Экстремумы функций

₀ f₀+   ₁f₁+   ₂f₂+…+    _mf_m=0                                (6.8)

 

Следствие : если в точке x⁽⁰⁾ условного экстремума функции f₀ относительно уравнений связи (6.3) градиенты           f₁,  f₂,…,   f_m линейно независимы , то ранг матрицы Якоби

                                               f_j            j=1,2,…,m

                                                                       x_i           i=1,2,…,n

равен m, то существуют такие    ₁,…,   _m , что в этой точке

                                           f₀+        _i  f_j=0                           (6.9)

т.е. f₀ является линейной комбинацией градиентов    f₁,   f₂,…,   f_m.

 

В координатной форме  это условие имеет вид : для  любого i=1,2,…,n в точке x⁽⁰⁾

                  f₀              f_i

                  x_i                      x_i                                            (6.10)

функция

                          F(x)==f₀(x)+         _jf_j(x)                           (6.11)

 где числа   ₁,…, _m удовлетворяют условию(6.10), называется функцией Лагранжа рассматриваемой задачи , а сами числа       ₁,…,   _m – множителями Лагранжа.

Условие (6.10) означает , что  если x⁽⁰⁾ является точкой условного экстремума функции f₀ относительно уравнений связи (6.3) , то она является стационарной точкой для функции Лагранжа , т.е.

                        F(x⁽⁰⁾)

                          x_i                             i=1,2,…,n                    (6.12)

Прежде , чем доказать теорему , разъясним ее смысл и  покажем , как ее использовать для  нахождения точек условного экстремума. Прежде всего обратим внимание на то , что у функции вида (6.11) при произвольных числах      ₁,…,   _m, каждая точка ее условного экстремума является и точкой условного экстремума исходной функции f₀, и наоборот.Мы выбираем такие значения    ₁,…,   _m, чтобы выполнялись условия (6.10) , т.е. чтобы данная точка условного экстремума оказалась и стационарной точкой фуцнкции (6.9). 

Для отыскания точек  условного экстремума следует рассмотреть  систему n+m уравнений (6.3) и (6.8) относительно неизвестных x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾,  ₁,…, _m и решить ее (если это возможно) , найдя x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾ и по возможности исключив  ₁,…, _m.Сформулированная теорема утверждает , что все точки условного экстремума будут находится среди найденных таким образом точек (x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾).Вопрос о том , какие же из них фактически будут точками условного экстремума , требует дополнительного исследования , об этом будет говориться в п.6.5

Доказательство  теоремы . Докажем утверждение равносильное теореме : если в точке x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾), удовлетворяющей уравнениям связи

          f_k(x⁽⁰⁾)=0   k=1,2,…,n                              (6.13)

градиенты   f₀,  f₁,  f₂,…,  f_m линейно независимы , то x⁽⁰⁾ не является точкой условного экстремума.

Итак , пусть f₀,  f₁,  f₂,…,  f_m линейно независимы и , следовательно , ранг матрицы Якоби   f_j/  x_i j=1,2,…,m,i=1,2,…,n  равен m+1.Тогда в матрице существует минор порядка m+1 не равный нулю.Для определенности будем считать , что он образован первыми m+1 столбцами , т.е.

                 (f₀,  f₁,  f₂,…,  f_m)

                     (x₁,x₂,…,x_m+1)    x=x⁽⁰⁾                    (6.14)

Множество G–открыто , а  поэтому существует такое  0₀>0, что при всех 0 0<0<0₀ , куб

Q ⁿ={x: x_i-x_i⁽⁰⁾ <0,i=1,2,…,n}               

лежит в G и , следовательно, на нем определены все функции f₀,  f₁,  f₂,…,  f_m.

Зафиксируем x_m+2= x⁽⁰⁾_m+2,…, x_n=x_n⁽⁰⁾ и введем обозначения

x^*=(x₁,x₂,…,x_m+1)

Q ^m+1={x^*: x_i-x_i⁽⁰⁾ <0,i=1,2,…,m+1}               

Очевидно , функции f_j(x₁,x₂,…,x_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾) j=1,2,…,m определены и непрерывно дифференцируемы всюду в Q ^m+1.Рассмотрим отображение Ф : Q ^m+1  R^m+1, задаваемое формулами

   y₁= f₀(x₁,x₂,…,x_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾)

   y₂= f₁(x₁,x₂,…,x_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾)

   ……………………………………                       (6.15)

  y_m+1= f_m(x₁,x₂,…,x_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾)

В силу (6.15) для точки x^*(0)=(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾)   имеем

  (y₁, y₂,…, y_m+1)                 (f₀,  f₁,  f₂,…,  f_m)

   (x₁,x₂,…,x_m+1) x^*= x^*(0)         (x₁,x₂,…,x_m+1)  x=x⁽⁰⁾                                                                                         

а в силу (6.13) Ф(x^*(0))=(f₀(x⁽⁰⁾,0,…,0) .Поэтому (в силу теремы о локальной обратимости непрерывно дифференцируемого отображения в точке , в которой его якобиан не равен нулю , существует такое число   >0 , что на окрестности

V={y=(y₁, y₂,…, y_m+1) : y₁- f₀(x⁽⁰⁾)  <   ,  y_j<   ,j=2,3,…,m} 

(рис.5) определено обратное  к Ф отображение и , следовательно  , в любую точку этой окрестности  отображается какая-то точка из Q ^m+1.

