Математический анализ

1)  Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. 
Переменная х- независимая переменная или аргумент. 
Переменная у- зависимая переменная 
Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х. 
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная. 
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция. 
Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство

 f(x)=f(-x) 
Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство

f(-x)=-f(x) 
Возрастающая функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство

 f(х₁)<f(х₂) 
Убывающая функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство

 f(х₁)>f(х₂)

Способы задания функции. 
 
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)- с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически. 
На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Переменная х стремится к бесконечности, если для каждого наперед заданного положительного числа М можно указать такое значение х, начиная с которого все последующие значения переменного будут удовлетворять неравенству  . 

Если  переменная х стремится к бесконечности, то ее называют бесконечно большой переменной величиной и пишут .

Постоянное  число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного произвольно малого положительного  числа  можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству  

   

Если число     есть предел переменной величины х, то говорят, что х стремится к пределу , и пишут: 

  или  . 

 

2) Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

 

 

 

3) 1.  Предел константы равен самой этой константе:  с = с.

       2.  Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

                             [ k •  f (х)] = k •   f (х).

 

  3.  Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

                         [ f (х) ± g (х)] =   f (х) ±  g (x).

 

   4.  Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

                [ f (х) • g (х)] =   f (х) •   g (x).

5.  Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

                              

4) ·  Первый замечательный предел:

5) ·  Второй замечательный предел:

 

6) Сравнение бесконечно малых функций

Пусть a(x) и b(x) -  две функции, бесконечно малые в точке x=a. Если    то говорят, что a(x) более высокого порядка малости, чем b(x)и обозначают a(x) =o(b(x)). 

Если же  то b(x) более высокого порядка малости, чем a(x) ; обозначают b(x) =o(a(x)). 

Бесконечно  малые функции a(x) и b(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если  

  обозначают a(x) =const b(x) .  И, наконец, если    не существует, то бесконечно малые функции a(x) и b(x) несравнимы.

 

7) Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х₀, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента х-х₀= х соответствует бесконечно малое приращение функции    у—у₀ = у,  т. е. если

lim y = lim [ f (х₀ + х) – f (х₀)] = 0.

 

Этому определению равносильно следующее:

Функция f (х) называется непрерывной в точке х₀, если при х—> х₀ предел функции существует и равен ее частному значению в этой точке, т. е. если lim f(х) = f (x₀).  x->х₀

 

 

 Для непрерывности функции f(х) в точке х₀ необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1)функция должна  быть определена в некотором  интервале, содержащем точку х_0.(т. е. в самой точке х₀ и вблизи этой точки);

2) функция должна  иметь одинаковые односторонние  пределы  lim f (х) = lim f (x);  x->х₀ -0  x->х₀ +0   

3) эти односторонние  пределы должны быть равны f (x₀).

 

 

 

Функция f (x) называется разрывной в точке х₀, если она определена в сколь угодно близких точках, но в самой точке х₀ не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Разрыв функции f(х) в точке х₀ называется конечным, или 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы lim f(x) и lim f(х).  x-> х₀ -0 x-> х₀ +0 

Все другие случаи разрыва функции называются разрывами- 2-го-рода; в частности, если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то и разрыв функции называется бесконечным.

 

8)Свойства непрерывных функций 
Теорема 1. Если функции и являются непрерывными в точке , то в этой точке будут непрерывными и функции , . 
Теорема 2. Если и являются непрерывными в точке и , то в точке есть непрерывной также и функция . 
Обратите внимание: все дробово-рациональные функции и основные тригонометрические функции являются непрерывными на любом промежутке, в каждой точке которого они определены. График непрерывной функции на таком промежутке является беспрерывной линией 
Теорема 3. Пусть функция непрерывная на промежутке и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда она оборачивается в нуль хотя бы в одной точке этого промежутка. Если функция есть монотонной на , то она превращается в 0 только один раз. 
Следствия 
1) Если функция непрерывная на промежутке , то она получает на этом промежутке любое значение M, какое расположенное между и . 
2) Если функция непрерывная на промежутке и не превращается в нуль внутри этого промежутка, то она имеет один и тот самый знак во всех внутренних точках промежутку.

9) Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

Геометрический  смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке.

      Уравнение касательной к графику функции y=f(x)

                в точке x₀ :    

 

 

 

 

 

 

 

10) Правило дифференцирования суммы функций:  

         Правило дифференцирования разности  функций: 

         Правило дифференцирования произведения  функций (правило Лейбница):  

         Правило  дифференцирования частного функций:    

11) Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение D y этой функции в точке x представимо в виде

D y =AD x +a (D x) D x,

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью  функции. Если функция  f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно:  непрерывная функция может не иметь производной.  

