Ұлы Гаусс математикасы

Гаусстың ең алдымен айналысқаны "үш ұлы А" – арифметика, алгебра, анализ.Геометрияға ол ғалым ретінде қалыптасқан кезінде келді.

Одан кейін,1799жылы Хельмштедте алгебраның негізгі теоремасының дәлелдемесіне арналған диссертация қорғайды.Бұл диссертацияда коэффициенттері нақты сандар болатын кез келген алгебралық теңдеудің ең кемінде бір түбірі болатыны,сондықтан теңдеудің түбірлерінің саны дәрежесімен бірдей болатындығы жөнінде ең бірінші қатал дәлелдеме береді.Бұл теореманың дәлелдемесін көп математиктер Гауссқа дейін де қарастырған,олардың ішінде Альберт Жирар,Жан Даламбер т.б бар.Осы соңғы жұмысында ол ешбір жерде жорымал шамалар туралы айтпайды,ол тек кез келген полиномды бірінші не екінші дәрежелі көбейткіштерге жіктеуге болмайтыны туралы ғана айтады.

Келесі үлкен жұмысы кешігіңкірей 1801жылы ғана жарияланған "Арифметикалық зерттеулер".Бұл кітапта Гаусс қазіргі сандар теориясын толық құрды деуге болады.Ең қызығы бұл кітапқа кірген жаңалықтардың бәрін ол өз ойынан,ешкімнің ықпалынсыз табады.Осындағы мәселелермен байланысты Эйлер,Лагранж және Лежандрдың жұмыстарымен,кейінрек Геттингенде ғана танысады.Бұл шығарма үш бөлімнен құралған.Бірінші бөлімі квадраттық қалыңдылар теориясына арналған.Онда сандар теориясының негізгі теоремасы - өзаралықтың квадраттық заңы дәлелденген.Бұл теореманы Гаусс "алтын теорема" дейтін. "Арифметикалық зерттеулердің" екінші бөлімінде Гаусс квадраттық формалардың теориясын қарастырған.Мұнда ол ax² + 2bxy + cy² өрнегінің a,b,c бүтін сандар болғанда х пен у – тің бүтін мәндерінде қандай шамаларға тең бола алатынын зерттейді.Ал кітаптың үшінші бөлімінде дөңгелекті бөлудегі хⁿ=1 теңдеуінің квадрат радикалдар арқылы шешілуі зерттеледі.Бұл шығармада барлық дәлелдемлер өте қатал,дедукция әдісімен жүргізіледі,қарастырылып отырған мәселелердің мағынасы туралы ешбір сөз жоқ,сондықтаг оны оқу өте қиын.

Алгебрада Гаусс көбінесе жоғарыда айтылған "негізгі теоремамен" айналысқан.1799жылы дәлелдемеден кейін 1818жылы жаңа дәлелдеме келтіреді, ал 1826жылы басқс әдістермен үшінші дәлелдемесін табады.Бұл соңғы дәлелдеме комплекс жазықтықтағы қос интегралдарда қолданылады.Ал 1849жылы 50жылдығымен және докторлық атағын алуымен байланысты,Гаусс ең бірінші дәлелдемеге қайта оралды.

Гаусстың анализдегі еңбектерін жалпы алғанда үшке бөлінген үлкен бір жұмыс деп қарастыруға болады.Оның бірінші бөлімі –

F(α,β,γ,x) = 1 +

x² + …

гипергеометриялық қатар туралы жазған.Мұнда қатарлардың жинақты болуының алғашқы критерийлері келтірілген.

 Екінші бөлімде коэффициенттері х – ке рационал түрде тәуелді болатын дифференциалдық теңдеулерге арналған зерттеулер болды.Бұл теңдеулер үшін гипергеометриялық қатар дербес интгерал болар еді,олар эллипстік модуляр функциялармен байланысты болар еді.Ал үшінші бөлімде жалпы эллипстік функциялардың теориясы орын алу керек еді.Бірақ бұл екінші және үшінші бөлімдерде болуға тиісті мәселелер туралы Гаусс ешқандай еңбек жарияламады,бұлар жөніндегі зерттеулері тек оның өзі қайтыс болғаннан кейін,оның қағаздарының арасынан табылды.Кейін бұл мәселелер туралы Абель(1825) мен Якоби(1827) құнды зерттеулер жариялады.

