Экстремумы функций

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 11 Января 2014 в 11:16, дипломная работа

Описание работы

Цель дипломного проекта – рассмотрение и описание функций одной и многих переменных, а также в рассмотрении методов, используемых при этом.
Данный дипломный проект рассчитан на абитуриентов высших учебных заведений. На вопрос - можно ли ввести рассмотрение этой темы в старших классах школы – ответ будет дан в последней главе дипломного проекта, после рассмотрения задач и возможных методов их решения. В дипломном проекте с большей логической стройностью и без повторений приведено изложение темы – функции одной и многих переменных, сообщены сведения из математического анализа, необходимые при изучении физики и ряда инженерных дисциплин.

Содержание работы

1. Введение………………………………………………2
2. Историческая справка………………………………..3
3. Экстремумы функций одной переменной.
3.1. Необходимое условие……………………………5
3.2.1. Достаточное условие. Первый признак………7
3.2.2. Достаточное условие. Второй признак……….8
3.3. Использование высших производных………….10
4. Экстремумы функций трех переменных.
4.1. Необходимое условие…………………………...11
4.2. Достаточное условие…………………………….12
5. Экстремумы функций многих переменных.
5.1. Необходимое условие……………………………17
5.2. Достаточное условие…………………………….19
5.3. Метод вычисления критериев Сильвестера……22
5.4. Замечание об экстремумах на множествах…….31
6. Условный экстремум.
6.1. Постановка вопроса……………………………..33
6.2. Понятие условного экстремума…………………34
6.3. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума…………………………………..36
6.4. Стационарные точки функции Лагранжа………40
6.5. Достаточное условие…………………………….46
7. Заключение……………………………………………51
8. Библиография..………………………………………..53

Файлы: 1 файл

Экстремумы функций.doc

— 287.50 Кб (Скачать файл)

 

5.3.Метод вычисления  критериев Сильвестера.

 

Применение критерия Сильвестера для определения  экстремума функции многих переменных требует вычисления определителей  порядка. Рассмотрим один из возможных  методов диагонализации матриц и  соответственно получения треугольных определителей.Метод основан на последовательном понижении порядка определителя. При этом :

1.На каждом этапе  понижения порядка определителя, удобная для применения вычислительной  техники.

2.Получаемые в результате  диагональные элементыопределителей являются элементами критерия Сильвестера и позволяют, так сказать, в «ходе вычисления» вести контроль знакоопределенности квадратичной формы.

В основу алгоритма вычислений положины два свойства определителей.

1.Известно, что

a11 a12

a21 a22

 

Впредь замена любого определителя второго порядка       элементом a11 назовем «сверткой» определителя.

2.Определитель порядка не изменится,  если элементы какой-либо строки  умножить (разделить) на какое-либо  число, не равное нулю, и сложить  (вычесть) с элементами другой строки.

Итак, рассмотрим определитель n-го порядка, составленный из вторых частных производных  некоторой функции n– переменных f(x1,x2,…,xn).

Положим aik= fxixk ’’  .Имеем

                                                 a11 a12… a1n      

                                                             …………………                     (5.9)

                                                                           an1 an2… ann

Умножим в (5.9) элементы первой строки на a21/ a11 и вычтем их из элементов второй строки.

Умножим в (5.9) элементы первой строки на a31/ a11и вычтем их из элементов третьей строки. …

Умножим в (5.9) элементы первой строки на an1/ a11 и вычтем их из элементов последней строки.

Выполнив последовательно эти  операции, получим

                              a11       a12                    …   a1n

0    a22- a12 a21/ a11… a2n -a1n an1/ a11

                                            ………………………………………………………                   (5.10)

0  an2- a12 an1/ a11… ann- a1n an1/ a11

 

Умножим каждую строку в (5.10), начиная со второй на a11,при этом определитель (5.10) умножится на a11n-2

                                              1

                        -----------                                                (5.11)

                            a11n-2

  где

 a11 a22- a12 a21     a11 a23- a13 a21 … a11 a2n- a1n a21  

  a11 a32- a12 a31     a11 a33- a13 a31 … a11 a13n- a1n a31

…………………………………………………           (5.12)

a11 an2- a12 an1     a11 an3- a13 an1 … a11 ann- a1n an1

 Рассмотрим более внимательно элементы (5.12). Перепишем (5.12) в виде

                                                 a11 a12   … a1n-1

                                                 a21 a22  …  a2n-1     

                                                             …………………                                (5.13)

