Элементы векторной алгебр и аналитической геометрии

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Марта 2013 в 13:12, контрольная работа

Описание работы

Задача 1. Даны векторы a, b, c, d. Для указанных в пп. 1-3 векторов требуется:
1) вычислить скалярное произведение векторов из пункта; 2) найти модуль векторного произведения векторов; 3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов; 4) убедиться, что векторы a,b,c образуют базис; 5) найти координаты вектора d в этом базисе.

Файлы: 1 файл

Контрольная работа по ВМ №1.doc

— 210.50 Кб (Скачать файл)

 

Элементы  векторной алгебр и аналитической  геометрии 

 

Задача 1.  Даны векторы a, b, c, d. Для указанных в пп. 1-3 векторов требуется:

1) вычислить скалярное произведение  векторов из пункта; 2) найти модуль векторного произведения векторов; 3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов; 4) убедиться, что векторы a,b,c образуют базис; 5) найти координаты вектора d в этом базисе.

a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k, d=19i+30j+7k;

1) -7a, 4c;   2) 3a, 7b;   3) a, c.

1. Вычислить скалярное произведение векторов из пункта:

      

2) найти модуль векторного произведения  векторов;

3) проверить коллинеарность и  ортогональность векторов  и ;

Вектора коллиниарны  если , или векторное произведение :

,

т.е. вектора  и неколлиниарны.

Вектора и перпендикулярны если их скалярное произведение .


Т.е.  и неперпендикулярны.

4) Убедиться, что векторы a,b,c образуют базис;

a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k

В пространстве образует базис любая тройка некомпланарных векторов. Вектора некомпланарны, когда их смешанное произведение не равно 0;

Следовательно вектора образуют базис.

5) Найти координаты вектора d=19i+30j+7k в базисе векторов a,b,c.

Получили систему:

Решим систему методом Крамера:

, ,

;
;

Задача 2. Даны вершины A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) треугольника ABC.

Требуется найти:

  1. уравнение стороны AB;

Уравнение прямой, проходящей через две точки А и В  имеет вид:

АВ:

  1. уравнение высоты CH и длину этой высоты;

Общее уравнение прямой имеет вид:

, где - координаты вектора нормали.

Определим a и b для прямой АВ:

Вектор нормали  одновременно является направляющим вектором прямой СН. Тогда каноническое уравнение высоты будет иметь вид (с учетом того, что прямая проходит через точку ):

Длина высоты СН равна модулю проекции вектора АС или ВС на направление вектора

 

  1. уравнение меидианы AM;

Определим координаты точки  М:

Тогда уравнение АМ, проходящей через 2 точки имеет вид:

  1. точку N пересечения медианы AM и CH;

 

  1. уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину C;

Вектор 

Тогда каноническое уравнение искомой  прямой будет иметь вид:

6) внутренний угол  при вершине A и внешний угол при вершине C.

A(-2,-3), B(1,6), C(6,1).

 

Задача 3. Составить канонические уравнения 1) эллипса, 2) гиперболы, 3) параболы по известным из условий 1 – 3 параметрам. Через a и b обозначены большая и малая полуоси эллипса или гиперболы, через F – фокус кривой, – эксцентриситет, 2 c – фокусное расстояние, – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, A, B– точки, лежащие на кривой.

  1. Составить каноническое уравнение эллипса, если

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Подставим координаты точки  А в уравнение и получим:

Искомое каноническое уравнение эллипса имеет вид:

  1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если

Каноническое уравнение  гиперболы имеет вид:

Точка А является одной  из точек пересечения гиперболы  с осью ОХ. Следовательно .

Зная точку В найдем фокусное расстояние с гиперболы.

Следовательно уравнение  искомой гиперболы будет иметь  вид:

  1. Составить каноническое уравнение параболы, если известна директриса

Каноническое уравнение  искомой параболы имеет общий  вид:

Директриса записывается виде

Следовательно искомое  уравнение имеет вид:

Задачи 4. Даны четыре точки A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2), A3(x3,y3,z3), A4(x4,y4,z4). Требуется найти:

   1) уравнение плоскости A1A2A3;

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки имеет вид:

 

 

   2) уравнение прямой, проходящей через точку A4, перпендикулярно плоскости A1A2A3

Направляющий вектор прямой совпадает с вектором нормали  плоскости A1A2A3 координаты которых определяются как

Каноническое уравнение  искомой прямой принимает вид:

  1. расстояние от точки A4 до плоскости A1A2A3 находится как:

  1. синус угла между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3;
  2. Уравнение прямой A1A4 имеет вид:

Направляющий вектор прямой A1A4 . Тогда

  6) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A1A2A3.

A1(7,5,3), A2(9,4,4), A3(4,5,7), A4(7,9,6).

Косинус угла между плоскостями определяется как косинус угла между его нормалями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Информация о работе Элементы векторной алгебр и аналитической геометрии