Контрольная работа по "Методы принятия оптимальных решений"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 21 Января 2015 в 19:44, контрольная работа

Описание работы

Целевая функция в виде нулевой линии уровня F0 проходит через начало координат. Если перемещать эту линию в направлении вектора – вниз, скользя началом линии по оси х1, то значения целевой функции будут возрастать от нуля до бесконечности при х2 = 0. Если её перемещать в противоположном направлении, скользя началом линии по прямой -х1 + х2 = 1, то значения целевой функции будут уменьшаться от нуля до бесконечности при х1 ≥ x2 – 1.

Содержание работы

Задача 1 3
Задача 2 5
Задача 3 11
Задача 4 15
Задача 5 17

Файлы: 1 файл

Методы оптимальных решений.doc

— 413.00 Кб (Скачать файл)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

 

Центр дистанционного образования

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: "Методы принятия оптимальных решений"

Вариант № 6

 

 

 

 

 

Исполнитель: студентка

Направление: Управление качеством

Профиль: Управление качеством в производственно-технологических системах

Группа: УКу-12КТ

Никонова Татьяна Юрьевна

Преподаватель: Кандоба Игорь Николаевич  

 

 

 

 

Краснотурьинск

2014

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1 3

Задача 2 5

Задача 3 11

Задача 4 15

Задача 5 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Решить графически.

min F = 2x1 – 6x2;


 

 

Решение: Построим в осях Х1ОХ2 граничные прямые, соответствующие исходным неравенствам. Каждая из этих прямых делит плоскость на две части, одна из которых удовлетворяет неравенству. Подставив в неравенство координаты любой точки, например (0;0), находим эту полуплоскость (отмечено стрелками). В результате получена область ОДР, ограничивающая часть плоскости, удовлетворяющую всем ограничениям – это область допустимых решений – ОДР (заштриховано). Следует отметить, что ОДР не ограничена в сторону бесконечно больших значений х1 и х2.

Целевая функция в виде нулевой линии уровня F0 проходит через начало координат. Если перемещать эту линию в направлении вектора – вниз, скользя началом линии по оси х1, то значения целевой функции будут возрастать от нуля до бесконечности при х2 = 0. Если её перемещать в противоположном направлении, скользя началом линии по прямой   -х1 + х2 = 1, то значения целевой функции будут уменьшаться от нуля до  бесконечности при х1 ≥  x2 – 1.

Т.к. условием задано найти минимум, то получим решение задачи в виде:

Если бы ограничения в условии были записаны так:

то ОДР превратилась бы в четырёхугольник ОАВС, минимум функции был бы в точке В с координатами х1 = 1; х2 = 1,5 и целевая функция приобрела бы значение:

Fmin = 2x1 – 6x2 = 2∙1 – 6∙1,5 = -7;

Соответственно максимум функции оказался бы в точке С (2; 0).

Fmax = 2x1 – 6x2 = 2∙2 – 6∙0 = 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Для производства 4-х видов продукции используется 3 вида сырья. Нормы расхода сырья (кг) запасы (кг) его ценность от реализации единицы продукции заданы таблицей.

Составить план выпуска продукции, обеспечивающий получение максимальной прибыли, используя симплексный метод, а также построить двойственную задачу и решить её симплекс-методом.

 

Нормы расхода ресурсов на единичное изделие

Запас ресурсов

Изделие 1

Изделие 2

Изделие 3

Изделие 4

Ресурс 1

3

7

1

1

50

Ресурс 2

1

4

2

5

40

Ресурс 3

4

7

12

10

100

Ценность

6

7

9,5

7

 

Решение: Обозначим х1 – выпуск изделия 1; х2 – выпуск изделия 2; х3 – выпуск изделия 3; х4 – выпуск изделия 4.

Т.к. затраты ресурсов не могут превосходить их запасы сi, то математическая модель задачи предстанет в виде:

где целевая функция Z, обозначающая прибыль, стремится к максимуму:

Z = αх1 + βх2 + γх3 + δх4 = 6х1 + 7х2 + 9,5х3 + 7х4 → max;

Преобразуем систему неравенств в систему уравнений, введя дополнительные переменные х5; х6; х7, которые дают начальный базис:

Для решения этой системы уравнений составим исходную симплекс-таблицу №1. Здесь по строкам записаны коэффициенты при неизвестных в уравнениях. В верхней строке записаны коэффициенты при целевой функции, а в нижней – оценочной – те же коэффициенты с обратным знаком. Базисные переменные х4, х5, х6 имеют нулевые коэффициенты Сi в целевой функции. Столбец В – свободные члены уравнений.