                                                          an-11 an-12… an-1n-1

Из сравнения (5.12) и(5.13) видно, что

a11 – есть свертка определителя   a11 a12

                                                         a21 a22

                   

                      a12 – есть свертка определителя     a11 a13

                                                          a21 a23

…………………………………………………………..

a1n-1 – есть свертка определителя   a11 a1n

                                                         a21 a2n

.

Таким образом, первая строка   1n-1 является сверткой элементов первых двух строк определителя     n. Более наглядно это можно сфрмклировать так : последовательно каждый «прямоугольник» элементов первой и второй строк заменяется его сверткой ; причем первые элементы двух строк «участвуют» во всех прямоугольниках этих строк.

a11     a12       a13…      a1n

a11     a12         a1n-1

a21     a22        a23…       a2n

Аналогично вторая строка определителя   n-1 является сверткой элементов первой и третьей строк исходного определителя.

a11     a12       a13…      a1n

a21     a22         a2n-1

a31     a32        a33…       a3n

 

Наконец для последней  строки   n-1 имеем

                        a11       a12            a13…      a1n

      an-1 1     an-1 2         an-1n-1

    an1        an2             an3…       ann

 

Если теперь применить те же опервции к определителю                     n-1, т. е. к (5.13), получим

                                       1

a11n-3              (5.14)

где

                                                 a11         a12   … a1 n-2

                                                 a21       a22  …  a2 n-2     

                                                             ……………………………..              

                                                        an-2 1    an-2 2… an-2 n-2

 

 а элементы aik являются сверткой соответствующих определителей – прямоугольников.

Очевидно, повторяя эту  операцию n–1 раз, получим следующую  формулу, предварительно введя более простые обозначения :

a11 = a1– левый угловой верхний элемент

 

a11 = a2 – левый угловой верхний элемент

 

a11 = a3 – левый угловой верхний элемент

…………………………………………

 

a11 = an – левый угловой верхний элемент.

С учетом этого

 

                                            an

a1n-2 a2n-3… an-1            (5.15)      n>2

 

Пример №1.

 

2  1  5  3

0  4  7  2     1     2*4-1*0  2*7-5*0  2*2-3*0     1     8   14   4

5  6  3  1     22    2*6-5*1   2*3-5*5   2*1-5*3     22   7 –19 -13

0   2  1  3          2*2-0*1   2*1-5*0   2*3-3*0            4   2    6

 

4    7     2 

7 –19 –13    1   4*(-19)-7*7   4*(-13)-2*7   1   -72-49  -52-14

2    3     1     4    4*1-2*7         4*3-2*2         4   -10        8

 

   1  -121  -66    1    -121   -66      1

   4    -10    8      2       -5       4      2 (-121*4-66*5)= -121*2-33*5=

= -242 –165= -407

 

Пример №2.

 

  1. 0  2  1  5
  2. 4  1  3  6      1  3*4-0*0  3*1-2*0  3*3-0*1  3*6-5*0    
  3. 2  3  5  1     33  3*2-5*0  3*3-5*2  3*5-5*1  3*1-5*5
  4. 3  4  0  6           3*3-2*0  3*4-2*2  3*0-2*1  3*6-2*5

1  2  3  4  5           3*2-1*0  3*3-1*2  3*4-1*1  3*5-1*5

 

 

 

       12   3    9    18                  -30   66    -264-108             

  1     6  –1  10  -22     1            69   -105   96-162   

  33   9    8   -2     8      33*122   66    78     120-108    

        6     7    11  10

                        

               -30    66    -372                        30*105-66*69  30*66+69*372

   1           69    -105  -66     1                 -30*78-66*66  -30*12+66*372

   33*122  66     78      12    33*122*(-30)

 

1                    3150-4554    1980+25668   1                     -1404  27648

33*122*(-30)  -2340-4356   -360+24552     33*122*(-30) –6696  24192

 

-1404*24192+6696*27648         33965568-182476800-2654208

          33*122*(-30)                                  33*122*30

31311360-182476800        15116544        15116544

           33*122*30                    33*122              3888

 

=3888

 

Вычесленные в порядке  получения определителий                n n-1, …,   2   их верхние левые угловые элементы a1,a2,…,an являются критерием Сильвестера в части знаков, т.е.

sign a11=sign a1

 

         sign a11=sign a2=sign a11 a12

                                            a21 a22

         …………………………….