Гаусс өз еңбектерін жариялауға еш уақытта асықпайтын,ол өзінің дәлелдемелеріне өте қатал қарайтын."Егер зерттеліп отырған мәселеден әліде біраз жұмыс істеу мүмкін болса,- дейтін Гаусс,- ол зерттеуді аяқталған еңбек деп есептеуге болмайды".Оның үстіне Гаусстың ойынан әр қашан да түрлі есептер мен проблемалар шықпайтын,кейде бір мәселені зерттеп отырғанда көңілі басқа ойға түсіп кететін.

1821- 1823жылдары ол өзінің ең  кіші квадраттар әдісін жариялады.Осы  жылдары ол дифференциалдық геометриямен  көп айналысады,табылған нәәтижелерін "Қисық беттер туралы жалпы зерттеулер" деген жұмысында жариялайды(1827жылы).Бұл жұмыста алдымен беттің беті мен нүктесіндегі иілімнің шамасы және толық иілім деген ұғым анықталады.Содан кейін ол

dS² =Edu² + 2Fdudv + Gdv²

формула арқылы, ds сызықтық элементі квадраттық форма реттінде өрнектейді.Мұнда тағы бір қызықты теорема дәлелденді.Ол теорема бойынша беттің толық иілімі тек қана E,F,G және солардың туындыларынан ғана тәуелді болады,ал онда толық иілім беттің майысуынан өзгермейтін болып шығады.Бұл да дифференциалдық геометрияның бір негізгі теоремасы.Гаусстың дифференциалдық геометрияға дейінгі Монж көзқарасы басқа.Гаусстың зерттеулерінен беттердің ішкі геометриясы шығады.

Гаусс ат басын тіремеген математика салалары кемде-кем.Ол бұлардың әрқайсысында елеулі із қалдырды.Гаусс жиырма төрт жасында "қарандаштың ұшымен" Церара планетасын тапты.

Электромагнитизимнің математикалық теориясымен,жердің тартылу  күшімен,диоптрикамен,аэродинамикамен,электростатикамен,геодезиямен,капилярлық теориясымен айналысты.

 

 

2.1 Гаусс теоремасы

 

Гаусс теоремасы (Гаусс заңы) — электродинамика заңдарының бірі болып табылады және де ол Максвелл теңдестіру жүйесіне жатады. Ол тұйықталған үстіңгі бет арқылы және  көлемдегі қуатпен электр өрісі кернеулігі ағындары аралығында байланысты көрсетеді (атап айтқанда, теңдік дәлдігімен тұрақты коэффициентке дейін). Гаусс теоремасы  электростатикалық өрісті есептеу үшін жеке қолданылады.Сонымен қатар Гаусс теоремасы теориялық физикада терең мағынаға ие.

Гаусс теоремасы - электр динамикада электр статикасының S тұйық бет арқылы өтетін электр индукциясының (D) сол бетті қамтитын көлем (V) ішіндегі зарядқа (Q) пропорционалдығын тұжырымдайтын негізгі теорема.

СГС	СИ

 

 

мұндағы 

•  — тұйық   бет арқылы өтетін электр өрісі кернеулігінің ағыны.
•  —   беті қамтып тұрған көлем ішіндегі толық заряд.
•  — электр тұрағы.

Бұл өрнек теореманың интегралдық түрі.

Ескерту: кернеулік векторының ағыны беттің ішіндегі үлестіріліміне (зарядтардың орналасуына) байланысты емес.

 
 Дифференциалдық түрінде Гаусса теоремасы былай жазылады:

 

СГС	СИ

Мұндағы   — еркін зарядтың көлемдік тығыздығы (орта бар кезде — еркін және байланысты зарядтар қосындысының тығыздығы), ал   — набл операторы. Бұл формула электрмагниттік өріс үшін Максвелл теңдеулерінің 4-нің интегралдық түрі және ол электр зарядының электр өрісінің көзі екендігін дәлелдейді.

