условий модели.

Систематизируем результаты проведенного анализа.

1. Изделие вошло в программу выпуска

1. Изменение целевого коэффициента внутри интервала устойчивости не меняет структуру и объем выпуска, но меняет величину целевой функции.

2. а) при выходе целевого коэффициента за нижнюю границу интервала устойчивости изделие становится нерентабельным и снимается  
   с выпуска. Освободившиеся ресурсы направляются на выпуск другой, более рентабельной, продукции. Меняются структура и объемы выпуска, ухудшается величина целевой функции;

б) при выходе целевого коэффициента за верхнюю границу интервала устойчивости рентабельность изделия возрастает настолько, что следует наращивать его выпуск за счет другой, менее рентабельной, продукции. Меняются структура и объемы выпуска, улучшается величина целевой функции.

2. Изделие не вошло в программу выпуска
1. Изменение целевого коэффициента внутри интервала устойчивости не меняет величину целевой функции, структуру и объемы выпуска.
2. При выходе целевого коэффициента за верхнюю границу интервала устойчивости изделие становится рентабельным и включается в выпуск за счет другой, менее рентабельной, продукции. Меняются структура и объемы выпуска, улучшается величина целевой функции.