 

 

 

В частности , поскольку  при любом n,0<n<  ,имеет место включение (f₀(x⁽⁰⁾)+n,0,…,0), то в кубе найдутся точки x`<sup>*</sup>=(x`₁,x`<sub>2</sub>,…,x`_m+1) и x``<sup>*</sup>=(x``₁,x``<sub>2</sub>,…,x``_m+1), отображающиеся при отображении Ф в указанные точки окрестностиV`.

Ф(x`^*)=(f₀(x⁽⁰⁾)+n,0,…,0)

Ф(x``^*)=(f₀(x⁽⁰⁾)-n,0,…,0)

Если положим для  краткости     x`=(x`₁,x`<sub>2</sub>,…,x`_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾) и  x``=(x``₁,x``<sub>2</sub>,…,x``_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾), то в координатной записи (6.15) получим

f₀(x`)= f<sub>0</sub>(x<sup>(0)</sup>)+n> f(x<sup>(0)</sup>) , f<sub>k</sub>(x`)=0, k=1,2,…,n , x`  Q ⁿ

 и

f₀(x``)= f<sub>0</sub>(x<sup>(0)</sup>)-n> f(x<sup>(0)</sup>) , f<sub>k</sub>(x``)=0, k=1,2,…,n , x``  Q ⁿ

В силу произвольности  0>0,0<0<0 , это и означает , что x⁽⁰⁾ не является точкой условного экстремума.

                                                      ч.т.д.

Доказательство  следствея. Если векторы    f₁,    f₂,…,   f_m линейно независимы , то в равенстве (6.8) имеем       ₀=0 так как в случае   ₀=0  указанные векторы в силу (6.8) оказались бы линейно зависимыми .Разделив обе части на  ₀  получим равенство вида (6.9).

                                                           ч.т.д.

 

Пример №5.     

 

 Пусть требуется  найти экстремум функции u=xyzt при условии x+y+z+t=4c; область изменения переменных определяетссся неравенствовами x>0, y>0, t>0, z>0.

Применяя к этой задаче метод Лагранжа, введем вспомогательную функцию

Ф=xyzt+   (x+y+z+t)

И составим условия

Ф_x =yzt+   =0

Ф_y =xzt+   =0

Ф_z =yxt+   =0

Ф_t =yzx+   =0

откуда

yzt=xzt=xyt=xyz

так что

x=y=z=t=c.

 

6.4.Стационарные  точки функции Лагранжа.

 

В этом пункте будет дано описаие стационарных точек функции Лагранжа (6.10) посредством фукции 0(x_m+1,x_m+2,…,x_n), введенной в пункте 6.2 (см.(6.8)).Предварительно докажем одну простую лемму из линейной алгебры.

Пусть задана система  линейных однородных уравнений

a_i1x₁+…+ a_inx_n=0  i=1,2,…,m                        (6.16)

и еще одно линейное однродное  уравнение

b₁x₁+…+ b_nx_n=0                                            (6.17)

Cистему уравнений  , полученную присоединением к  системе (6.16) уравнения (6.17), будем  называть расширенной системой (6.16)-(6.17).

Лемма: Для того чтобы расширенная система (6.16)-(6.17) была равносильна основной системе (6.16) необходимо и достаточно , чтобы уравнение (6.17) являлось линейной комбинацией уравнений системы (6.16).

Следствие:Для того чтобы уравнение (6.17) было линейной комбинацией уранений (6.16) или , что то же самое , чтобы вектор

b==(b₁,…,b_n)                                                (6.18)

был линейной комбинацией  векторов

            a_i ==(a_i1,…,a_in)   i=1,2,…,m                          (6.19)

необходимо и достаточно , чтобы каждое решение системы (6.16) являлось решением уравнения (6.17).

Доказательство  леммы . Пусть ранг матрицы (a_ij) коэффициентов системы (6.16) равен m₀ . Очевидно , что m₀<m . Если m₀<m, то уравнений системы (6.16) являются линейными комбинациями остальных. Отбросив те m-m₀ линейных уравнений , которые являются линейными комбинациями оставшихся , получили систему из m₀ линейно независимых уравнений . равносильную системе (6.16), причем уравнение (6.17) является линейной комбинацией уравнений системы (6.16) тогда и только тогда , когда оно является линейной комбинацией указанной системы из оставшихся m₀ уравнений. Поэтому будем с самого начала считать , что , m₀=m т.е. что ранг матрицы (a_ij) коэффициентов системы (6.16) равен m– числу уравнений этой системы.