С л  е д с т в и е . Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

12) Теорема о производной обратной функции

 Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у₀ имеет производную g '(v₀), отличную от нуля, то в соответствующей точке x₀=g(x₀) функция y=f(x) имеет производную f '(x₀), равную , т.е. справедлива формула .

 

дифференцирование сложной функции

13)   Дифференциалом функции называется линейная часть приращения функции относительно приращения аргумента   Δ f = A·Δx + o(Δx), то есть df = A·Δx.

Геометрический  смысл дифференциала функции: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной в данной точке х0.

14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15) Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной. Обозначается   y''=( f'( x ))'= f''( x )

Если определена ( n -1)  производная f ^{(n -1 )} (x) и существует её производная, то она называется n-й производной функции f(x):   f ^{( n )} ( x ) = ( f ^{( n -1 )} ( x ))' .

 

 

Дифференциал от дифференциала  функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом:  d ² y = f''( x ) dx ²

Дифференциал от дифференциала n -го порядка называется дифференциалом ( n +1) порядка.

16)

 

 

 

 

 

17)

18)

19)

20) Правило Лопиталя: при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия:

1. или ;
2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
3. в проколотой окрестности ;
4. существует ,

тогда существует . 

 

 

 

 

 

 

 

 

21) Напомним, что экстремум функции – это ее локальный максимум или минимум.

1. Случай функции одной переменной. Заметим, что максимум или минимум дифференцируемой функции может находиться лишь в ее критической точке (необходимое условие экстремума).

Пусть х₀ – критическая (стационарная) точка функции y = f(x). Тогда можно сформулировать следующие достаточные условия существования экстремума в этой точке:

а) Пусть функция дифференцируема в некоторой  окрестности U точки х₀, не содержащей других критических точек. Тогда:

·    если при переходе через точку х₀ производная f ' меняет свой знак с плюса на минус, х₀ – точка (локального) максимума функции;

·    если при переходе через точку х₀ производная меняет свой знак с минуса на плюс, х₀ – точка (локального) минимума функции;

·    если при переходе через точку х₀ производная не меняет свой знак, в точке х₀ нет экстремума.

б) Пусть в точке х₀ существует вторая производная функции f,  f ''(x0), не равная нулю. Тогда:

·    если f’’(x₀) > ₀, х₀ – точка (локального) минимума функции;

·    если f’’(x₀) < ₀, х₀ – точка (локального) максимума функции.

 

22) Если функция дифференцируема в точке M₀ то необходимым условием существования экстремума в этой точке является требование ее стационарности: 

  , если 

Стационарная точка – точка где все частные производные по всем аргументам равны 0.

 

23) Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) < f (x₂).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) > f (x₂).

24) Выпуклость и вогнутость        

свойство  графика функции у = f (x) (кривой), заключающееся в том, что каждая дуга кривой лежит не выше (не ниже) своей хорды; в первом случае график функции f (x) обращён выпуклостью книзу (вогнутостью кверху) и сама функция называется выпуклой (рис. 1, а), во втором — график обращён вогнутостью книзу (выпуклостью кверху) и функция называется вогнутой (рис. 1, б). Если существуют производные f '(x) и f "(х), то первый случай имеет место при условии, что f "(x) ≥ 0, а второй при f "(x) ≤ 0 (во всех точках рассматриваемого промежутка). Выпуклость (книзу) можно охарактеризовать также тем, что дуга кривой лежит не ниже касательной, в окрестности любой своей точки (рис. 2, a), а вогнутость (книзу) — тем, что дуга кривой лежит не выше касательной (рис. 2, б). Аналогично определяются В. и в. поверхности.        

        

Рис. 1 к ст. Выпуклость и вогнутость.        

 

 

               Рис. 2 к ст. Выпуклость и вогнутость.

 

 

25) Точка перегиба функции внутренняя точка области определения , такая что непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот. 
Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки , имеет в точку перегиба, то .

26) Асимптоты функции

 

   Асимптотой функции  называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Вертикальные  асимптоты

 

   Вертикальные  асимптоты определяются точками  разрыва функции и границами  области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет. Некоторые особенности поведения функции в окрестности вертикальных асимптот представлено на рисунке. 
   Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва второго рода 
В этом случае f( x₀ ± 0) = ± ∞, или f ( x₀ ± 0) = + ∞ , или f (x₀ ± 0) = − ∞. 
   Следует отметить, что в этом случае может отмечаться всё разнообразие поведения функции в окрестности точки разрыва. Например, на рис. 8.2 приведён график элементарной функции