Метод эйлера

Выдающиеся математики

Леонард Эйлер

Эйлер (Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, – 7(18).9.1783, Петербург], математик, механик и физик. Родился в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца, а в 1720–24 в Базельском университете, где слушал лекции по математике И. Бернулли.

Необыкновенно широк был круг занятий Эйлера, охватывавших все отделы современной  ему математики и механики, теорию упругости, математическую физику, оптику, теорию музыки, теорию машин, баллистику, морскую науку, страховое дело и т.д. Около 3/5 работ Эйлера относится к математике, остальные 2/5 преимущественно к её приложениям.

Главным делом Эйлера как математика явилась разработка математического анализа. Эйлер явился создателем вариационного исчисления, изложенного в работе «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума...» (1744). Эйлер обогатил также дифференциальное и интегральное исчисление в узком смысле слова (например, учение о замене переменных, теорема об однородных функциях, понятие двойного интеграла и вычисление многих специальных интегралов).

Невозможно  перечислить все доныне употребляемые  теоремы, методы и формулы Эйлера, из которых только немногие фигурируют в литературе под его именем [например, метод ломаных Эйлера, подстановки Эйлера, постоянная Эйлера, уравнения Эйлера, формулы Эйлера, функция Эйлера, числа Эйлера, формула Эйлера – Маклорена, формулы Эйлера – Фурье, эйлерова характеристика, эйлеровы интегралы, эйлеровы углы].

Неопределённый интеграл.Подстановки Эйлера.

Вычисление интегралов вида:

Интегралы указанного в заголовке вида вычисляются при помощи так называемых подстановок Эйлера .Их всего 3, но обычно используют только две из них.

1. В случае когда a>0 можно применить так называемую первую подстановку Эйлера .

Она имеет вид  .

Знак + или - можно брать по желанию. Проделаем  все выкладки взяв для определённости знак + , т.е. полагая 

а) возводим это выражение в квадрат

откуда  и получаем явное выражение для x

.

б) находя dx получим

в) найдём выражение для  .

Таким образом , наш интеграл примет вид 

У нас снова получился интеграл от дробно-рациональной функции, который  вычесляется методом разложения на простейшие

2. Пусть уравнение

имеет различные вещественные корни x1 и x2 .Тогда можно применить только подстановку Эйлера.

а) возводим это выражение в квадрат

отсюда  можно выразить х

б) находя dx получим

в) найдём выражение для  .

После этого наш интеграл примет вид

и получившийся интеграл от дробно –рациональной  функции берётся разложением  на простейшие.

Покажем, что этими двумя подстановками  исчерпываются все возможные  ситуации.

Пусть а>0 .Тогда график функции  может быть следующих двух типов.

Здесь применима первая Здесь применимы и первая и третья подстановки Эйлера

a>0

В случае а<0 график может быть следующих двух типов

Здесь применима третья подстановка  Эйлера

Этот случай не имеет смысла , т.к. под корнем выражение всегда отрицательно.

неотрицателен и не имеет равных корней.