Пусть система (6.16) и (6.16)-(6.17) равносильны. Это означает, что пространства их решений совпадают.Поскольку  все уравнения основной системы (6.16) входят в расширенную систему (6.16)-(6.17), то каждое решение расширенной  системы является и решением основной системы , т.е. пространство решений расширенной системы содержится в пространстве решений основной системы. Следовательно , слвпадение этих пространств равносильно равенству их размерностей.

Размерность s пространства решений системы линейных днородных уравнений равны , как известно , числу неизвестных n этой системы , из которого вычтем ранг r матрицы коэффициентов системы : s=n-r.Отсюда следует , что равносильность систем (6.16) и (6.16)-(6.17) означает равенство рангов их матриц.Ранг матрицы коэффициентов системы (6.16) по условию равен m , т.е. векторы (6.19) линейно независимы.

Ранг матрицы коэффициентов  расширенной системы (6.16)-(6.17) согласно сказанному в наших условиях также  равен m.Поэтому векторы (см.(6.18) и (6.19))

b, a₁,…, a_m                                              (6.20)

линейно зависимы.А это  означает , что b является линейной комбинацией  векторов a₁,…, a_m.

В самом деле , линейная зависимость векторов (6.20) означает , что существуют такие числа      _{0,   1},…,   _m, не все равные нулю . что

₀b+    ₁a₁+…+    _ma_m=0                                     (6.21)

Здесь заведамо ₀=0, так как в противном случае векторы a₁,…, a_m оказались бы линейно зависимыми. Поделив равенство (6.21) на  ₀, получим , что b является линейной комбинацией векторов a₁,…, a_m .

Обратно, если b является линейной комбинацией векторов (6.19), то в системах векторов (6.19) и (6.20) имеется  в точности по m линейно независимых  векторов , т.е. ранги матриц коэффициентов  систем уравнений (6.16) и (6.16)-(6.17) равны.

Итак, условие , что вектор b является линейной комбинацией векторов (6.19) :

  ₁a₁+…+    _ma_m=b

эквивалентно равенству  рангов матриц коэффициентов рассматриваемых  основной и расширенной системв  уравнений, следовательно, эквивалентно их равносильности.

                                                                          ч.т.д.

Доказательство  следствия сразу следует из леммы, поскольку системы (6.16) и (6.16)-(6.17) очевидно равносильны тогда и только тогда , когда каждое решение системы (6.16) является и решением уравнения (6.17) – остальные уравнения систем просто совпадают.

                                                                              ч.т.д. 

   Замечание  1 : доказанная лемма и ее следствие имеют простую геометрическую интерпритацию в n–мерном евклидовом векторном пространстве Rⁿ, т.е. в n–мерном пространстве со скалярным произведением.Используя обозначение скалярного произведения, систему (6.16) можно записать в виде

(a_i,x)=0  i=1,2,…,m                                                (6.22)

а уравнение (6.17) в виде

(b,x)=0                                                                    (6.23)

где векторы a₁,…, a_m и определены в (6.18) и (6.19) , а x=(x₁,x₂,…,x_m+1)

Множество всевозможных линейных комбинаций векторов a₁,…, a_m образуют подпространство пространства Rⁿ и называется подпространством, натянутым на эти векторы.Обозначим его через Z=( a₁,…, a_m).

Множество решений системы (6.22) состоит из всех векторов х, ортоганальных  подпространству Z=( a₁,…, a_m) Обозначим это множество решений через Т.Оно также является подпространством пространства Rⁿ.

Подпространства L==Z(a₁,…, a_m) и Т называются ортоганальными дополнениями друг друга в пространстве Rⁿ.

Поскольку L=Z( a₁,…, a_m), то представимость вектора b в виде линейной комбинации векторов a₁,…, a_m равносильна его принадлежности подпространству L пространства Rⁿ:b L.Это условие в свою очередь, равносильно ортоганальности вектора b подпространству Т:b _Т, которая означает, что для всех x Т имеет место равенство (b,x)=0,т.е.что любое реение х системы (6.22) является решением уравнения (6.23).Это и является утверждением следствия леммы.

Замечание 2 : напомним метод, которым можно получить все решения однородной системы линейных уравнений.Пусть система (6.16) состоит из линейно независимых уравнений.Тогда ранг матрицы его коэффициентов равен m.Это означает , что существует минор этой матрицы порядка m, не равный нулю.Пусть для определенности

                                            a₁₁… a_1m