 

2.2 Гаусс проекциясы

 

Гаусс проекциясы - жер эллипсоидінің бетін нүктелік сәйкестік заңы бойынша жазықтыққа кескіндеу әдісі. Гаусс проекциясында картографиялық проекциялардағы ауытқулар қарапайым және тұжырымды түрде есептеледі.

Теңбұрышты кескіндегі координат жүйесі енді,ол Гаусс-Крюгер кескіні деп аталды.Оны немістің көрнекті ғалымы Карл Фридрих Гаусс гановер триангуляция жұмысы үшін енгізген болатын(1821-1825ж.ж).Оны 1912 және 1919жылдары неміс геодизияшы Л.Крюгер жетілдірді.Содан бері ол Гаусс-Крюгер кескіні деп аталып кетті. Гаусс- Крюгер кескінінде геометриялық түсіндіру жоқ.Ол изотермиялық координаттан дәрежелік құрамға кешендік қызметті жіктеп аналитикалық жолмен алынған. Гаусс- Крюгер кескіні үш шартпен анықталады: ол теңбұрышты,ұзындығын орта меридианада сақтайды және орта меридианадан экваторға біршама симметриялы.Ол құрамы бойынша көлденең цилиндрлік кескін болып табылады.Цилиндр аймақтың орта меридианына қатысты,және осы цилиндрге барлық аймақ,жоғарыда аталған үш шартты сақтай отырып жобаланады. Гаусс- Крюгер кескініндегі жер эллипсоидының беті үш немесе алты градусты аймақтарға,шектеулі меридиандармен полюстен полюске дейін бөлінеді.

Гаусс кез келген алгебралық теңдеудің түбірі a + bi(комплекс тсан) түрінде болады деді.Мұндағы a мен b – нақты сандар,ал iti = -1.Бұл жаңа санды ол комплекс сан,ал i – ді жорамал бірлік деп атады.Комплекс санды жазықтық нүктелері ретінде бейнелеуге болады.Декарт координаталарындағы A(a;b) нүктесі a + bi комплекс санын көрсетеді.

Гаусс саны — а + bi комлекс саны, мұндағы а және b - бүтін сандар, i - жорымал бірлік (i=√-1). Бұл сандарды Гаусс 1825 жылы енгізген. Формальды анықтамасы:

.

Кез келген    гаусс саны мына квадраттық теңдеуді қанағаттандырады:

.

 

 

2.3 Гаусс әдісі

 

Сызықты теңдеулер жүйесінің шешімін табу үшін Гаусс әдісі өте тиімді болып табылады.

Гаусс әдісі (оны элементар түрлендірулер әдісі деп те атайды) – кез –келген тікбұрышты (квадрат емес) матрицалары бар теңдеулер жүйесін зерттеуге және шешімін табуға (жүйенің ақырсыз көп шешімі бар жағдайда да) мүмкіндік береді.

Теңдеулер жүйесін зерттеу – оның үйлесімді (немесе үйлесімсіз) екенін ,ал егер үйлесімді болса,онда жүйе шешімінің қанша болатынын анықтау деген сөз.

Гаусс әдісінің негізі болып – элементар түрлендірулер болып саналады.

Сызықты теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісінің мағынасы мынада: "берілген теңдеулер жүйесінде қарапайым түрлендірулер қолдану арқылы айнымалыларды біртіндеп жою бойынша оны баспалдақты түрге келтіру". 
Содан соң кері есептеулер жүргізіп жүйенің шешімі табылады. Берілген жүйеге қолданылатын барлық түрлендірулерді сызықты теңдеулер жүйесінің матрицаларына қолдануға болады.

F өрісінде анықталған теңдеулер жүйесі берілсін.

                                                                                    (1)

 

Егер 0 болса, онда белгісіздердің орнын ауыстырамыз. ≠0 болсын. Жүйенің 2 – ші теңдеуінен бастап - ден арыламыз.Ол үшін 1 –ші теңдеуді - ге көбейтіп 2 – шіден алып тастаймыз және - ге көбейтіп үшінші теңдеуінен аламыз.Осы процесті жалғастыра берсек мынадай теңдеулер жүйесін аламыз

 

                                                                               (2)

 

Бірінші теңдеу өзгеріссіз қалады. Енді екінші теңдеуден бастап жоғарыдағы процесті қайталаймыз,яғни үшінші теңдеуден бастап - ден арыламыз.Сонда мынадай теңдеулер жүйесін аламыз.

