Классификация целочисленных бинарных квадратичных форм

 

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

 «Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»

Институт  электронных и информационных систем

_________________________________________________________________________

Кафедра алгебры  и геометрии

 

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой АГ

к.ф.-м. н., доцент

____________В.Е. Подран

"____"___________201__г.

 

 

КЛАССИФИКАЦИЯ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

 

Выпускная квалификационная работа

по специальности 050201 Математика, квалификация – учитель математики

 

 

 

 

Руководитель

к.ф.- м. н., доцент

________Н.В.Неустроев

 

Студентка группы 6131

__________В. Ю. Матвеева

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………………..……3

§ 1 КЛАССИФИКАЦИЯ  ОПРЕДЕЛЕННЫХ ПРИВЕДЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ…………………………………………………………………………………….………......……5

1. Основные определения и теоремы…………………………………………………5

1.2 Алгоритм нахождения всех  собственных представления числа...……...……...13

§ 2 КЛАССИФИКАЦИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПРИВЕДЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ……………………………………………………………………………...………….…15

§ 3 КЛАССИФИКАЦИЯ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ С ПОМОЩЬЮ ТОПОКАРТ……………………………………………………………………………………..21

3.1 Бинарная квадратичная форма, как функция на некоторой плоской решетке…21

3.2 Классификация форм по знакам……………………………………………...........29

3.3 Классификация форм по виду топокарт…………………………………… …....32

§ 4 РЕШЕНИЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ МЕТОДОМ ТОПОКАРТ И МЕТОДОМ ГАУССА…………………………………………………...……44

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….…….54

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………………………………..55

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ

Теория квадратичных форм возникла как естественное обобщение ряда частных задач с неопределенными уравнениями.

Еще в 1773 г. Лагранж в своей работе „Recherches d’ arithmetique" опубликовал основные результаты о представлении чисел бинарными квадратичными формами. В то время как до Лагранжа: Ферма, Эйлер и другие математики — изучали только формы частного вида, Лагранж, рассматривая бинарные квадратичные формы вида ; заложил основы общей теории. Установил основную связь между вопросом о представимости чисел квадратичной формой и существованием решений соответствующего сравнения 2-й степени.

Лежандр в 1798 г., излагая в своей книге „Essai sur la theorie des nombres" результаты Лагранжа по теории квадратичных форм, внес существенные упрощения и дополнения.

Применяемая в настоящее  время в теории квадратичных форм терминология введена в основном Гауссом, который в своих „Disquisitiones  arithmeticae" дал систематическую теорию бинарных квадратичных форм, причем в отличие от Лагранжа он так же, как Лежандр, брал формы вида . Гаусс далеко продвинул теорию таких форм. Рассматривая линейные преобразования с произвольными определителями, он ввел понятие эквивалентности квадратичных форм, существенно различая преобразования с определителями, равными  +1 и  -1. Гаусс, не ограничиваясь делением на классы, дал более полную классификацию бинарных квадратичных форм. Исследования Гаусса существенно опирались на развитую им теорию композиции форм.

Число классов h( ) данного дискриминанта рассматривается как числовая функция от . Эта функция играет большую роль в различных задачах теории чисел. Изучение этой функции было начато в работах Гаусса и Якоби, но особенно важные результаты были получены здесь Дирихле, который дал вывод формул, выражающих эту функцию через другие, сравнительно простые арифметические величины.

Квадратичные формы с большим, чем два, числом переменных начали изучаться еще Гауссом (тернарные формы). Наиболее общие квадратичные формы от переменных также изучались уже в XIX веке. В настоящее время теория таких форм с большим успехом развивается многими математиками.

Цель моей работы заключается в исследовании результатов полученных Гауссом  в теории квадратичных  форм и  применении их в  новом методе  представления значений бинарной  квадратичной  формы с помощью  топокарт.

Основные  методы, которые я использовала при  исследовании - это, сравнение, обобщение, дедукция, индукция.

Основные  источники, которые я  использовала для написания своей  работы – это 

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М., 1966, с. 384
2. Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях/Перевод с англ. С.М.Львовского.- М.:МЦНМО, 2008, с.144
3. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Том 2. М.: Мир, 1990, с. 376

Перейдем теперь к краткой характеристике содержания нашей работы.

Первый параграф работы носит вспомогательный характер. Она содержит необходимые в дальнейшем результаты Гаусса о квадратичных формах, приводятся все основные понятия.

Второй параграф содержит полную классификацию неопределенных приведенных форм, основанных на понятии цикла приведенных форм.

Основные результаты содержаться  в третьем и четвертом параграфах. В третьем параграфе я применяю метод топокарт к бинарным квадратичным формам.

В четвертом параграфе применяю классификацию и метод Гаусса, иллюстрацией теоретической разработки примерами решения диофантовых уравнений.

 

 

§ 1  КЛАССИФИКАЦИЯ  ОПРЕДЕЛЕННЫХ ПРИВЕДЕННЫХ ФОРМ

 

1.1 Основные определения и теоремы

 

Определение 1. Выражение вида

 

называется  бинарной квадратичной формой,  где  — некоторые целые числа.

