Контрольная работа по "Математике"

 

4.Системы  линейных уравнений

 

Теоретический материал:

1) Общий вид, матричная форма и табличная форма системы m линейных уравнений с n неизвестными.

2) Теорема Кронекера-Капелли.

3) Совместная и несовместная  система, общее решение, базисные  и свободные неизвестные, базисное  решение.

4) Метод Гаусса, метод  Жордоне -Гаусса, матричный метод.

4.1. Решить систему         матричным методом

 

Решение.

Запишем матрицу в  виде:

 

Вектор B:

B^T = (14,7,1)

Главный определитель

∆ = 2•(1•2-3•(-3))-5•(-3•2-3•1)+4•(-3•(-3)-1•1) = 99

Транспонированная матрица

 

Алгебраические дополнения.

 

∆_1,1 = (1•2-(-3•3)) = 11

 

∆_1,2 = -(-3•2-1•3) = 9

 

∆_1,3 = (-3•(-3)-1•1) = 8

 

∆_2,1 = -(5•2-(-3•4)) = -22

 

∆_2,2 = (2•2-1•4) = 0

 

∆_2,3 = -(2•(-3)-1•5) = 11

 

∆_3,1 = (5•3-1•4) = 11

 

∆_3,2 = -(2•3-(-3•4)) = -18

 

∆_3,3 = (2•1-(-3•5)) = 17

Обратная матрица

 

Вектор результатов X

X = A^-1 • B

 

 

 

X^T = (2.27,-3,0.4545)

x₁ = ²²⁵ / ₉₉ = 2.27

x₂ = ^-297 / ₉₉ = -3

x₃ = ⁴⁵ / ₉₉ = 0.4545

 

 

4.2. Решить систему      методом Крамера

 

Решение.

Запишем систему в  виде:

 

B^T = (3,2,1)

Главный определитель:

∆ = 2 • (-1 • 1-2 • 2)-1 • (-2 • 1-2 • (-1))+3 • (-2 • 2-(-1 • (-1))) = -25 = -25

Заменим 1-ый столбец  матрицы А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = 3 • (-1 • 1-2 • 2)-2 • (-2 • 1-2 • (-1))+1 • (-2 • 2-(-1 • (-1))) = -20

 

Заменим 2-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₂ = 2 • (2 • 1-1 • 2)-1 • (3 • 1-1 • (-1))+3 • (3 • 2-2 • (-1)) = 20

 

Заменим 3-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃ = 2 • (-1 • 1-2 • 2)-1 • (-2 • 1-2 • 3)+3 • (-2 • 2-(-1 • 3)) = -5

 

Выпишем отдельно найденные  переменные Х

 

 

 

 

 

 

 

4.3. Решить систему:    методом Гаусса

 

Решение.

 

Запишем систему в  виде:

 

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

 

Умножим 1-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Необходимо переменную x₃  принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.

Приравняем переменную x₃  к 0

Из 2-ой строки выражаем x₂

 

Из 3-ой строки выражаем x₁

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Уравнение  прямой на плоскости

 

Теоретический материал:

1) уравнение прямой (общее, с  угловым коэффициентом , в отрезках),

2) расстояние между двумя точками

3) Расстояние d от точки до прямой .

4) Условие параллельности и перпендикулярности  прямых.

5) Уравнение прямой , проходящей  через две точки  и .

5.1. Даны точки А(-1,-3),В(4,2).Найти  длину отрезка  и его направление .                  

 

1	2	3	Вариант
=4 =	=	=	Ответ

 

Решение.

Найдем длину отрезка:

 

Направление по осях координат равно  по 5, поэтому угол отрезка равен 45⁰.

 

 

5.2. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси х отрезок , на оси у отрезок .

 

Решение.

Уравнение прямой в отрезках имеет  вид х/а+у/в=1.

Поэтому уравнение прямой будет  иметь вид:

5/2х-10у=1

 

 

5.3. Дано общее уравнение прямой 12х-3у-65=0. Написать уравнение:

- с угловым коэффициентом ,

- в отрезках,

- нормальное уравнение.

 

Решение.

 

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение в отрезках:

Нормальное уравнение прямой: расстояние от точки (0,0) к прямой равна -65, тогда

 

5.4. Дана прямая  L:3х-5у+7=0. Через т. М(1,-1) провести прямую перпендикулярную прямой L.

 

Решение.

 

Прямая, перпендикулярная к данной прямой, имеет направляющий вектор (5,3), то есть имеет вид:

0

Для нахождения постоянной С подставим координаты точки М(1,-1). Получаем:

 

Итак, уравнение прямой будет:

 

5.5. Составить уравнение  прямой , проходящей через точки  М(-1,3) и М(2,5).

 

Решение.

 

Уравнение прямой найдем по формуле:

 

 

 

6.Прямая  и плоскость в пространстве

 

Теоретический материал:

1) уравнение плоскости  (общее, в отрезках, нормальное).

2) угол  между двумя плоскостями.

3) расстояние d от точки до плоскости.

4) уравнение плоскости,  проходящей через три точки  , и .

4) уравнение прямой  в пространстве.

5) угол между двумя  прямыми.

6) условие параллельности  и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости.

 

6.1. Уравнение плоскости  2х+3у-6z+21=0 привести к нормальному уравнению и уравнению в отрезках .