 

                                                              (3)

Жоғарыдағы процесті үшінші теңдеуден бастап қолданамыз.Осы процесті жалғастыра берсек,онда мынадай екі жағдайдың біреуіне келеміз.

1. теңдігі орындалуы боуы мүмкін.Онда берілген жүйенің шешуі жоқ.

2. Бірінші жағдай орындалмаса,онда  бірнеше қадамнан кейін мынадай  жүйені аламыз:

  ≠0, ≠ 0, ≠ 0.                               (4)

 

Бұл жағдайда (1) жүйе үйлесімді болады.Егер r = n болса жүйе анықталған,ал егер r < n  болса жүйе анықталмаған болады.Егер r = n болса,онда

 

 жүйесін аламыз.                                                          (5)

 

Соңғы теңдеуден - ді тауып, оны алдындағы теңдеуге қойсақ - ді табамыз және т.с.с.

Егер r < n ,болса, ,..., бос белгісіздер деп аталады да кез-келген мән қабылдайды.Төменнен жоғары жылжи отырып - дің мәндерін табамыз.Бос белгісіздер кез-келген мән қабылдағандықтан бұл жағдайда берілген жүйенің көп шешуі болады.

Мысалдар:

 

1) ↔ 2, -3,  -1.

Жүйенің бір шешуі бар.

 

2) Шешуі жоқ.

 

 

3) Шексіз көп шешуі бар.

 

 

 

2.4 Сандар сыры

 

    Карл Гаусс математиканың сан салаларын сарапқа сала келіп арифметиканы "математика патшасы" деп бағалаған. Ал арифметиканың негізгі ұғымы-сан.

       Шындығында, арифметиканың өзі айрықша ғылым болып бертінде қалыптасқанмен,оның басты ұғымы-сан ұғымы өте ертеде, адамзат жазу, сызуды білмеген заманда пайда болған.

        Адам баласының ең бірінші қолдана білген математикалық амалы санау болды. Тіпті аз ғана санды білетін жабайы тайпалардың өзі көп нәрседен тұратын жиындарды санауға дейін әрекет жасаған. Бұл жағынан қарағанда адам саннан бұрын-ақ «санауды», «түгендеуді» білген деуге болады. Қайта осы санау, түгендеу әрекеттері негізінде сан ұғымы туады, біртіндеп кеңейеді. Ежелгі қазақтар төрт түлік малдарын санамай түгендеуі осының нақты мысалы. Ел  аузындағы «түгендеймін санамай» деген сөз тіркесі осыны аңғартады. Осы сияқты олар кейде  бір қора қойдың өзін жасына қарай бөліп, әрбір төлді бөлек-бөлек түстеп түгендейтін болған. Бұл, әрине өте ерте кездегі санау тәртібінен қалған сарқыншақтар.

   Алайда, көз мөлшермен санау практикасы адам баласының мұқтаждығын аса қанағаттандыра алмаған. Түстеп санау арқылы түгенделетін  заттың көп-аздығы, бары-жоғы  ажыратылғанмен, санмен келтірілген басқа негізгі міндеттері (мәселен, «мен 20 қоян әкелдім» дегенді білдіру сияқты) орындау мүмкін болмады. Мұндай жағдай да адамдар саусақпен  санауға ұмтылған. Торрес бұғазының батыс жағалауын мекендейтін кейбір австралиялық жабайы тайпалар адамның дене мүшелері арқылы 33-ке дейінгі санды өрнектей алады екен. Егер саналатын заттар 33-тен асып кетсе, олар таяқшаларды пайдаланады. Ертеде қойшылар таяқтарына  баққан қойының санына сай келетін кертікшелер белгілеу арқылы қойының  есеп-қисабын алып отырған.

         Бұл қарсаңда да сан тең мөлшерлі жиындардың  бәріне ортақ, тұрақты қасиетін көрсететін ерекше математикалық ұғым болып қалыптаса қоймады.  Мұнда тек бір жиындағы  нәрселер сондай мөлшерлі басқа бір жиынмен ауыстырылды. Мысалы, қорадағы қой саны мен таяқтағы кертік саны мөлшерлес.