Будем называть коэффициентами формы и для краткости такую форму обозначать через , так что

                                       .                                  (1)

Переменным будем придавать только целые значения. Форма (1) представляет собой функцию от двух аргументов, у которой в качестве множества значений аргументов берется кольцо целых чисел. Основная задача в данной главе — отыскание представлений заданного N в форме (1), т. е. нахождение целых , таких, что

                                                         .                                                      (2)

Определение 2. Соотношение (2) при целых будем называть представлением числа N формой .

Для каждой формы (1) будем  рассматривать множество целых  чисел N, представимых этой формой.

Определение 3. Две формы называются равными, если

Таким образом, равенство  двух форм означает тождественное равенство, и если две формы равны, то они принимают одинаковые значения для каждой пары значений х и у. Если в форме (1) после замены на а на , где— целые, получается форма , то будем говорить, что линейная подстановка:

                                                                                                            (3)

переводит форму  в форму

Замену    в форме (1) их выражениями из (3) будем называть применением линейной подстановки (3) к форме (1).

Рассмотрим  некоторые общие свойства бинарных квадратичных форм.

Определение 4. Формы и называются эквивалентными, если существует линейная подстановка

                                                                                                             (3)

с  целыми    коэффициентами   и   определителем , переводящая   в ,  т. е. такая, что

                                                                         (4)

Эквивалентность форм   и ,  обозначим

 

  .

Линейные подстановки (3) с целыми и определителем  мы будем называть унимодулярными подстановками, и обозначать в сокращенной записи знаком

 

Из соотношений (4) и (3) следует:

                                                                     (5)

Таким образом, формы   и эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют целые числа такие, что имеют место соотношения (5).

Определение 5. Под дискриминантом формы  называется число .

Теорема 1. Эквивалентные формы имеют один и тот же дискриминант.

Теорема 2. Отношение эквивалентности квадратичных форм обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, т. е.:

1.    

  2. Если     , то    

3.  Если      , ,  то       

Теорема 3. Если     , и не равны одновременно нулю, то наибольший общий делитель 

Определение 6. Форма называется примитивной, если  .

Теорема 4. Эквивалентные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел.

Определение 7. Классом называется множество всех квадратичных форм, эквивалентных форме .

Определение 8. Представление N в виде (2) с взаимно простыми называется собственным представлением.

Очевидно, что  достаточно рассматривать собственные  представления. Действительно, если и N представимо в виде (2), то и

 

собственное  представление .

Теорема 5. Число N представимо собственным образом формой . тогда и только тогда, когда существует форма   

  , такая, что ,

Доказательство. 1) Пусть при целых , где (, выполняется равенство

 

Решив неопределенное уравнение

 

с неизвестными , находим , а затем   представим  число

 

в виде:

, где  |.

Преобразование:

 

 

с определителем 

 

переводит форму  в некоторую эквивалентную форму , где, согласно формулам (5):

,так что  |.

2) Существование формы     , где , означает, что некоторая унимодулярная подстановка (3) переводит     , т. е. выполняется тождественное равенство

.

В частности, при , где , и соответствующих целых значениях имеем

                           N=A=,                                                     (8)

т. е. N представимо формой

Это доказательство показывает, что, зная подстановку (3), переводящую   в , мы по формуле (8) находим представление N формой .

Теорема  6. Для каждого собственного представления формой :

, и заданной формы   , эквивалентной форме , существует только одна унимодулярная линейная подстановка вида  переводящая в .

Теорема 7. Пусть дискриминант квадратичной формы и число N представимо собственным образом этой формой; тогда:

1) сравнение                                                                                        (11)  
имеет решения;

2) для  каждого собственного представления N формой существует форма такая, что В удовлетворяет сравнению (11) и

Доказательство. Пусть существуют целые, взаимно простые , такие, что  . Согласно теореме 5 существует форма  , такая, что .

Теорема о   равенстве   дискриминантов   эквивалентных   форм  показывает, что тогда         (12)   

т. е. сравнение  (11)  имеет  решения  и  B  удовлетворяет этому сравнению, причем 

Теорема 8. Для каждой квадратичной формы существует эквивалентная форма , такая, что

                                           .                                            (13)

Доказательство.   Формы      и      эквивалентны,   так  как   унимодулярная  подстановка переводит первую из них  во  вторую.   Поэтому мы можем всегда начать с формы, у которой    , и если при этом  , то искомая форма найдена. Если   , то найдем целые и такие, что

,

где , т. е. возьмем в качестве наименьший по абсолютной величине вычет по модулю , который заключен в сегменте

Унимодулярная подстановка  , где ,  т.е. подстановка

 

 

переводит   форму  в   эквивалентную   форму , где согласно формулам  (5)  , , т.е. в форму, где .

Если    , то форма , удовлетворяет постав-

ленным условиям.

Если  ₁₁  то    подстановкой , в эквивалентную форму , т.е. в  форму , где

a₂c₁a₁ c₂a₁

Произведение  подстановок  и равно подстановке

 

Таким образом, при  из  двух унимодулярных подстановок либо первая   дает   квадратическую  форму, удовлетворяющую поставленным условиям,  либо вторая переводит в эквивалентную форму с коэффициентом при  , меньшим по модулю, чем у первоначальной формы, причем коэффициент при  не увеличивается по модулю.  Продолжая такие преобразования,  мы должны встретиться с первым случаем,  т. е. прийти к эквивалентной форме , такой, что.