 

Решение.

 

Находим нормальный вектор плоскости:

Тогда

 

Где

 

 

6.2. Определить расстояние  от т.  (3,5,-8) до плоскости 6х-3у+2z-28=0

Решение.

 

Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

Тогда

 

1	2	3	Вариант
11			Ответ 2

 

 

6.3. Составить уравнение  прямой, проходящей через т. (-1,0,5) параллельно прямой

 

_{Решение.}

 

_{Для параллельной прямой направляющий вектор будет тот же. Тогда  уравнение прямой примет вид:}

 

 

 

6.4. Составить уравнение  прямой, проходящей через  две  точки  (-1,0,5) и (2,-3,4)

 

Решение.

 

Уравнение прямой имеет вид:

Подставим значения точек  М₁ и М₂.

 

 

 

 

6.5.Найти sin угла между прямой и плоскостью

2х+3у-6z=2=0

 

 

Решение.

 

Если известны прямоугольные  декартовы координаты направляющего  вектора прямой и нормального  вектора плоскости a = (a₁; a₂; a₃) и n = (А; В; С), то угол φ может быть вычислен с помощью формулы

Подставляем значения:

 

1	2	3	Вариант
			Ответ 2

 

6.6.Составить уравнение  плоскости, проходящей через т.М(2,3,-1) параллельно плоскости 5х-3у+2z-10=0

 

Решение.

 

Плоскости, которые параллельные, отличаются только свободным членом (имеют одинаковый направляющий вектор).

 

Подставим координаты точки  М.

 

Тогда уравнение плоскость  будет иметь вид:

 

5х-3у+2z+1=0

 

 

 

 

 

 

7. Пределы  и непрерывность

 

Теоретический материал:

1) Определение предела  функции  при и при .

2) Бесконечно малые  и бесконечно большие функции.

3) Первый и второй  замечательные пределы.

4) Непрерывность функции.  Разрывы 1-го и 2-го рода.

7.1. Найти предел   

 

Решение.

 

 

1	2	3	Вариант
			Ответ 3

 

7.2. Найти предел  

 

_{Решение.}

 

 

1	2	3	Вариант
4	-1	0	Ответ 2

 

7.3. Найти предел      

 

Решение.

 

 

При больших х , lnx≈x, тогда

 

1	2	3	Вариант
	3		Ответ 1

 

7.4. Найти предел     

 

Решение.

При малых х , tgx≈x, тогда

 

 

1	2	3	Вариант
0	1	-1	Ответ 2

 

 

7.5. Исследовать на  непрерывность функцию  .В случае разрыва в т. Х=1, установить характер разрыва.

 

Решение.

В точке х=1 будет деление  на 0, а в этом случае будет разрыв на бесконечности или разрыв второго  рода.

 

1	2	3	Вариант
Непрерывна	Разрыв 2-го рода	Разрыв 1-го	Ответ 2

 

 

 

 

 

 

8. Производная

 

Теоретический материал:

1) Определение производной.

2) Дифференцируемость  и непрерывность функции.

3) Правила дифференцирования.

4) Производные высших  порядков.

 

8.1. Определить, является  ли функция  непрерывной и дифференцируемой в точке х=0.

 

Решение.

 

Данная функция непрерывна и дифференцируемая (нет корня  парной степени и деления на ноль).

1	2	3	Вариант
непрерывна, не дифференцируема	непрерывна, дифференцируема	разрыв 1-го рода, не дифференцируема	Ответ 2

 

8.2. Найти производную   функции   

 

Решение.

 

 

1	2	3

 

8.3. Найти производную  обратной функции у= х-cosx

 

Решение.

 

Найдем сначала производную  функции:

 

Обратная функция будет:

 

 

1	2	3	Вариант
			Ответ 2

 

8.4. Найти производную  второго порядка функции 

 

_{Решение.}

Найдем сначала первую производную функции:

 

 

Вторая производная:

 

 

1	2	3	Вариант
			Ответ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Приложение  производной

 

Теоретический материал:

1) Правило Лопиталя.

2) Интервалы монотонности  и экстремумы функции.

3) Интервалы выпуклости и точки перегиба.

4) Асимптоты. Исследование  функций и построение графиков.

5) Дифференция функции.

9.1. Вычислить        

Решение.

 

Получаем неопределенность 0/0. Используем правило Лопиталя.

 

Получаем опять неопределенность 0/0. Используем правило Лопиталя.

 

 

1	2	3	Вариант
-2	2	0	Ответ 1

 

9.2. Найти интервалы  монотонности и экстремумы функции 

 

Решение.

Найдем сначала производную  функции:

 

Приравниваем к нулю:

Знаменатель положительный  при всех значениях ОДЗ. Тогда точка х=е – точка максимума.

Ответ:

X max=е,

У max=е,

Убывает на (е, ),

Возрастает на (0,е).

 

1	2	3
Х min=е, У min =е, Возрастает На (е, ), Убывает на (1,е) и на (0,е).	X min=2e, У min=2, Возрастает на (2е, ) , Убывает на	X max=е, У max=е, Убывает на (е, ), Возрастает на (0,е).

 

9.3. Найти точки перегиба  и интервалы выпуклости  функции 

Решение.

 

Найдем сначала первую производную.