 

                                           a11… a1n

      sign a11=sign an=sign    ………..

                                            an1… ann

По сути метод дает возможность вычисления определителей  . Однако нас интересуют лишь знаки определителей.Это существенно упрощает задачу.

Рассмотрим функцию f(x1,x2,…,xn). имеющую экстремум,а именно максимум в точке М0(x10,x20,…,xn0).Это значит,что все коэффициенты a1, a2,…, an должны быть положительными. Поэтому процесс определения максимума функции в точке М0 заканчивается на любом этапе понижения определителя   ,если после положительных a1, a2,…, ak коэффициент аk+1 стал отрицательным или нулевым.

Если же в точке  М0 – минимум, то коффициенты a1, a2,…, an образуют знакочередующуюся последоватнльность, а именно

a1<0, a2>0, a3<0,…

Аналогично процесс  прекращается, если нарушается эта  знакопеременность.

Итак, общая схема выглядит следующим  образом :

1.Определяются стационарные точки  функции, в которых

 

                                    f                                   

xi        i=1,2,3,….,n

2.Определяются коэффициенты  аik в этих точках

2f

xi   xr

 

3.Выясняем знак первого  диагонального элемента а111

      а) если  а11>0, то все последующие элементы а23,…,аn должны быть положительными,если в точке М0 действительно максимум

      б)если  а11<0, то знаки последующих элементов а23,…,аn должны чередоваться, если в точке М0 действительно минимум.

4.При нарушении какой-либо  из закономерностей в п.3 процесс  прекращается и формулируется вывод о том,что в точке М0 экстремума нет.

 

Наконец отметим следующее  важное обстоятельство. Так как коэффициенты аik являются частными производными второго порядка и для дифференцируемой функции с непрерывными        2f/ xi   xr в соответствии с теоремой Шварца эти частные производные не зависят от порядка дифференцирования, то     аik= аki. Это важное свойство приводит к тому, что матрица (аik) является симметрической вместе со своим определителем аik Покажем, что учет этого факта сокращант объем вычислений по крайней мере вдвое .

Во-первых, покажем, что  определитель   n-1 также остается симметрическим,т. е. применяется операция понижения порядка инварианта и сохраняет это свойство при переходе от    n-1  к   n и т.д.

Диагональные элементы любого определителя, очевидно, равны  сами себе.

Рассмотрим произвольный элемент аik в определителе n-1, i=k, i,k=1,2,…,n-1.

аik= аik – а1 k а1i / а11          (*)

Если переставить индексы i,k ,то

aki= аki – а1 i а1k / а11          (**)

Сравнивая (*) и (**) видим, что из того, что аik= аki следует, что аik= аki. Этим доказано, что из того, что n- симметрический определитель, определитель   n-1 также симметрический.Что это дает для вычисления      n-1  ?

Пусть вычислена первая строка коэффициентов  а1k (k=1,2,…,n-1) определителя        n-1 , т.е.

а11, а12, а13,…, а1n-1

Теперь вычислим первый столбец , он имеет вид

а11

а21

а31

…..

аn-1 1

Но ввиду симметричности коэффициентов, этот столбец совпадает  со строкой. Другими словами, сосчитав элементы первой строки, первый столбец уже считать нет необходимости, его нужно просто записать. Для наглядности запишем

                                                                   a11    a12    …   a1 n-1

 

   a21     a22…   a2 n-1

 

                                                        …………………. 

 

                                             an1      an2…    an-1 n-1

 Вычислим теперь  элементы второй строки, начиная  с а22 ,т.е. а22, а23, а24,…, а2 n-1.Эта строка полностью совпадает со вторым столбцом, начиная с а22,т.е.

а22

а31

Информация о работе Экстремумы функций