Контрольная работа по "Математике"

Вторая производная:

(

 

Видно, что точка (0,0) –  точка перегиба. Знаменатель всегда положительный, поэтому все свойства зависят только от числителя.

Ответ: (0,0) –точка перегиба, выпукла вниз на (0, ),выпукла вверх на (- .0)

 

 

1	2	3
(0,0) –точка перегиба, выпукла вниз на (0, ), выпукла вверх на (- .0)	(0,0) точка перегиба, выпукла вверх на (0, ), выпукла вниз на	Точки перегиба нет. Функция выпукла на всей числовой оси.

 

9.4. Найти асимптоты  графика функции :

 

_{Решение.}

 

_{Вертикальные  асимптоты найдем из приранивания к  нулю знаменателя.}

 

_{Это и будут вертикальные асимптоты.}

Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела

 

Горизонтальная асимптота  у=0.

Ответ: 1.

 

1	2	3
-вертикальные асимптоты;  У=0(ось абцисс)- Двусторонняя горизонтальная асимптота.	Х=0 –вертикальная асимптота; У=1-двусторонняя горизонтальная асимптота.	вертикальные асимптоты .

 

9.5. Найти дифференциал  второго порядка функции 

 

_{Решение.}

 

_Тогда

 

_{Ответ: 2.}

 

1	2	3

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Неопределённый  интеграл

 

Теоретический материал:

1) Первообразная функция  и неопределённый интеграл.

2) Свойства неопределённого  интеграла .Табличные интегралы.

3) Метод замены переменной.

4) Интегрирование по  частям.

5) Интегрирование простейших  рациональных дробей, некоторых видов иррациональностей, тригонометрических функций.

10.1. Найти интеграл 

 

_{Решение.}

 

 

 

 

1	2	3

 

 

10.2. Найти интеграл 

 

 

_{Решение.}

 

по частям: int=x tg x-int tg x dx=x tg x+ln cos x

 

Ответ: 1.

 

 

 

1	2	3
Xtgx+ +c	Xcosx- +c	tgx(1+ )+c

10.3. Найти интеграл

 

_{Решение.}

 

Ответ: 3.

 

1	2	3

 

10.4. Найти интеграл 

 

_{Решение.}

 

_{Используем  формулу:}

_{Получаем:}

 

 

 

1	2	3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.Определённый  интеграл

 

Теоретический материал:

1) Площадь криволинейной   трапеции. Геометрический смысл  определённого интеграла.

2) Свойства определённого интеграла.

3) Формула Ньютона-Лейбница.

4) Замена переменной  и интегрирование по частям  в определённом интеграле.

5) Несобственные интегралы.

6) Вычисление площади  плоской фигуры.

7) Вычисление объёмов  тел вращения.

11.1. Вычислить определённый интеграл

_{Решение.}

 

 

1	2	3
7+2 2	17

 

11.2. Вычислить определённый  интеграл 

 

Решение.

Этот интеграл будем  брать по частям:

Тогда

 

Еще раз по частям:

 

1	2	3
4+е	е-2

11.3. Вычислить интеграл   

(если он сходится)

 

Решение.

 

 

 

1	2	3
расходится

11.4. Вычислить площадь  фигуры, ограниченную параболой  и осью х.

 

Решение.

Точки пересечения с  осью ОХ – точки х₁=0 и х₂=4.

 

 

11.5. Вычислить объём  тела, полученного от   вращения  фигуры, ограниченный линиями    вокруг оси х.

 

Решение.

Изобразим на чертеже  плоскую фигуру, ограниченную линиями

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси   получается конус.

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси  получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через .

Используем стандартную  формулу для нахождения объема тела вращения:  

 

1	2	3
		17

 

 

 

 

 

1	2	3
111.5	73	24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Теория  вероятностей

 

Теоретический материал:

1) Основные понятия  комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания.

2) Операции над событиями:  сложение вероятностей, условная вероятность, умножение вероятностей, формула полной вероятности, формула Бейса.

3) Независимые испытания,  формула Бернулли. Приближённые  формулы Лапласа и Пуассона.

4) Математическое ожидание  и дисперсия дискретной случайной  величины.

5) Математическое ожидание  и дисперсия непрерывной случайной  величины.

 

 

 

12.1. В урне находятся  5 белых и 7 чёрных перчаток. Найти  вероятность того, что пара, которую  достали наугад, окажется одноцветной.

 

Решение.

 

В нашем случае могут  быть два случая: можно вытянуть белые перчатки и пару черных перчаток. Всего комбинаций (выбор 2 перчаток из 12) будет:

Выбор двух белых перчаток будет:

 

Выбор двух черных перчаток будет:

 

Искомая вероятность  будет:

 

 

1	2	3

 

12.2. Электрическая схема  состоит из пяти последовательно  соединённых блоков. Вероятность  безотказной работы каждого блока  составляет 0.3,0.5,0.8,0.1,0.2.Считая выходы  из строя  различных блоков  независимыми событиями, найти надёжность всей схемы в целом.

 

Решение.

 

При параллельном соединении, выход одного блока ведет к  сбою всей системы. Так как события  независимые, то искомая вероятность  находится как произведение всех пяти вероятных событий (для каждого  блока).

 

1	2	3
0.0024	0.017	025

 

12.3. При испытаниях  по схеме Бернулли вероятность  двух успехов в трёх испытаниях  в 12 раз больше, чем вероятность  трёх успехов в трёх испытаниях. Найти вероятность успеха в  одном испытании.

 

Решение.

 

Запишем в общем виде формулу Бернулли:

 

В первом случае:

Во втором случае:

 

 

По условию задачи Р₁=12Р₂. Итак,

 

Вероятность р=0 не удовлетворяет  условию задачи.

Ответ: 0,2.

 

1	2	3
0.5	0.3	0.2

 

12.4. С первого станка  на сборку поступает 40% изготовленных  деталей, со второго -30%, с третьего -30%.Вероятность изготовления бракованной  детали  для каждого станка  равна соответственно 0.01,0.03,0.05.Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь оказалась бракованной.

 

Решение.

 

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности.

 

 

1	2	3
0.12	0.028	0.06

 

12.5. Пусть Х -число  очков, выпадающих при одном бросании игральной кости. Найти дисперсию случайной величины Х.

 

Решение.

 

Составим таблицу вероятностей от количества очков при одном  бросании:

 

Х	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 

Дисперсию найдем по формуле:

 

1	2	3