Сi

Базис хi

Сi

В

6

7

9,5

7

0

0

0

x1

x2

х3

х4

х5

х6

х7

х5

0

50

3

7

1

4

1

0

0

50

х6

0

40

1

4

2

5

0

1

0

20

х7

0

100

4

7

12

10

0

0

1

8,333

Z ≥ 0

0

-6

-7

-9,5

-7

0

0

0

№1


Т.к. наиболее отрицательная оценка (–9,5) в столбце х3, то этот столбец выберем в качестве разрешающего столбца.

Отношения свободных членов В к элементам разрешающего столбца Вi/xi записаны в правом столбце – здесь минимум в строке х7 – эта строка разрешающая.

На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки стоит разрешающий элемент 12 (выделен). Значение целевой функции Z0 = 0, т.к. все базисные переменные фиктивны и коэффициенты при них в целевой функции равны нулю.

Вводим в базис переменную х3 со своей оценкой вместо переменной х5.

Строку х7 – там разрешающий элемент – делим на него, т.е. на 12. В столбце х3 все нули кроме разрешающего элемента. Остальные элементы пересчитаем по правилу прямоугольника:

где аik; а′ik – старое и новое значение в углу прямоугольника, диагонального разрешающему элементу, аqp – разрешающий элемент; аqk; aip – другие углы, смежные с разрешающим элементом. Получили таблицу №2.

Сi

Базис хi

Сi

В

6

7

9,5

7

0

0

0

x1

x2

х3

х4

х5

х6

х7

х5

0

41,667

2,6667

6,4167

0

3,1667

1

0

-0,0833

15,625

х6

0

23,3333

0,3333

2,8333

0

3,3333

0

1

-0,1667

70

х3

9,5

8,333

0,3333

0,5833

1

0,8333

0

0

0,0833

25

Z1

79,1667

-2,833

-1,4583

0

0,9167

0

0

0,7917

№2


Здесь значение целевой функции Z1 = 79,167, но т.к. в строке Z есть отрицательные оценки, это решение не оптимально и значение Z может быть увеличено.

Выбрав разрешающий элемент  – это 2,6667 в столбце х1 и введя переменную х1 в базис вместо х5 получили третью таблицу, в оценочной строке которой нет отрицательных оценок, т.е. план оптимален.

 

 

 

Сi

Базис хi

Сi

В

6

7

9,5

7

0

0

0

x1

x2

х3

х4

х5

х6

х7

х1

6

15,625

1,000

2,406

0,000

1,188

0,375

0,000

-0,031

 

х6

0

18,125

0,000

2,031

0,000

2,938

-0,125

1,000

-0,156

 

х3

9,5

3,125

0,000

-0,219

1,000

0,438

-0,125

0,000

0,094

 

Z ≥ 0

123,4375

0,000

5,359

0,000

4,281

1,0625

0,000

0,70313

№3


Т.о. х1 = 15,625; х2 = х4 = 0; х3 = 3,125; Zmax = 123,4375.

Значение х6 = 18,125 указывает величину неиспользованного второго ресурса.

Оценки, соответствующие переменным, указанным в оценочной строке симплекс-таблицы показывают, как уменьшится целевая функция при увеличении переменных на 1.

Т.о. для получения максимальной прибыли следует производить изделия 1 и 3, отказавшись от производства изделий 2 и 4.

Это же решение может быть получено в MS Excel применением инструмента "поиск решения". Лист Excel с результатами решения представлен ниже:

 

 

 

 

 

 

 

 

   

ПЕРЕМЕННЫЕ

       
 

Х1

Х2

Х3

Х4

     

Значения

15,625

0,0000

3,125

0

ЦФ

   

Коэф. в ЦФ

6

7

9,5

7

123,4375

   
               
   

ОГРАНИЧЕНИЯ

       
         

Лев.часть.

Знак

Прав.часть.

Ресурс 1

3

7

1

4

50,0000

<=

50

Ресурс 2

1

4

2

5

21,8750

<=

40

Ресурс 3

4

7

12

10

100,0000

<=

100


Здесь показано, что максимум целевой функции ЦФмакс = 123,4375 при оптимальном решении Х(15,625; 0; 3,125; 0). Ресурс 1 и ресурс 3 использованы полностью (левая и правая части равны между собой), а из ресурса 3 использовано лишь 21,875 ед., т.е. остаток 40 – 21,875 = 18,125 ед.

Информация о работе Контрольная работа по "Методы принятия оптимальных решений"